生产成本的最优化问题探究

刘瑞华

【教学内容】

本节课是在高一学生学完全日制普通高中教科书《数学》（必修）第一册（上）“函数的单调性”之后组织的一次数学问题研究学习课，旨在提高学生应用数学知识的能力和对数学问题的探究能力，是对“高中数学问题研究学习法”的一次有益尝试。

本节课研究的实际问题是：高效益下的低成本问题。

本节课研究的数学模型是：函数y=x+■。

本节课研究获得的成果是：发现了函数y=x+■的图象及其单调性特征，并运用这一特征解决了一个实际问题。

【教学过程】

一、情境

师：今天我们将运用数学知识来帮助一家企业安排他们的生产计划，希望能够获得成功。（大屏幕显示）

我市一家民营企业根据市场需求决定调整某产品的生产量，以降低成本、提高效益。据统计的历史资料显示：生产该产品每年固定成本为100万元，每年生产x万件产品的生产成本为x（x+2）百万元，该企业全年的生产能力在0.1万～2万件之间。请你帮助设计生产规模，要求用最小的投入获得最大的效益。

二、问题

问题1：这项工作的实质内容是什么？（引导学生发现问题）怎样用数学知识去解决？（引导建立数学模型）

三、探究

（分小组讨论3分钟后）

A组学生1：这项工作实质是让我们确定生产量，使全年的总成本最小。（提出假设）我们的解法是这样的：（投影展示）

设全年生产总成本为y，则有y=x（x+2）+1，即y=x2+2x+1（0.1≤x≤2），这个函数在[0.1，2]上是增函数，故当x=0.1万件时，y=1.21百万为最小，所以安排每年生产0.1万件最好。

师：说说你们这样考虑的理由。

生：因为总成本就是总投入，花钱越少越好。（检验假设）

师：有不同的意见吗？（引导发现新问题）

B组学生2：我们不赞成他们的观点，投入少不能说明效益高，因为投入少生产量就少，很明显，他们安排的生产量是最少的，这绝不会取得高效益。（推翻假设）

（许多同学表示赞同）

师：依你们的想法该怎样安排生产呢？

生2：我们暂时还没有主意，似乎应考虑■的最大值问题。（提出新假设）

师：说说这种想法的理由。

生：高效益需要有一定的生产规模，就是要使x较大，而低成本就是要总成本y较小，把二者结合起来考虑，就要求比值■最大。

师：有道理（全班同学都表示赞同），大家还有其他想法吗？比如这个比值的实际含义还不太清楚，能弄清楚吗？（引导深入探究）

C组学生3：我们发现这个比值的倒数■就是每件产品的平均成本，认为每件产品的平均成本少，才能保证生产效益高，即求 的最小值。（提出新的假设）

（投影展示）

设y为全年生产x件产品的平均成本，则y=■，（0.1≤x≤2），但我們不知道怎样求y的最小值，请老师和同学们支援。（与B组同学观点一致，但意义更明确）

A组学生此时又活跃起来了，学生4：总成本是这个式子的分子，当它最小时，平均成本最小，所以我们仍然坚持原来的观点。

B组学生5：（反对）指出x=1万件时，平均成本为4百元，而x=0.1万件时，平均成本为12.1百元，这已是前者的3倍，x=1似乎就是最佳选择。（学生的直觉）（此时全班同学都投了赞成票，支持新假设。）

师：再次归纳提出问题2：下面我们把主要精力集中在C组同学提出的问题中，即要解决y=■（0.1≤x≤2）的最小值问题。

我们可以从以下几个方面去进行研究：①从数量上考虑这个函数的单调性；②从图形上考虑是否有最低点；③能否进行转化、变形处理。（引导启发探究、解决问题的途径）

（大约6分钟后）A组学生1再次发表自己的见解：可以将式子变形为x2+（2-y）x+1=0，关于x的方程有解，由Δ≥0解得y≥4，此时对应的x=1∈[0.1，2]（验证了学生5的猜测，赢得一阵掌声。）

D组学生6：我们找到了图象的最低点在x=1处，说明全年生产1万件最好。

师：你们采用了什么方法画图？

生：描点法。（展示图形）

……

（C组学生不甘示弱）学生7：我们已经解决了这个函数的单调性问题，它在[0.1，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数。（投影展示推证过程）

对任意xl，x2，设0.1≤xl

f（xl）-f（x2）=■-■

=x1-x2+■-■=（x1-x2）（1-■）=■，

当x1<1，x2≤1时，f（x1）-f（x2）>0；

当x1>1，x2>1时，f（x1）-f（x2）<0。

这说明函数y=f（x）在[0.1，1]上是减函数，（1，2]上是增函数。

师：这个特点能解决问题吗？

生：能。这说明x=1是函数的一个分界点，在它的左边递减，右边递增，故当x=1时，对应的3值最小，即每年安排生产1万件最好。（检验新假设，得到结论）

师：很好！（同学们也随着喝彩）C组同学实际上也证明了B组同学提出的函数y=x+■的单调性，我们把两组同学研究的结论合并起来，是不是又认识了一个新的函数呢？

生：是，就是y=x+■。

师：有谁能将今天探究的问题总结一下吗？

四、生成

生8：今天我们用数学知识解决了一个实际生产问题。

生9：今天我们研究了函数y=■的最小值。

……

师：大家都说得很好，今天我们不仅帮助这家企业解决了生产的实际问题，更重要的是我们在解决问题的同时，认识了一个很好的新函数，它就是y=x+■。希望它能成为我们共同的朋友，它的图象在（0，+∞）上是一个漂亮的“√”（大屏幕显示），这是对同学们今天出色表现的最高赞赏。

教师提出课外探究的新问题，再进行拓展后结束。（拓展问题，课外延伸）

参考文献：

王新民.关于数学教学效率及其效率意识的分析[J].数学教育学报，2006（3）.

编辑 李建军