打开一扇窗的同时 不能关上一扇门

张金凤

【摘 要】解决问题的一种方法并无好坏优劣之分。对一种方法的认识，我们不仅仅看它是否解决了某一个问题，还要看它是否解决了某一类问题，这种方法是否具有通性通法，有没有推广的价值。我们知道，求解立体几何问题一般有两种方法：综合法（几何法）与向量法。综合法是一种定性的研究方法，表现为识图与作图（常添加辅助线与面）利用所学的定义、公理、定理去分析，推理论证。从而能培养我们的空间想象能力，逻辑思维能力。而向量法是一种定量的研究方法，把形的问题转化为数的计算，体现了几何解题的一种通用之法，但并非一定是方便之策。[1]

【关键词】向量法；立体几何；综合法；数学素养

自从新课程标准实施以来，用空间向量解决立体几何的有关问题的方法就倍受青睐。当然，这与空间向量自身的神通广大的作用有很大的关系。比如，可以用空间向量处理线线，线面，面面的位置关系，也可以用空间向量求解空间角度，空间距离。以及与空间有关的开放性，探索性问题。

随着时间的推移，想必始终奋斗在教学第一线的数学老师会感觉到有一些不一样的地方：如今的学生的空间想象能力，推理论证能力，逻辑思维能力没有以前的学生强了。在立体几何方面的数学素养也下降了。比如面面相交，找不出交线；求二面角的大小，不能快速准确的作出二面角的平面角，甚至不能估计出二面角的大小的范围。凡此种种，不胜枚举。所有这些，与我们一味的依赖“向量法”处理立体几何问题有很大的关系。鉴于此，我们数学老师应该重新审视空间向量在立体几何中的地位了。

其实，向量法对于立体几何而言，只是处理立体几何问题的一种工具而已。作为一种工具，是没有好坏之分的。只是利用工具的主体，老师或学生要清楚地认识到：为什么要引入这一工具，它有什么作用，包括正面的，负面的，何时用，怎样用，等等。诸如此类的问题需要我们“且用且反思”。向量法和综合法在解决立体几何问题时，哪种方法更好，要因情况而定，具体问题具体分析。下面是笔者根据自己多年教学情况，谈一谈对用向量法、综合法解立体几何的问题时的一点认识。

1 綜合法，向量法殊途同归

在高考题中，特别是解答题中，试题一般采取综合法和向量法的“双轨制”，立体几何的功能是培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，以及几何直观的能力，快速准确的运算求解能力，还要有一定的探究能力。而所有这些，有时因过多的依赖空间向量，而得不到充分的发展。所以，二法均不能偏废。因此，在上课时老师要关注到两种方法。

例如：（2013年 天津卷第17题）如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点。

（I）证明B1C1⊥CE；

（II）求二面角B1-CE- C1的正弦值。

学生一脸茫然，因为要正确解决这个问题，就必须判断二面角B1 -CE-C1的平面角是锐二面角还是钝二面角，在二面角比较接近直二面角时 或者图形放置的位置不常规时，就必须进一步判断法向量的方向，此时需要认真观察，并且真正掌握平面的法向量的含义，才能把这一类向量问题搞清楚。但平面的“法向量”教材中没有提到，所以，用向量法来解并非是最好的方法。

老师接着又问：如果用几何法来求解呢？（此时，给学生留足够时间和空间思考）让学生到黑板上板演，老师以学生板演的内容为素材，引导学生用几何法去分析，帮助学生强化几何法，进而培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和数学素养。

