浅谈洛朗定理与留数定理的关系

岳红云 刘宏超

摘要：本文通过对洛朗定理与留数定理的比较，发现它们虽然都能进行积分计算，但存在复杂与简单、直接与间接的差异，通过分析得到了如下结论，洛朗定理是留数定理进行积分计算的本质和保证，留数定理是洛朗定理进行积分计算的方便应用.

关键词：洛朗定理，留数定理，积分计算

中图分类号：G642文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0000-00

一、前言

1. 洛朗定理：设 在圆环域 内处处解析，那么 ，其中 ， .特别的，令 ，计算 沿 的积分可转化为求被积函数 的洛朗展式中 的系数 .

2. 留数定理：设函数 在区域 内除有限个孤立奇點 外处处解析， 是 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么 ，其中 ， 为 在 内的洛朗展式中 的系数.

二、问题

洛朗定理是级数理论的重要内容，留数定理是积分理论的的重要内容，两个定理都可以计算复变函数的积分，它们之间有什么关系？初学者往往对此问题感到困惑，这影响了复变函数理论的掌握，以下作者对此问题给出解答，从而让大家对复变函数的重点内容——积分的计算有清晰明了的认识，接下来就通过一个例题来说明这两个定理是如何进行积分计算的.

三、例题

例. 计算积分 ，其中 为正向圆周 .

解：法1. 因为被积函数的奇点有 ， ，故其在 内解析，且 在此圆环域内，所以被积函数在此圆环域内洛朗展式的 的系数 乘以 即为所求的积分值.

，

由此可见 ，故 .

法2. 因为被积函数的奇点有 ， ，将圆环域换成 ，函数仍解析， 在此圆环域内，同理可得，

，

由此可见 ，故 .

法3. 因为被积函数的奇点有 ， ，都在 内，计算

， ，

故由留数定理，可得

由此可见，利用洛朗定理进行积分的计算时，关键是找到被积函数解析的圆环域，这可以通过讨论被积函数的奇点就不难确定，但需要找到的圆环域包含闭曲线 ，这就不是一件容易的事，初学者往往很头疼。当然，只要找到了这样的圆环域，就可以把函数进行洛朗展开寻找其系数 就行了；而利用留数定理进行积分的计算则需要两步，第一步需要找到 内所有有限奇点，第二步计算留数，当然留数的计算仍需要在奇点的去心邻域内对函数进行洛朗展开。

看起来利用洛朗定理要直接简单，利用留数定理要绕弯，但实质上，由于寻找函数的洛朗展开的解析区域并不容易，而且不确定是那个区域合适，需要具体分析，这使得洛朗定理直接计算积分并不常用；而留数定理虽分为两步，也需要洛朗展开求留数，但都是在奇点的去心邻域展开的，是确定的区域，而且还可以发展延伸出更方便、快捷的计算方法，由于其有规范明确的程序化步骤可循，使得留数定理在积分的计算中易于大家掌握，从而起到了主导的地位.

四、结论

由以上两定理可得， ，所以留数定理是将洛朗定理中 的求法简化，细化为 内每一个孤立奇点处的留数之和，它们的实质是一致的，归根到底，都是利用函数的洛朗展式进行积分的计算，所以洛朗定理是复变函数积分计算的基础和出发点，洛朗定理是留数定理进行积分计算的本质和保证，而留数定理使洛朗定理进行积分计算的方便应用，没有洛朗定理，就没有留数定理，就没有复变函数积分的计算，而没有留数定理，就没有复变函数积分的广泛应用.

注：洛朗定理可以涵盖柯西定理：因为函数在闭曲线内处处解析，故只能在解析点进行泰勒展开，无负幂项，即 ，故 .

参考文献

[1] 刘玉琏，傅沛仁，数学分析讲义，北京：高等教育出版社，1993，4

[2] 钟玉泉，复变函数论，北京：高等教育出版社，1995

[3] 陆庆乐，王绵森，复变函数，北京：高等教育出版社，1996