一道问题的多角度审视
2014-10-17李维春
李维春
一、问题提出
题已知△ABC中,3tanA·tanB-tanA-tanB=3.
(1)求∠C的大小;(2)设角A,B,C的对边依次为a,b,c,若c=2且△ABC是锐角三角形,求a2+b2的取值范围.
[HTH]解[HT](1)C=π3 (略).
(2) 学生解1:由余弦定理得a2+b2-ab=4.
a2+b2-4=ab≤a2+b22,
所以a2+b2≤8(“=”当且仅当a=b时取到).
又因为a2+b2=4+ab>4,
所以a2+b2∈(4,8].
全班50人中有48人这样解,另两人是这样解.
学生解2:由正弦定理得asinA=bsinb=csinc=232,
从而a2+b2=163(sin2A+sin2B)=163[sin2A+sin2(120°-A)]=163[1+12cos(2A-120°)].
所以a2+b2的取值范围是(203,8].
两种解法对比易知解2正确,解1错误.其实ab>0,范围太宽了,没有考虑锐角三角形条件,
应为
a2+b2-ab=4,a2+b2>4,a2+4>b2,b2+4>a2.①②③④
事实上,列出的式子是“边”的形式,难道非要通过三角函数,将“边”转化为“角”,才能求出a2+b2范围?真有如梗在喉的感觉.
二、探究
1.增量换元,函数视角
两个变量a,b,三个不等关系式和一个等式,怎样才能消去一个变量呢?如果通过解方程b=a±16-3a22代入消去b不行,就是说消a,b都行不通,增量换元一试,将a,b全部消去.
将③④分别代入①得b<2a,a<2b.
设λ=ba(12<λ<2),代入①得a2=4λ2-λ+1,
则b2+a2=a2(1+λ2)=4(λ2+1)λ2-λ+1 .
记f(λ)=4(λ2+1)λ2-λ+1,f ′(λ)=-4(λ2-1)(λ2-λ+1)2.
当λ∈(12,1)时,f ′(λ)>0;λ∈(1,2),f ′(λ)<0,
又f(12)=f(2)=203,f (1)=8.
所以f (λ)∈(203 ,8].
将a2+b2表示成ba的函数,求得范围,导数“一显身手”.
2.静中有动,解析视角
一、问题提出
题已知△ABC中,3tanA·tanB-tanA-tanB=3.
(1)求∠C的大小;(2)设角A,B,C的对边依次为a,b,c,若c=2且△ABC是锐角三角形,求a2+b2的取值范围.
[HTH]解[HT](1)C=π3 (略).
(2) 学生解1:由余弦定理得a2+b2-ab=4.
a2+b2-4=ab≤a2+b22,
所以a2+b2≤8(“=”当且仅当a=b时取到).
又因为a2+b2=4+ab>4,
所以a2+b2∈(4,8].
全班50人中有48人这样解,另两人是这样解.
学生解2:由正弦定理得asinA=bsinb=csinc=232,
从而a2+b2=163(sin2A+sin2B)=163[sin2A+sin2(120°-A)]=163[1+12cos(2A-120°)].
所以a2+b2的取值范围是(203,8].
两种解法对比易知解2正确,解1错误.其实ab>0,范围太宽了,没有考虑锐角三角形条件,
应为
a2+b2-ab=4,a2+b2>4,a2+4>b2,b2+4>a2.①②③④
事实上,列出的式子是“边”的形式,难道非要通过三角函数,将“边”转化为“角”,才能求出a2+b2范围?真有如梗在喉的感觉.
二、探究
1.增量换元,函数视角
两个变量a,b,三个不等关系式和一个等式,怎样才能消去一个变量呢?如果通过解方程b=a±16-3a22代入消去b不行,就是说消a,b都行不通,增量换元一试,将a,b全部消去.
将③④分别代入①得b<2a,a<2b.
设λ=ba(12<λ<2),代入①得a2=4λ2-λ+1,
则b2+a2=a2(1+λ2)=4(λ2+1)λ2-λ+1 .
记f(λ)=4(λ2+1)λ2-λ+1,f ′(λ)=-4(λ2-1)(λ2-λ+1)2.
当λ∈(12,1)时,f ′(λ)>0;λ∈(1,2),f ′(λ)<0,
又f(12)=f(2)=203,f (1)=8.
所以f (λ)∈(203 ,8].
将a2+b2表示成ba的函数,求得范围,导数“一显身手”.
2.静中有动,解析视角
一、问题提出
题已知△ABC中,3tanA·tanB-tanA-tanB=3.
(1)求∠C的大小;(2)设角A,B,C的对边依次为a,b,c,若c=2且△ABC是锐角三角形,求a2+b2的取值范围.
[HTH]解[HT](1)C=π3 (略).
(2) 学生解1:由余弦定理得a2+b2-ab=4.
a2+b2-4=ab≤a2+b22,
所以a2+b2≤8(“=”当且仅当a=b时取到).
又因为a2+b2=4+ab>4,
所以a2+b2∈(4,8].
全班50人中有48人这样解,另两人是这样解.
学生解2:由正弦定理得asinA=bsinb=csinc=232,
从而a2+b2=163(sin2A+sin2B)=163[sin2A+sin2(120°-A)]=163[1+12cos(2A-120°)].
所以a2+b2的取值范围是(203,8].
两种解法对比易知解2正确,解1错误.其实ab>0,范围太宽了,没有考虑锐角三角形条件,
应为
a2+b2-ab=4,a2+b2>4,a2+4>b2,b2+4>a2.①②③④
事实上,列出的式子是“边”的形式,难道非要通过三角函数,将“边”转化为“角”,才能求出a2+b2范围?真有如梗在喉的感觉.
二、探究
1.增量换元,函数视角
两个变量a,b,三个不等关系式和一个等式,怎样才能消去一个变量呢?如果通过解方程b=a±16-3a22代入消去b不行,就是说消a,b都行不通,增量换元一试,将a,b全部消去.
将③④分别代入①得b<2a,a<2b.
设λ=ba(12<λ<2),代入①得a2=4λ2-λ+1,
则b2+a2=a2(1+λ2)=4(λ2+1)λ2-λ+1 .
记f(λ)=4(λ2+1)λ2-λ+1,f ′(λ)=-4(λ2-1)(λ2-λ+1)2.
当λ∈(12,1)时,f ′(λ)>0;λ∈(1,2),f ′(λ)<0,
又f(12)=f(2)=203,f (1)=8.
所以f (λ)∈(203 ,8].
将a2+b2表示成ba的函数,求得范围,导数“一显身手”.
2.静中有动,解析视角