本题是两种方法都可以用，而且繁简程度差不多，老师在教学时既要关注到向量法，又要关注到几何法，这样，学生的思维的灵活性才能得到培养。

2 几何法，向量法各显其能

目前，在高考题中，特别是解答中，试题虽然采取综合法和向量法的双规制，但是，近几年安徽卷明显倾向于综合法，向量法就特别繁琐，在考场上几乎处理不掉。而高三的学生大都习惯于用向量法。因为向量法操作几乎是程序化的，思维量少，学生再也不愿意花时间去审题。甚至不会用几何法去分析问题。久而久之，立体几何的应有的功能得不到充分的发展。学生的空间想象能力，推理论证能力得不到提升，学生的数学学科素养下降，这与我们的新课程改革的初衷是不相符的，也是专家们不愿意看到的结果，更是让我们一线教师所担心的。笔者认为：在教学时要紧紧把握能力培养这个大方向，特别是立体几何教学时，对于综合法和向量法不能有所偏废，要走中庸之道，要因题而异灵活选择解题方法，因此，教学中应通过典例问题给学生对比辨析，提高选法的能力，并且强化学生运用综合法解决立体几何问题的能力，已显得刻不容缓，势在必行！[2]

例如：（2013年安徽卷 第19题）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为 22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°。

（I）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；

（II）求cos∠COD

分析：本题以倒置的圆锥为载体，主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，直线与平面、直线与直线间所成的角的计算等基本知识和基本技能，重点考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，以及面对新问题处变不惊的心理素质。

看到该题目，这种几何模型，要是用建立空间直角坐标系来解答，是相当复杂的。一是不容易找三垂直关系，二是即便找到三垂直关系，点的坐标也不好计算。另外，此题也不易用基向量法处理。所以此时，综合法（几何法）的优越性就体现出来了。

第一问的解析：设出交线L，作图时，要使直线L//AB，然后根据公理1和线面平行的判定定理和性质定理去证明，就可以得到所要证明的结论了。第二问、第三问的解法在这里就不赘述了。

再比如：（2013年新课标全国卷I 第18题）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°。

（I）证明：AB⊥A1C；

（II）若平面ABC⊥平面AA1 B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1 C1C所成角的正弦值。

分析：本题以柱体为背景，重点考查了空间中的线线垂直的证明、线面角的计算。（I）通过线面垂直证明线线垂直；（II）根据线面角的定义作出所要求的角，然后利用直角三角形的知识求解即可，或者利用向量法求解。

本题的第二问用向量法是比较简单的， 由（I）知OC⊥AB，OA1⊥AB，OC⊥OA1，所以，OC，OA，OA1两两互相垂直。以O为坐标原点，OA所在的直线为X轴，OA1所在的直线为Y轴，OC所在的直线为Z轴建立空间直角坐标系。然后利用向量的知识，进行求解较为方便。如果用几何法就相当复杂了。

就这两道题而言，第一题用几何法比较简单，第二题用向量法比较简单。所以向量法在立体几何里，作为一种解题工具，我们要用的恰当，用的灵活。切不可以因为习惯于用向量法，而使自己的学科素養下降。

用空间向量解决解决立体几何相关问题，为学生学习立体几何提供了一种全新的思维解题模式，不可否认这对学生的思维开启了一扇窗，但同时也给学生学习立体几何带来一些负面影响。当我们打开一扇窗的同时，不能关上一扇门。所以我们必须真正掌握两种方法的特点和作用，及教育价值。一般来说，我们要认真分析题目所给条件的特点，进而分析在这些条件下为什么用这种方法要比用另一种方法更快更好，如果换一下某个条件，另一种方法可能就会大显神威了。向量法在解决立体几何问题时只是一种工具，并不能解决所有的问题。不能过分的钟情于向量法，而不善于使用综合法处理，导致空间想象能力下降，分析能力削弱，更谈不上公理化思想的建立，这将严重影响着学生的数学后续学习。所以，我们在教学时要“两手抓”，“两手都要硬”。切不可厚此薄彼。只有这样，向量法的引入，才会使我们如虎添翼，快乐自由的翱翔在立体几何的世界里。

【参考文献】

[1]蒋海瓯.以立体几何内容为主的综合问题[J].中学数学教学参考（上旬），2013（4）：39-41.

[2]王志刚，王峰.似曾相识燕归来[J].安徽教育科研，2013（6）：14-16.

[3]中华人民共和国教育部制定.数学课程标准（实验）[M].人民教育出版社：19.

[责任编辑：杨玉洁]