试析数学思想在中学数学解题中的应用

倪淑雯

【摘要】面对繁杂的题海，解题思路与解题技巧往往成为数学教学的重中之重，要想帮助学生掌握一定的数学解题技巧，就要有针对性地渗透各种数学思想，使学生养成一定的数学思维习惯，这样才能够以不变应万变，提高数学解题能力。本文主要以数学思想对数学解题的影响为突破口，以具体例题的方式介绍和分析了几种常见的数学思想，以求教于大方之家。

【关键词】数学思想 中学数学 应用

很多数学教师在日常教学中大搞题海战术，往往导致学生精疲力尽却效果不佳。其实，并不是说做的题目越多数学解题能力就越强，题海战术并不是最有效的教学方法，帮助学生掌握一定的数学思想才是数学解题教学的关键。可以说，掌握了数学思想便掌握了数学的精髓。

一、中学数学思想的基本概念

数学思想，就是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识，它是历代数学家的思想结晶，深刻而丰富。

中学数学解题中用到的数学思想有很多，比如函数思想、数形结合思想、转化思想、极限思想、整体思想、归纳思想、分类讨论思想等，这些数学思想构成了中学数学体系的活的灵魂。

二、掌握数学思想对中学生的意义

掌握一定的数学思想有利于更加深刻地理解所学知识。如果学生较好地掌握了一定的数学思想，就会对整个的系统知识有比较全面的了解，在学习和理解新知识的时候更容易准确把握知识点。

三、数学思想在中学数学解题教学中的应用

在中学数学解题教学中，常常用到很多数学思想，这些数学思想的运用不仅加快了学生的解题速度，而且有利于提高学生综合题的解题能力。下面结合具体案例介绍几种常见的数学解题思想。

1.整体思想。有的中学生在解题时往往觉得题目给出的已知条件不足，无法完整地解题，这时，需要从整体角度出发，深入挖掘隐性条件，也就是运用整体思想解题。如，在学习“三角函数”这一章节时，有这样一道题目：求tan20°+tan25°+tan20°？tan25°的值。很多学生拿到题目后，不知道该从哪里入手，因为根本就没有学过20°角、25°角的三角函数值。这时，如果一味思考和纠结直接算出tan20°和tan25°的值就会陷入死胡同，而这时，应该树立整体意识，运用整体思维解决这一难题。具体解题如下：由于45°=20°+25°，而45°的三角函数值为学生熟知，tan45°=tan（20°+25°）=1，并且tan（20°+25°），可分解为（tan20°+tan25°）除以（1-tan20°？tan25°），得出t a n 2 0°+ t a n 2 5°= [ （ t a n 2 0°+ t a n 2 5°） /（1-tan20°？tan25°）]？（1-tan20°？tan25°）=tan45°？（1- tan20°？tan25°）=1-tan20°？tan25°，可以得出tan20°+tan25°+tan20°？tan25°的值为1。

2.分类讨论思想。分类讨论思想是高中数学常用解题思路之一。一些复杂的数学问题往往需要通过合理分类将其简单化，然后逐一讨论，最后根据不同情况得出相应的结论。

例题：已知参数a（a为实数）使x2-4ax+2a+30>0恒成立，求方程x/（a+3）=|a-1|+1根的取值范围。

解析：由题目我们可知：Δ=16a2-4（2a+30）<0得出-2.5

当-2.5

当a=1时，x=4。当1

综上可得，x的取值范围为（-2.75，6.25）∪（4，18）。

3.转化思想。转化思想往往能够使复杂的问题简单化，比如将语言性描述转化为图形、将正面表述转化为反面表述、将陌生题目转化为熟悉题目等。

常量与变量的转化。有这样一道例题：对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，试求x的取值范围。我们常常不自觉地把x当做变量，以上例题由于知道p的取值范围，所以可以考虑常量与变量的转化，将p看做自变量，于是问题转化为“设函数y=x2+（p-4）x+3-p，当p∈[0，4]时，y>0 恒成立，求x的取值范围”。具体解题如下：设函数f（p）=（x-1）p+（x2-4x+3），由x2+px>4x+p-3可得x≠1，因此f（p）是p的一次函数，要使f（p）>0 恒成立，则f（0）>0，且f（4）>0，解得x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）。

四、结束语

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。中学数学教师和学生都应高度重视数学思想的学习，将其内化为自己的知识。

参考文献：

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[2]孟菲菲.浅谈整体思想在初中数学解题中的应用[J].新课程（中学）.2012（08）.

[3]邹小锋.分类讨论在高中数学解题中的作用[J].理科考试研究.2013（21）.