从“质心运动定理”和“质点系动能定理”看汽车的牵引力问题

杨习志

（昆明市第一中学，云南 昆明 650031）

通过查阅相关文献，笔者发现关于汽车的牵引力问题有多种解释和看法，但这些说法大都自相矛盾，不能自圆其说.比如，看法1认为汽车的牵引力是气缸通过传动轴对轮胎施加的驱动力矩，这种解释存在一个很大的问题，即驱动力矩是内力，而内力无法改变汽车质心的平动问题.如果把汽车架空的话，纵使驱动力矩有多大，汽车依然无法前行.看法2认为牵引力是轮胎对汽车轴心的拉力，可这是一个内力，因为轴心也对汽车轮胎有个大小相等的反作用力，明显不对.看法3认为牵引力是地面对主动轮产生的静摩擦力，由于静摩擦力是个外力，故这种看法消除了内力不能改变汽车质心的平动问题，但这个静摩擦力不做功，故解释不了汽车动能从哪来的问题.以上看法之所以出现各种问题和矛盾，其根本原因在于没有理论支撑，大多来自于自己的想法.虽然有些也给出了定量的证明，但没有最根本的理论做大前提，证明也是无效的，因此本文主要从质心运动定理和质点系运动定理出发探讨汽车的牵引力问题.

1 质心运动定理与汽车质心的平动问题

质心运动定理：无论质点系怎样运动，质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所受一切外力的矢量和，即根据质心运动定理，内力不会影响质心的运动状态，如果一个系统所受的外力矢量和为0，则不论系统内各质点如何运动，其质心一定是静止或匀速直线运动状态的.王充在《论衡·效力篇》中说“古人之力多者，身能负荷千钧，手能决角伸钩，使之自举，不能离地”.即人的力量再大也不可能通过自身内力将自己举起.再如双星系统，两颗星在引力作用下坍缩在一起，虽然两颗星的动能和运动状态在变，但双星的质心始终不会发生移动.如果一个系统所受的外力矢量和不为0，则不论系统内各质点如何运动，其质心一定具有合外力方向上的加速度，且与系统内各质点的质量集中在质心所具有的加速度相同.例如，一个跳水运动员，不管他在空中做出什么样的动作，但他的质心始终在做抛体运动，质心的加速度就等于重力加速度.如图1所示，当礼花被打到高空爆炸时，虽然礼花向四周炸开，但礼花的质心依然做抛体运动，故礼花炸开后成球形.

图1

通过上述分析我们可知，汽车的气缸通过传动轴作用于轮胎的驱动力矩和汽车轮胎作用于车轮轴心的力都不是汽车的牵引力，因为它们是汽车的内力，内力无法改变汽车质心的运动状态，故要使汽车的质心发生平动，就必须受到一个不为0的外力的作用，这个力就是主动轮受到的静摩擦力（实际上不完全相等，后面将继续探讨），如图2所示，汽车有从动轮和主动轮之分，当然也有四轮驱动的.从动轮运动时受到的静摩擦力f2与运动方向相反，是一个阻力，汽车关闭发动机运动时，主动轮的受力情况与从动轮是一样的.若主动轮在驱动力矩的作用下转动，则轮胎受到的静摩擦力f1与运动方向相同，是一个动力，同时，汽车还受到了空气阻力f空阻的作用.实际上轮胎或地面会发生形变，产生滚动摩擦力偶矩，对轮胎的转动会起到一定的阻碍作用，但相对于驱动力矩而言，滚动摩擦力偶矩非常的小，可以忽略不计，故只讨论无形变的理想情况.此时，汽车受到的合外力为F合＝f1-f2-f空阻，故根据质心运动定理得F合＝f1-f2-f空阻＝mac，所以牵引汽车运动，使汽车获得平动加速度的力是汽车主动轮受到的静摩擦力f1.此时，问题并没有结束，因为在实际运用中，人们发现用f1作为牵引力计算出的结果与实际不符，因为我们忽略了一个问题，当汽车发动机不工作时，主动轮的受力情况与从动轮是一样的，即受到一个向后的静摩擦力f2的作用.而当发动机工作时，主动轮受到的力从向后的f2突变为向前的f1，故当发动机工作时，汽车获得的力Δf＝f1-（-f2）＝f1＋f2，因此，Δf才是汽车真正的牵引力.因此，可以把汽车的牵引力定义为汽车发动机工作前后汽车主动轮所受地面摩擦力的变化量.

图2

2 质点系动能定理与汽车获得的动能问题

搞清楚什么是牵引力之后，我们依然无法回答另一个问题，即汽车受到的静摩擦力不做功，那么汽车获得的动能是哪来的，这就需要运用质点系动能定理了.质点系动能定理：质点系动能的增量在数值上等于质点系所受一切外力和一切内力所做功之和，即 ∑A外＋∑A内＝ ∑Ek-∑Ek0.根据质点系动能定理，无论是系统的外力或内力做功，系统的动能都将增加，故汽车所增加的动能来源于汽车的内力做功，即气缸产生的热能转变成推动活塞运动的机械能，活塞再通过传动轴对轮胎产生驱动力矩，使轮胎获得了转动动能.到此，汽车虽然获得了动能，但却是轮胎的转动动能，并不是汽车的平动动能，汽车是无法前行的，因此，汽车的牵引力Δf此时就起到了能量转化的作用，它虽然不能对汽车做功，但却能使汽车的质心产生平动加速度，从而帮助汽车将它的内力所做的功转化为它自身的平动动能，故二者缺一不可，没有内力做功，汽车无法获得轮胎的转动动能，但没有牵引力，轮胎的转动动能却不能转变为汽车的平动动能.整个过程可归结为2个方程，即Δf-f2-f空阻＝mac和∑A内＝ΔEk.实际上汽车的启动原理和人走路或起跳时是一样的，如图3所示，人在走路时后脚因向后蹬地而获得了向前的静摩擦力f，这个静摩擦力不做功，但人却获得了向前走的速度，甚至可以做加速运动.人起跳时（脚离地前）受到了向上的支持力N，但支持力N也不做功，那么人是怎样获得向上运动的动能的呢？其实，人走路时受到的静摩擦力f和起跳时受到地面的支持力N 都是起到了能量转化的作用，它们都不做功，但却可以使人体的质心获得平动加速度，从而将人体内力做的功转化为人的平动动能.

图3

3 产生牵引力的根本原因与牵引力的计算

前面讲到的牵引力Δf是静摩擦力.我们知道静摩擦力是一种被动产生的力，它的产生以及大小都决定于轮胎受到的驱动力矩的大小，故驱动力矩M驱是产生牵引力的根本原因，并且决定着牵引力的大小.虽然用Δf＝f1＋f2可以很清楚很形象地代表牵引力的大小，但在实际运用或是计算中并不好用，因为它的大小是被动的，故牵引力大小的计算需要利用驱动力矩M驱，即Δf＝M驱／r，其中r为轮胎的半径.由于人们经常用M驱／r来计算牵引力的大小，故在工程上或汽车行业上人们习惯上把M驱／r叫做汽车的牵引力.其次，由于 Δf＝f1＋f2，而f1≤f静max，故Δf＝M驱／r≤f静max＋f2，因此汽车的牵引力大小受制于汽车与地面之间的最大静摩擦力f静max.

1 漆安慎，杜婵英.普通物理学教程力学［M］.北京：高等教育出版社，2005.

2 刘德华.对汽车牵引力问题的探讨［J］.物理教师，2004（11）.

3 刘自华.汽车牵引力究竟是什么［J］.物理教学探讨，2006（261）.