以学定教少教多学

赵卫群

教学背景：2014年对口高考的文化课均实行新考纲，数学考试大纲有了较大调整，其中数列这部分在新考纲中变化不大.考查形式近几年主要以选择题、解答题形式出现，难度适中.现高三数学已全面进入紧张的二轮复习阶段.面对新考纲，又考虑到学生的实际情况，数学课该怎么上？ 2月18日上午，我参加了学校教师教学比赛，所上《数列的通项公式》一课获得一等奖.评课老师一致认为这是一堂务实高效的专题复习课.

教学目标：1.了解数列的概念；2.能用定义证明一个数列是等差或等比数列；3.会用公式求等差数列、等比数列的通项公式；4.会用Sn和an的关系求数列的通项公式.

教学过程：

第一板块：再学考纲，以纲导复

1.今天我们一起复习数列的通项公式，（教师板书）咱们看看考纲对此部分的要求是什么，（PPT展示）

了解理解掌握

数列的概念等差数列等比数列

具体要求可阐述为以下四点：（PPT展示）

（1）了解数列的概念；（2）能用的定义证明一个数列是等差或等比数列；（3）会用公式求等差数列、等比数列的通项公式；（4）会用Sn和an的关系求数列的通项公式.（学生齐读）

2.单招考试中，求数列的通项公式一般有这样四种方法：（PPT展示）

①观察法；②公式法：利用等差、等比数列的通项公式；

③利用Sn和an的关系式：an=S1（n=1），Sn-Sn-1（n≥2）；④特殊法：构造、叠加、累乘等.

本节课咱们先复习前三种，下面我们通过具体题目来逐一体会.

（设计意图：简要呈现本节课的复习目标和解决问题的方法，在考纲的引领下使学生在阅读中获得新感悟.瞬间集中了学生的注意.）

第二板块：重组内容，提炼方法

任务一：请同学们快速独立完成以下两题：（PPT展示）

（1）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2anan+2（n∈N+），它的前5项是 ，归纳出它的通项公式为an= .（2）数列-1，2，-4，8，-16，…的一个通项公式为 .

①指名回答，同学评价. ②说说你是怎样发现规律的？

③学生交流总结，当数列各项为分数时，可先写出分子与分母数列的通项公式，有时还需要对数列的某几项作一些变形，再归纳出原数列的通项公式.

④如果第（2）题中的数列变为：1， -2，4， -8，16，…，这时该数列的通项公式又是什么呢？指名回答.⑤比较这两个通项公式的不同之处，让你体会到什么？ 指名回答.（当数列的各项符号正、负相间时，可用（-1）n或（-1）n+1进行调整.）

在已知数列的前几项的基础上，进行分析、观察、比较每一项的特点，从而提炼揭示其本质.相对于填空题或选择题，只需要用不完全归纳法猜想、验证即可.我们把这种解题方法称为观察法.

（设计意图：引导学生当一个数列已知前几项时可以用不完全归纳法猜想、归纳求数列的通项公式.并在教师的追问下让学生有感而发，在题目的变式中寻求方法技巧.）

但自2009年以来单招考试中数列的试题常以综合题的形式出项，如2011年单招中的这题.

任务二：（2011年）已知数列{an}是公比为q（q>0）的等比数列，其中a4=1，且a2，a3，a3-2成等差数列.求数列{an}的通项公式.（PPT展示）

①所求数列是什么数列？（教师适当的语言留空）既然是等比数列应选用什么方法求通项？

②谁来背背等比数列的通项公式？指名回答.（教师板书公式）

③如果选用公式an=a1·qn-1求解，应将题中条件转化为关于哪些量的？

④如果选用公式an=am·qn-m求解，那题中有没有公式中的已知量？题中剩余条件此时应转化为关于哪个量的？

⑤请同桌之间选用不同的公式求解，比比谁解的即快又准确.

⑥投影展示两名学生的解答过程，学生评价.

⑦那等差数列的通项公式呢？指名回答.（教师板书公式）

⑧谁来说说下面这道题的解题思路？（已知数列{an}是等差数列，其中a1=4，且a1，a5，a13成等比数列.求数列{an}的通项公式.）

⑨师生共同总结，当数列是等差、等比数列时，用公式法求其通项，但要根据条件寻找首项、公差（或公比），同时注意解答过程中方程（组）思想的应用.

