小学数学应用问题模型构建的实践与探索

魏瑞霞，山东省特级教师、齐鲁名师、省教学能手，东营市专家、市功勋人民教师、市劳动模范、市为新中国成立和建设作出突出贡献的英模人物、市优秀共产党员、市“十大女杰”、市优秀科技工作者、市青年科技奖获得者；主持参研4项国家级、17项省市级科研课题，5次被评为全国优秀实验教师和实验先进工作者，任教班级被评为省优秀实验班，8项研究获全国实验成果一等奖，2项获山东省教育科研成果一等奖（政府奖），2项课程资源获山东省优秀课程资源一等奖；主编、参编国家级数学教材、教师用书及学生用书140余本，30余篇论文在省级以上教育期刊发表，30篇论文获省级以上一等奖。

一、问题的提出

“问题解决”与“数学建模”是数学教育的热点、焦点问题。在近几届国际数学教育大会上，“问题解决、模型化和应用”被列为几个主要研究的问题之一，且普遍赞同：通过开展“数学建模”活动来推动数学教育改革。

随着我国课程改革的深入，数学建模活动已扩展到义务教育阶段，且成为数学学习的重要目标。2011版《数学课程标准》将数学“建模—用模”问题归结为“模型思想”，成为“十大核心概念”中唯一以“思想”著称的核心概念，强调“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程”。

但是，目前我国的小学数学建模研究往往从认识和理论角度论述，与教学实践不够贴近，这无疑给一线教师的建模教学带来很大挑战，并导致四大问题。一是建模意识淡薄。教学过分关注知识与技能目标，缺少生活原型作为支撑和背景。二是用模意识缺失。不能将生活问题进行数学化的处理过程，缺少对问题的共性分析、提炼及优化的过程，不能形成具有稳定性的一般算法模型。三是评价方式单一陈旧。试卷上很难看到培养学生建模意识、检测学生建模能力的问题。四是广大一线教师对数学模型、数学建模、模型思想等概念缺乏清晰而全面的理解和认识，只能“摸着石头过河”，走一步，看一步。

由此，导致学生出现三大现象：一是面对图文并茂、信息纷杂的问题情景时，难以筛选出有用信息，抽象成数学问题；二是面对数学问题，找不到基本的数量关系，理不清解决问题的思路；三是对一些基本数量关系模糊不清，更不会用数量关系解决问题。鉴于此，我们开展了小学数学应用问题模型构建的实践与研究。

二、内涵的界定

1.应用问题

所谓应用问题，是指应用数与代数的知识和方法解决生活实际问题，即数与代数领域的解决问题。解决应用问题的本质是建立数学模型。

2.应用问题的数学模型

应用问题的数学模型，是指从实际生活原型或提供的实际背景出发，充分运用观察与操作、分析与比较、抽象与概括等思维方式，去掉非本质的东西，用数学语言或数学符号表述出的一种数学结构。

3.模型构建

模型构建，是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称。它是指针对某种系统特征或数量关系，用数学概念和符号概括或近似地表达解决同一类问题的共同数学演示模式。小学数学的模型构建主要是指在小学数学学习中运用数学思想方法、数学语言将生活实际问题抽象为数学问题，进而求解、验证与应用，体现“生活—数学—生活”的发展过程。

4.应用问题的模型构建

应用问题的模型构建，是把数学内容放在真实有趣的问题情景中，引导学生把实际问题抽象成数学问题，把生活原型转化为数学模型，并运用数学模型解决实际问题。这样，在解决问题中建构数学模型，在建构模型中解决问题。

基于上述认识，我们认为应用问题模型构建教学应从学生已有的认知基础和生活经验出发，创设与学生生活经验密切联系并富有挑战性的问题情景，吸引学生在问题解决中探索数学知识，经历建模过程，积累活动经验，获得思想方法，增强建模意识和解决问题的能力。

