精细结构常数的理论值

刘 云

（驻马店市公安局，河南 驻马店 463100）

近百年来，物理学家们对精细结构常数的研究从没有停止过，人们想从理论上寻找答案，有关的论文发表了一篇又一篇，然而到目前为止，仍然没有哪一位真正获得成功。著名的物理学家普朗克和爱因斯坦都曾苦苦思索过这个问题，正如美国物理学家费曼（Richard Phillips Feynman，1918-1998）所说，这个数字自五十多年前发现以来一直是个谜。所有优秀的理论物理学家都将这个数贴在墙上，为它大伤脑筋。它是物理学中最大的谜之一，一个该死的谜，一个魔数来到我们身边，可是没人能理解它。你也许会说上帝之手写下了这个数字，而我们真不知道他是怎样下的笔。

1 精细结构常数的由来

1891 年，麦克尔逊（Albert Michelson，1852-1931）通过更精确的实验发现，原子光谱的每一条谱线，实际上是由两条或多条靠得很近的谱线组成的。这种细微的结构称为光谱线的精细结构。尼尔斯·玻尔（Niels.Bohr，丹麦，1885-1962）于 1913 年发表了氢原子模型，从而成功地解释了氢原子光谱线的分布规律。此后，索末斐（Arnold Sommerfeld，德国，1868-1951）发现电子的轨道能级除了跟原来玻尔模型中的轨道主量子数n有关外，还跟另一个角量子数l有关。对于某个主量子数n，可以取n个不同的角量子数，但不同角量子数的轨道之间的能级有微小的差别，能级差正比于某个无量纲常数的平方，这个常数来源于电子的质量随速度变化的相对论效应。量子电动力学也认为，它就是基态轨道上电子的线速度与光速之比。这个常数被称为精细结构常数，也被称作电磁偶合常数。通过精确的实验测定氢基态电子速度与光速比值为a=1/137.035 999 76（1998年国际科技委员会公布数值）。

目前对a常数最高精确值的测量是应用量子霍尔效应，通过对原子光谱的精细结构裂矩的测量获得，精确度依赖于光谱分析技术的发展程度。尽管人们能通过实验把精细结构常数计算得相当精确，但一直不知道电磁偶合强度为什么与常数a分不开。

理论物理学家狄拉克（Paul Adrie Maurice Dirac，1902年～1984年）将量子波动力学与相对论相结合起来，提出了电子的相对论性量子力学方程——狄拉克方程。狄拉克方程不但更好地解释了光谱的精细结构——认为它是电子的自旋磁矩与电子绕核运行形成的磁场耦合的结果，而且还成功地预言了正电子的存在。而描述光与电磁相互作用最为完善的理论是量子电动力学。量子电动力学认为，两个带电粒子（比如两个电子）是通过互相交换光子而相互作用的。这种交换可以有很多种不同的方式。量子电动力学的计算表明，不同复杂程度的交换方式，对于相互作用的贡献是不一样的。它们的贡献随着过程中光子的吸收或发射次数呈指数式下降，而这个指数的底，正好就是精细结构常数。或者说，在量子电动力学中，任何电磁现象都可以用精细结构常数的幂级数来表达。这样，精细结构常数成为电荷与磁场之间耦合强度的一种度量，简称电磁常数。

2 电子旋转速度

任何基本粒子都由至少两个相互吸引的粒子旋转构成，或者等效成两个粒子，参与旋转的粒子叫旋子。粒子在改变旋子间距时都会与外界交换能量，同时粒子质量发生变化，这一过程称为跃迁。以氢原子为例，电子和核都是旋子，设旋子间综合引力系数为k（不论引力是由电荷或质量引起），电子与核的质量分别为 m1、m2，电子与核旋转轨道半径分别为 r1、r2，旋转速度分别 v1、v2。 为便于表述，令（m1+m2）/m2=g（类似于朗德因子），用 v=v1+v2表示旋子间相对速度，r=r1+r2表示旋子间距，也称相对半径，电荷数为 1，因离心力等于引力，由 m1v12/r1=m2v22/r2=k/（r1+r2）2导出r1/r2=v1/v2=m2/m1。现有的量子力学理论认为，基本粒子遵守mvr=nh/2π规则（n取正整数，h为普朗克常数，π为圆周率），即角动量量子化公式，其实是将核心质量视为无穷大时的一种近似，但核心质量并非无穷大，因此应引申为m1v1r1+m2v2r2=hn/2π，即gm1v1r1=nh/2π更为正确。推导如下：若m1v1r1=n1h/2π成立，则m2v2r2=n2h/2π（n1、n2均为正整数）也应成立，且 n1/n2=m2/m1，取 n1=1，则n2=m2/m1，这意味着电子旋转取基态时，核的旋转不一定是基态，甚至n1、n2不能同时取整数。在同一个基态粒子中，不可能一个旋子是基态，而另一个不是。从能量守恒推导得，两旋子的动能之和总是n倍于粒子旋转半频率所对应的能量，可导出gm1v1r1=nh/2π。由能量守恒还能导出，粒子电离能w总是两旋子动能之和，公式为w=gm1v12/2。由以上可得r1=nh/2πgm1v1，旋子间引力系数 k=（m1v1r1+m2v2r2）v，或表示为 k=g2m1v12r1=gnhv1/2π=nhv/2π。 若用核子表示，则 k=gnhv2/2π（g-1），r2=n（g-1）h/2m2v2πg。 若令 m1=m2=me（me为电子静质量），则 g=2，代入得 k=nhv1/π，r1=nh/4πm1v1，w=m1v12，便是电子偶素的旋转参量公式。假设电子偶素中电子相对速度总是光速的整分数倍，用c/s（s取正整数，c为光速常数）表示，s=137 时，k=hc/274π，电离能约 6.8eV（电子伏），实验已经证明这样的基态电子偶素确实存在，可见电偶素中电子速度就是c/137。

