初中数学学习中常见的几种模型

什么是数学模型？数学模型是一种常见的解决应用问题的思考方法，其实质是打开语言的外壳，从实际问题中提取关键性的基本量，将其转化为数学问题来表达，并进行推理、计算、论证等，最后得出结论。利用建模方法来解决实际应用问题，进一步减少学生在解应用问题时的思维障碍。下面介绍初中阶段几种常见的数学模型：

一、方程（组）模型

利用“方程（组）”模型解决实际生活问题，如利息和利率、工程问题、百分比问题、行程问题、浓配问题、劳力分配等问题。

例1.师徒两人检修一条长270米的自来水管道，师傅每小时比徒弟多检修10米，两人从管道两端同时开始检修，3小时后完成任务。师傅与徒弟每小时各检修多少？

解：设徒弟每小时检修x米，则师傅每小时检修（x+10）米，根据题意得3x+3（x+10）=270

解得x=40，则x+10=50

答：略。

二、不等式（组）模型

现实生活中，广泛存在数量之间的不等关系，诸如方案设计，最佳优化问题，可以将实际问题建立不等式（组）模型来解决。

例2.某校七年级408名师生外出春游，租用44座和40座的两种客车。如果44座的客车租用了2辆，那么40座的客车至少需租用多少辆？

分析：根据题意，找到数量关系，利用不等式来解决。

解：设40座的客车租用x辆，根据题意，得2×44+40x≥408

解得x≥8

答：40座的客车至少需租用8辆。

三、平面几何模型

几何与人类生活和实际需要密切相关，诸如测高量距、航海、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何”模型，把实际问题转化为几何问题，加以解决。

例3.如下图，根据气象观测，距沿海某城市A正南方向220 km，B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20 km，风力就会减弱一级，该台风正在以15 km/h的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则成为受台风影响。问：该城市受到台风影响的最大风力为几级？

四、函数模型

函数反映了事物间的广泛联系，提示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中的许多问题，如造价成本低、风险决策、股市、扭亏增盈等问题，常可建立函数模型求解。

例4.某市移动公司开设了两种通讯业务：A种业务先缴20元月租费，然后每通话1分钟再付电话费0.15元；B种业务不缴月租費，每通话一分钟付电话费0.20元（均指市内通话），若一个月市内通话x分钟，两种市内通话费用分别为yA元、yB元。

（1）写出yA、yB与x的函数关系式。

（2）一个月内通话时间为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？

（3）若某人预计一个月内使用市话费用100元，应选择哪种通讯方式？

分析：通过函数模型建立两个变量之间的关系。再根据实际情况加以判断。

解：（1）yA=20+0.15x，yB=0.20x

（2）两种通讯方式的费用相同 ∴yA=yB，即20+0.15x=0.20x

解得x=400，即一个月通话400分钟两种通讯方式相同。

（3）∵预计一个月内通话费用为100元

∴20+0.15xA=100，0.20xB=100，解得xA=400，xB=500

xA

五、统计模型

统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用，诸如人口统计、公司的财务统计、各类投票选举的问题。需要将实际问题转化为统计模型，利用有关统计知识加以解决。

例5.为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加全市中学生实验操作竞赛，每个月对他们的实验水平进行一次测量，如图，给出赛前的五次测量成绩。

（1）分别求出甲、乙两名同学5次测验成绩的平均数和方差。

（2）如果你是辅导老师，应该派谁参加竞赛，请结合图形简要说明理由。

分析：统计模型中的平均数、方差、中位数、众数等是常用的几个参数。所以，要熟悉这些知识点，并且利用他们加以选择判断。

（2）应派甲同学参加这次比赛。通过这次比赛尽管可以看出乙的成绩比甲相对稳定，但甲的成绩是呈上升趋势，而乙的成绩一直没有太大长进，甚至有下滑的趋势，因此选派甲同学参赛更合适。

“授人以鱼，不如授人以渔”。数学教学中渗透建模思想，教会学生解决问题的方法，才是新一轮课改的真正目的。

参考文献：

[1]韩树红.初中数学建模的常见类型.初中数学教与学，2007（2）：32-35.

[2]张向东.函数建模应用题解题策略.中小学数学，2007：27-28.

作者简介：张微，女，出生年月：1983.03，本科，就职于江苏省徐州市铜山区郑集镇中心中学，研究方向：初中数学教学。

誗编辑 赵飞飞