三、小学数学应用问题模型构建的

基本操作策略

1.在主题式教学活动中构建模型

所谓主题式教学，是指教学中将数学学习的内容设计成一些与学生生活联系密切且生动有趣的数学主题活动，学生在一个个喜闻乐见、生动活泼的数学主题活动中，主动发现数学、学习数学、应用数学；在主题活动中探究知识、构建模型、发展能力，同时获得数学学习的积极情感体验。

开展主题式教学应遵循以下基本流程：一是创设主题情景，发现提出问题， 构建文本模型；二是运用解决策略，探索研究问题，构建数学模型；三是运用数学模型，解决实际问题，体验数学价值。例如，学习一年级上册《认识加法》时，设计如下：

①确立的活动主题：走进花果山；

②创设的主题情境：小朋友到花果山游玩的情境；

③解决的现实问题：山上有多少只猴子？天空中有多少只小鸟；

④探究的数学问题：初步认识加法的意义；

⑤建构的数学模型：初步建构加法的意义模型——合并模型。

数学建模的过程设计如下：

第一，创设主题情境，发现提出问题，构建文本模型。多媒体播放小朋友到花果山游玩的情景，学生在主题情景吸引下，展开系列探索活动：观看主题情境，寻找数学信息；根据信息间的联系，发现提出数学问题；完成生活原型向数学问题的转化。

第二，借助解题策略，自主表征问题，构建数学模型。围绕“一共几只小猴”等数学问题，让学生选用打手势表演、摆学具、画图画、联想旧知等不同的方式和策略自主表征问题，多角度体会“合并”的含义，并逐步用抽象的数学符号“+”表示，初步建立加法的算式模型，完成数学问题向数学模型的转化。

第三，应用数学模型，解决实际问题，体验数学价值。运用加法模型解决主题情境中“白云朵数”“桃子个数”、“游玩学生人数”等简单问题完成数学模型向生活问题的拓展应用。

从学生熟悉的生活背景出发，确立了“来到花果山”的活动主题，创设了“到花果山游玩”的主题情景。一是极大地调动了学生参与的热情，激发了自主探索的欲望；二是学生亲身经历问题情境、建立模型、拓展应用的建模过程。

2.在自主探究教学中构建模型

自主探究教学是指在教学中，从数学学科领域或现实生活中选择和确定研究主题，创设一种类似于学术（或科学）研究的情境，引导学生主动发现问题、提出问题，进而通过观察、操作、猜测、验证、推理与交流等探索活动解决问题。在研究、探索、解决问题的过程中，学生自主构建新知，形成技能技巧，掌握基本的数学思想和学习方法，获得数学学习的积极情感体验。

自主探究教学大致经历以下操作流程：一是创设问题情景，发现提出问题，明确探究目标；二是自主表征问题，探究解题策略，构建数学模型；三是运用数学模型，解决实际问题，体验数学价值。例如，学习“乘加问题”时，建模过程如下：

第一，创设问题情景，发现提出问题，明确探究目标。从学生喜爱的假日旅游入手，呈现熟悉的旅游情景：观察情境图，寻找数学信息；根据数学信息，发现提出数学问题（旅游团每9人一组，已经分了4组，还剩5人。旅游团一共有多少人？）；实现问题情境向数学问题的转化。

第二，自主表征问题，探究解题策略，构建数学模型。围绕“旅游团共有多少人”这一问题，展开系列探究活动：借助已有经验，自选摆学具、画图、列表等策略表征问题；交流表征策略，理清数量关系；根据数量关系，列式解决问题；分析算法异同，提炼数学本质，构建乘加模型；完成数学问题向数学模型的转化。

第三，应用数学模型，解决实际问题，体验数学价值。运用乘加模型解决情境图中“停车数量”、“停车收费”等简单实际问题，实现数学模型向生活问题的拓展应用。

不难看出，探究问题的过程即建构模型的过程。学生在探究解决“旅游人数”、“停车辆数”等问题中，亲身经历观察问题情境、发现提出问题，探究解决问题、构建乘加模型；运用乘加模型、解决实际问题的建模过程。