为了方便表述和比较，把基态电子偶素的物理参量都大写并在下文中作为一个量使用，把n=1、电子间相对速度v1=V=c/137 代入公式 k=nhv1/π，r1=nh/4πm1v1，w=m1v12得基态电子偶素中旋子间力系数K=hV/2π，粒子半径R=h/2πmeV，电离能W=meV2/4。静电子群间力系数最早由库仑实验测定，约为8.987×109Nm2/C2（牛顿米2/库仑2），式中 C=6.241 46*1018为库仑常数，换算成每个电子间的力系数，约为2.31×10-27Nm2/e2（e为电子电量，本文e=1），这一数值与K=hV/2π完全相符。

原子与电子偶素相比，因两旋子的质量不同而使中心偏向核子，称为偏转。若核子电荷数为Z，则由gm1v1r1=nh/2π，m1v12/r1=ZK/r2得 v=ZV/n，r1=nh/2πm1vZ=n2R/Z，w=m1v2/2g， 这些公式适用于所有原子的最内第一个电子。可见，一个电子与核结合后跃迁时总是保持两旋子相对速度v与定值V为整倍数关系，基态时为Z倍。

3 精细结构常数的理论值

根据现有量子电动力学理论，原子中不同角动量的电子能差与某一常数a平方成正比，这个常数又等于氢基态电子速度与光速比值，但这个观念是有误差的，下面看原子中与电子各级能差正比的常数到底是什么。若第一个电子与氦核结合，核心电荷Z=2，n=1态，则电子相对于核的速度v=ZV/n=2V，r1=n2R/Z=R/2，w=m1v2/2g=54.4eV。第二个电子相当于是与一个粒子（电离子）整体对旋，电子相对于离子质心速度仍表示为v=Z1V/n2，Z1为离子综合电荷，但Z1如何确定呢？大量实验表明第一个电子只能屏蔽掉氦核大约0.655个正电荷量，并且随着核电荷数Z增加，屏蔽掉的正电荷数也会变小，这与粒子自旋及电子布局有关。第二个电子的结合能约为 w=13.6eV（Z2-Z-3/16）=24.65eV（实验值为 24.6eV），则屏后电量 Z1=1.345，令 n2=1则 v=1.345V，电子轨道半径r1=n2h/2πm1vZ2=0.74R。可见，原子外第二个电子及以后的电子相对于核的速度不一定是定值V的整倍数。

关于运动电子屏蔽掉核心多少电量，量子电动力学也没能提供精准公式，多电子时薛定谔方程已无法求解，因为要考虑的因素实在太多。如果仍按上面的结合能公式，锂原子第二个电子电 离 能 w=13.6eV（Z2-Z-3/16-8/36）=76.02eV（实 验 值 为75.6eV），同理碳的第二电子电离能为w=13.6eV[Z2-Z-3/16-8/36-15/64-24/100]=396eV（实验数据为392eV）。总之大致符合w=13.6eV[Z2-Z-3/16-8/36-…-（j2-1）/4j2]，式中 j=Z-1。 从（j2-1）/4j2项看，电子在不同层次轨道上的自旋速度是不同的。另外还有学者从大量的实验数据中直接类推出粗略公式，也能粗略推导出较高离子的综合电荷[4]。

