利用Excel多元线性回归分析进行测区垂线偏差分量计算

何 丽 王晓智

（中铁大桥局集团 第一工程有限公司，河南 郑州 450053）

1 引言

回归分析在三角高程测量中的应用较少，主要是因为模型样本数太少,不能充分反映测区地形状况，模型精度较低，因而不能用于高精度的三角高程测量中。但是这样的尝试也给了我们一些启发，在远距离的高精度三角高程测量过程中，往往需要考虑垂线偏差分量的影响，为了求得这项改正，一般情况下要进行重力异常的测定或天文大地测量，工程施工测量单位做起来就有一定困难。由于垂线偏差的求解方法较为复杂，采用常规模型的话，模型参数往往不易求得，且精度也无法保证。因此，作者尝试从数理统计的原理出发，根据有限的测区高精度GPS基线控制网资料，对测区内的垂线偏差分量的求解方法进行一些探索。

2 回归分析原理

回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。回归分析的基本思想是：虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系,但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。

多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法,按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“一对多”回归分析)及多个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“多对多”回归分析),按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。在本文中，为简单起见，仅采用多元线性回归分析的方法，对垂线偏差的求解方法进行一些初探。

3 垂线偏差的概念

同一测站点上铅垂线与椭球面法线之间的夹角u，即是垂线偏差。u通常用南北方向分量ζ和东西方向分量η表示。参见图1。

图1

地面点的垂线同其在椭球面上对应点的法线之间的夹角u（见图1），它表示大地水准面的倾斜。垂线偏差通常用两个分量来表示，一个是子午圈分量ξ，即垂线偏差南北分量；一个是卯酉圈分量η，即垂线偏差东、西分量。

3.1 垂线偏差公式

根据肖荣健教授等人研究，我们可以较为方便地利用两条GPS基线边求得测区特定区域的垂线偏差分量。其公式为：

从上式可知，ξ、η的精度受基线之间的夹角影响明显，因此使用GPS测定垂线偏差时应特别关注两基线之间的夹角不宜太小。

由于用GPS获得基线间的距离、大地高非常容易，基线间的正常高差也可很快求得，在面积不大且地形呈线性变化的地区，用GPS测定垂线偏差是种理想的途径，其结果精度已有研究者证明与精密天文大地方法相当[1]。

3.2 试验区域垂线偏差情况

三角高程测量有显著的优点，但在丘陵和山区，由于地形起伏较大，根据目前的研究成果，垂线偏差的变化也较大，这就使得测点之间所观测的高差不等于这两点之间的正常高高差，因此，进行远距离单向三角高程测量时必须进行垂线偏差改正。

我们试验依托在建的南澳大桥项目位于广东省东北部，为连接汕头市南澳县与汕头市区的一座跨海大桥，根据我们计算得出的试验区域垂线偏差的情况来看，类似于平原地区，最大值为4″，最小值为 2″，在 2km左右范围内，变化范围为 0.015″～0.36″，平均变化率约0.17″。根据严密三角高程测量计算公式[2]：

为简单方便，我们这里使用测区计算出的垂线偏差分量均值代替。即使在平原地区，对于2km的距离，其对高差的影响最大约为3.5mm，因此在进行远距离单向三角高程观测的时候，即便是垂线偏差变化不大的地区也不能不考虑其对高差的影响。因此，在地形复杂地区观测测量时，应该适当减小视线的长度，进行远距离单向观测时，必须加入垂线偏差改正。

4 利用Excel进行多元线性回归分析辅助进行测区垂线偏差分量计算

一元线性回归分析用模型中的一个自变量X来估计因变量Y。但由于客观事物的联系错综复杂,一个因变量的变化往往受到两个或多个自变量的影响。为了全面揭示这种复杂的依存关系,准确地测定它们的数量变动,提高预测和控制的精确度,就要考虑更多的自变量,建立多元回归模型。多元回归的计算难度要远大于简单线性回归,且变量越多,计算越复杂，但应用Excel来完成计算将变得简单和轻松。

我们就用以下图中的数据为例简单探讨一下利用Excel进行多元线性回归分析辅助进行测区垂线偏差分量的计算方法。

表4-1 基线端高差和距离与垂线偏差分量ξ的原始数据

多元线性回归的Excel数据分析操作方法首先单击工具栏,在弹出的菜单中选择加载宏，在弹出的宏加载项中选择加载分析工具库，确定后再在工具栏中选择数据分析,在数据分析工具的选项框中选中回归,然后在输入、输出选项以及有关的选项框中进行适当的选择,必须注意在进行自变量X的输入时要按照已经确定的各个自变量的顺序把所有自变量的单元格引用范围一起放在X值的输入区域内。具体流程见图2。

图2 多元线性回归分析流程图

点击“确定”按钮,即可得到线性回归分析的结果。见图3。

图3 垂线偏差线性回归分析计算结果

根据上图中的显示结果,可直接写出线性回归方程：

计算结果中，列Significance F对应的是在显著性水平下的Fα临界值，其实等于P值，即弃真概率。所谓“弃真概率”即模型为假的概率，显然1-P便是模型为真的概率。可见，P值越小越好。对于本例，P=0.00888＜0.01，故置信度达到99%以上。

利用该式，就可以方便地求得测区范围内任何地方进行的三角高程测量的垂线偏差分量的改正值，而无须再进行长时间的GPS静态观测以求得测线两端的垂线偏差分量。

5 测区垂线偏差分量改正应用

根据上一节中的计算分析，我们进行了单向观测的试验，试验选择的直线距离为720m，两点之间的高差按照二等水准的测量精度精确求得。根据计算得出的测区平均垂线偏差值为3.3963″，结合回归分析的计算模型计算得试验距离上垂线偏差值为3.3603″，可以计算出试验距离垂线偏差的影响约为：

这个数值对于精密三角高程测量来说，是不能不考虑的。试验的结果经大气折光和垂线偏差以及椭球改正后，精度大为提高，也说明此法的可行性，具有一定的实用价值。

6 结论

如果样本数量更多，置信度也许会更高一些，或者采用非线性回归分析，会更符合现场的实际情况，限于时间和篇幅，本文暂不做更深入的研究，仅限于提供一种思路和方法。

Excel是Office家族的一个成员，是功能强大、使用方便的电子表格式数据综合管理与分析系统，可用来记录和整理试验数据。另外，Excel也具备一些统计运算的功能，若能巧妙地使用，也可以解决一些较为复杂的测量统计运算问题，如多元非线性回归的问题等。

从本例中可以看出，其实基线距离S1和S2对于测区垂线偏差的影响不显著，影响较大的是基线两端的高差。因此，在平原地区，距离较短、精度要求较低时可以不考虑垂线偏差的影响，但是远距离或在地形起伏较大的山区进行高精度的三角高程测量，就必须要考虑垂线偏差的影响了。

[1]肖荣健，邹强.垂线偏差的确定方法[J].大众科技，2009（8）.

[2]肖根旺，许提多，周文健，朱顺生.高精度三角高程测量的严密公式[J].测绘通报，2004(10).

[3]李建忠.用GPS测定垂线偏差[J].测绘工程,Vol.8,No.2,1999.

[4]王爱国.大气折光和垂线偏差影响的三角高程测量的精度分析[J].西部探矿工程2007，3.

[5]龚江，石培春，李春燕.巧用Excel解决多元非线性回归分析[J].农业网络信息，2011（01）.