3.在问题解决教学中构建模型

所谓问题解决教学是指教学过程中以数学问题情境为载体，以解决问题为框架，以数学知识的学习为媒介，通过创设问题情景，激发学生主动发现问题，提出问题，运用已有的知识、方法和经验解决问题，学生在研究、探索、解决问题的过程中学习知识、获取方法、体验成功。

问题解决教学大致经历以下操作程序：创设问题情景，发现提出问题，构建文本模型；借助解题策略，分析数量关系，构建数学模型；运用数学模型，解决实际问题，体验数学价值。下面以“连乘问题”为例加以说明。

第一，创设现实情境，发现提出问题，构建文本模型。从学生熟悉的校园生活入手，创设排列方阵的情景：观察情境图，寻找数学信息；根据数学信息，发现提出问题，构建文本模型（同学们做操，每个方阵8行，每行10人，3个这样的方阵共有多少人？）；完成数学建模第一步，即问题情境向数学问题的转化。

第二，借助解题策略，分析数量关系，构建数学模型。解决“3个方阵共有多少人”这一问题：自主选择摆图片、画图形、列算式等策略表征问题，理清数量关系；交流解题方法和表征策略，明确解题思路（可以从横向、纵向和竖向三个角度分析问题）；分析三种算法的异同，提炼数学本质，构建连乘模型；完成数学建模的关键一步，即数学问题向数学模型的转化。

第三，应用数学模型，解决实际问题，体验数学价值。运用连乘模型解决现实生活中“矿泉水瓶数”、“鸡蛋个数”等连乘问题，实现数学模型向生活问题的拓展应用。

由此可知，问题解决的过程即数学建模的过程。在解决“方阵人数”等系列问题中，学生亲身经历问题情景—建立模型—解释、应用和拓展的过程，亲身经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，经历运用解题策略、自主表征问题、分析数量关系、列式计算求解的过程，经历来源于生活、提升为数学、应用于实际的过程。

4.运用数学模型思想，经历数学建模过程

2011版《数学课程标准》中指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程等表示数学问题的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。例如，学习“除法的初步认识”时，设计如下：

第一，创设生活情景，发现提出问题——生活原型转化为数学问题。媒体播放《动物宴会》的动画情景，在动画情景吸引下，学生展开了一系列的探索活动：观看动画，找数学信息，根据信息，提数学问题，教师定向，明确目标：帮小动物们解决分食物的问题。

第二，借助操作策略，自主表征问题——解决策略理解数学问题。学生在问题情景的吸引下，利用学具操作，自主探索解决问题的方法和策略：分竹笋，感悟“平均分”的含义；分萝卜，探索“平均分”的方法；分松果、桃子等，经历“平均分”的过程，体会“平均分”的意义。

第三，归纳具体分法，列式解决问题——数学问题转化为数学模型。结合平均分食物的过程，引导学生分别用除法算式表示出来，从而建立平均分和除法的联系，初步认识除法。在此基础上，介绍除法算式的读法、写法和各部分的名称。

第四，运用已学知识，解决实际问题——数学模型应用于生活问题。媒体播放同学们在郊外会餐的情景画面，大致如下：一个3人小组正准备分3罐可乐、6个面包、12个桔子；一个4人小组正准备分4瓶矿泉水、12个火腿肠、20个小西红柿……引导学生用新学除法知识解决生活中简单实际问题。

这样，学生亲自经历了从实际问题抽象出数学问题，借助解题策略、自主表征问题，分析数量关系，建立数学模型，应用模型解决实际问题的建模过程，从中体会到“平均分”的意义，感悟到生活中平分现象和除法的内在联系，积累了将现实问题数学化的经验，领略到数学模型的思想和方法，增强了数学应用意识和问题解决能力。