由以上知，电子绕任何一个正电荷为Z、质量为me/（g-1）的粒子旋转时，电子相对于该粒子的速度为v=ZV/n=Zc/137n，则代入电离能公式得相应电离能为：

式中n1与n2取不同正整数，原子中核心的电荷与原子序数相同，而核心再结合电子后的综合电荷数不一定为整数。从辐射公式（3-2）看，g无法消除掉，说明辐射能总是与两个旋子质量比有关。那么原子中各态电子能差也肯定与g有关，只不过g往往很小，比如第十号氖原子g=1.000 027。如果考虑电子自旋影响到核心的电量值为dZ，在氢基态中不同的电子自旋方向的电荷量分别为 Z1=1+dZ，Z2=1-dZ，根据式（3-1），不同自旋时能差dw=4dZmeV2/2g仍与g有关，这就是氢原子超精细分裂的能差，也是造成氢光谱21厘米线的原因，式中dZ、me均为恒定值，这一能差显然只与a2=1/1372g正比。

式（3-2）中V恒为c/137，则各级能差应正比于a2=1/1372g，而认为能差正比于某一固定常数，本身就有误差。用不同的原子去测定a将会得出不同的数值，比如，氢原子中g=1.000 544，a=1/137.037 26，氢基态电子速度为c/137.075；氘原子中a=1/137.018，氘基态电子速度为c/137.037 26；氦原子中a=1/137.009 3；氦原子最内层电子基态速度为c/68.509，而第二个电子的基态速度为c/

尽管是在多电子原子中，式中Z也与g无关，则原子外电子的能量辐射公式为：102。由此看来电磁常数是随旋子质量不同而变动的。有人从宇宙射线中测定出更小数值的a常数，那么射线一定是从某更大原子核中发射的，而不是以前的电磁常数值更小。由此可以看出，狄拉克关于电磁常数是变化的猜测是正确的，但这种变化是旋子不同质量比引起，而真正的电荷间力系数并不变化。

电磁场论和量子电动力学都是在电磁常数基础上建立起来的，而这些理论都是把电子看作一个点来研究的，因此不得不对能量的负无限大做出重正化处理，也正如费曼所说：“把能量定域在场中的观念与点电荷的观念是完全不相容的，电荷本并不是一个点，在十分微小的距离上，电学理论已经有点错误，局域内能量守恒的观念也有点不对头，这些观念都存在困难，这些困难从未得到解决，直到现在（详见《费曼物理学讲义》第二卷第97页“点电荷能量”）。”这说明，量子电动力学也并非十分严密完美，如果说a=1/137.035 999 76是正确的，那么氢基态电离能应为13.596eV，即使是氘基态电离能也不超过13.599eV，而理论上氢基态的电离能达13.603 066eV，氘基态电离能为13.606 898 9eV，用高精度实验可以验证这一点。无论如何，a常数只是很接近氢基态电子速度与光速比值，如果直接表述为这一常数就是氢基态电子速度与光速的比值，是不严密的。这也说明之前对这一常数测定时，并没有真正考虑到电子与核心的质量比，计算方法值得考量。

4 结论与展望

上文的论证都充分说明基态电子偶素中电子相对核心速度总是为c/137，而电子在绕另一个质量为me/（g-1）、电荷为Z的粒子旋转时，基态时相对于该粒子速度恒为Zc/137，电子在轨道上平移速度恒为Zc/137g。无论是主量子下的电子能差，还是考虑到电子自旋后的能差，总是与a2=1/1372g成正比，因此精细结构常数a十分接近氢基态中电子的速度与光速之比，但二者并不严格相等。已经证实电子存在c/68.5和c/274这样的基态旋转，进一步研究表明，核内重子的自旋速度更高。如果不考虑电荷，设想粒子的力系数只与自旋速度有关，则重子所遵守的引力规则与电子引力规则竟然是相同的，电荷的概念只不过是与磁自旋存在某种等效，中性电粒子的磁自旋是严格对称自闭的。这一发现有望将电磁力与核内强力从规则上统一起来，甚至是万有引力作用下的天体旋转系统，也能找到用量子力学表达的方法，并最终也统一到电磁力上来。

[1]王明美.对精细结构常数和研究与综述[J].中国科技信息，2005，（15）：84-85.

[2]R.P 费曼，R.B 莱登，M.桑兹.费曼物理学讲议[M].上海：科技出版社出版，1989，12.

[3]黄志洵.精细结构常数测量和光速的变化[J].北京广播学院学报（自然科学版），2002，9（4）：1-4.

[4]李耀宗，梁昌慧，张小安.用屏蔽法计算较高电荷态类锂离子的电离能[J].科学技术与工程，2011，11（1）：117-119.

[5]陈星，潘正权.Hg绿谱线超精细结构分析及相互自用常数计算[J].大学物理，2006，25（6）：36-39.