四、效果与反思

1.根植教学实践，研究成果大面积推广应用和广泛交流

小学数学应用问题模型构建的实践研究，立足于解决问题，扎根在课堂教学，关注的是学生学习方式的改革和实践能力的提高。因此，研究受到了一线教师的青睐，得到了省市教育部门的重视和支持，成果在省内外大面积推广应用和交流。一是通过国培计划——工作坊高端研修项目和全国建模研讨会等，在全国推广和交流；二是自2011年连续3年为山东省中小学新课程远程研修研发资源，并通过网络视频对山东、四川、云南等省教师大面积培训；三是立足本市，积极开展建模研讨、多校联谊、送课下乡等活动，对促进我市基础教育课程改革和城乡义务教育均衡发展均产生积极而深远的影响。

2.研发建模教程，创立建模模式，丰富和完善了建模理论

通过多年的实践研究，我们对数与代数领域中“解决问题”的内容体系进行梳理，构建了应用问题八横四纵建模体系，研发了40个建模教程。针对应用问题模型构建的建模流程、建模策略等进行系统研究和探讨，创立了应用问题五环节建模模式，生发11种个性化子模式，研发出16个建模策略，系统规划了数学建模方法，丰富和完善了应用问题建模理论，对于帮助教师有效引导学生构建数学模型具有重要意义。

3.立足教学实际，学生的建模意识和解决问题能力明显增强

研究中，情境素材的精心创设、活动方式的巧妙设计、建模策略的专项指导，不仅大大激发了学生的学习兴趣，建模意识和解决问题能力也明显增强。通常，我们利用前测和后测等形式从研读问题情境、发现提出问题，运用建模策略、抽出数量关系，运用数学模型、解决实际问题三方面进行测评（见表1、表2）。

表1数据表明：学生能够选择自己喜欢的方法自主整理信息，且100%的学生有办法解决问题，说明学生对已有解题方法、策略运用自如。其中，借助直观策略（操作和画图）分析较复杂问题的约占64%。

表2数据表明：实验班和对照班比较，前测平均分差异不显著（Z=-0.29，P>0.05），而后测平均分差异极其显著（Z=4.54，P<0.01），说明该实验在提高小学生发现提出问题和分析解决问题能力方面效果比较明显。

4.教师的科研能力显著提高，教科研成果丰硕

我们将课题研究和校本教研融合，每位教师均经历研究的全过程，教科研能力大幅度提高，研究型团队已现雏形。近三年，主持和参研9项省市级课题，参研率95%以上；8人次获得全国、省、市优质课大赛一等奖；主编、参编100多本课标教材、教辅，在全国推广使用；《构建数学模型，凸显应用意识》等30余篇论文在《基础教育参考》等省级以上期刊发表；《小学数学“主题式”教学的实验研究》等2项成果获省教育科研成果一等奖（政府奖）；研发了《如何构建应用问题的数学模型》等8项资源，2项获省课程资源一等奖；《小学数学“应用问题·模型构建”的实践与研究》被评为东营市2013年度教育创新优秀项目，获山东省基础教育教学成果一等奖；涌现出国家级骨干教师3人，省特级教师1人，齐鲁名师1人，省市级教学能手8人；1人被教育部聘为国培计划“工作坊”高端研修专家，3人被省教育厅聘为山东省中小学新课程远程研修课程专家。

总之，本研究尚处初步探讨和实验阶段，仍有许多不足之处。今后还需在以下几方面深入研究：一是关注数学建模的分层教学。由于学生个体差异较大，探索适合每个学生发展的建模模式，将伴随每位教师的终身专业发展；二是加强小课题研究。在前期研究的基础上，做到研究主题系列化，针对有效构建数学模型的某一个成功点或困惑进行研究，并形成小论文；三是注重建模能力的评价研究。建立健全学生建模过程档案，记录并研究不同层次学生发展的全过程，探索一种科学有效、测评学生建模能力的考评方案。

（责任编辑 刘 颖）