（设计意图：强化公式的记忆、理解与应用.引导学生弄清这一类问题的本质，体会方程（组）思想，可以取得事半功倍的效果.）

实际上，还有相当一部分题目中数列是不明确类型的，并且与函数、不等式等有机结合，那我们解决问题的有效抓手是什么呢？咱们看2009单招高考中的一题.（PPT展示）

任务三：（2009年）设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Snn）均在函数f（x）=3x+2的图象上.（1）求a1，a2及数列{an}的通项公式；（2）解不等式f（n）≥Sn-22.

①这题涉及哪些知识点？

②如果让你做，应分几个板块解决？

③第一板块解决什么问题？根据哪个条件解？

④第二板块呢？借助什么关系来解决？（教师板书Sn和an的关系式）第三板块呢？

⑤以下是老师的解答过程，请同学们找找有无错误？

（PPT投影展示解题过程，在学生回答的基础上，完善其解答过程.）

因为点（n， Snn）在f（x）=3x+2的图象上，所以Snn=3n+2，即Sn=3n2+2n.

当n=1时，a1=S1=3×12+2×1=5.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2+2n-[3（n-1）2+2（n-1）]=6n-1，所以an=6n-1

教学背景：2014年对口高考的文化课均实行新考纲，数学考试大纲有了较大调整，其中数列这部分在新考纲中变化不大.考查形式近几年主要以选择题、解答题形式出现，难度适中.现高三数学已全面进入紧张的二轮复习阶段.面对新考纲，又考虑到学生的实际情况，数学课该怎么上？ 2月18日上午，我参加了学校教师教学比赛，所上《数列的通项公式》一课获得一等奖.评课老师一致认为这是一堂务实高效的专题复习课.

教学目标：1.了解数列的概念；2.能用定义证明一个数列是等差或等比数列；3.会用公式求等差数列、等比数列的通项公式；4.会用Sn和an的关系求数列的通项公式.

教学过程：

第一板块：再学考纲，以纲导复

1.今天我们一起复习数列的通项公式，（教师板书）咱们看看考纲对此部分的要求是什么，（PPT展示）

了解理解掌握

数列的概念等差数列等比数列

具体要求可阐述为以下四点：（PPT展示）

（1）了解数列的概念；（2）能用的定义证明一个数列是等差或等比数列；（3）会用公式求等差数列、等比数列的通项公式；（4）会用Sn和an的关系求数列的通项公式.（学生齐读）

2.单招考试中，求数列的通项公式一般有这样四种方法：（PPT展示）

①观察法；②公式法：利用等差、等比数列的通项公式；

③利用Sn和an的关系式：an=S1（n=1），Sn-Sn-1（n≥2）；④特殊法：构造、叠加、累乘等.

本节课咱们先复习前三种，下面我们通过具体题目来逐一体会.

（设计意图：简要呈现本节课的复习目标和解决问题的方法，在考纲的引领下使学生在阅读中获得新感悟.瞬间集中了学生的注意.）

第二板块：重组内容，提炼方法

任务一：请同学们快速独立完成以下两题：（PPT展示）

（1）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2anan+2（n∈N+），它的前5项是 ，归纳出它的通项公式为an= .（2）数列-1，2，-4，8，-16，…的一个通项公式为 .

①指名回答，同学评价. ②说说你是怎样发现规律的？

③学生交流总结，当数列各项为分数时，可先写出分子与分母数列的通项公式，有时还需要对数列的某几项作一些变形，再归纳出原数列的通项公式.

④如果第（2）题中的数列变为：1， -2，4， -8，16，…，这时该数列的通项公式又是什么呢？指名回答.⑤比较这两个通项公式的不同之处，让你体会到什么？ 指名回答.（当数列的各项符号正、负相间时，可用（-1）n或（-1）n+1进行调整.）

在已知数列的前几项的基础上，进行分析、观察、比较每一项的特点，从而提炼揭示其本质.相对于填空题或选择题，只需要用不完全归纳法猜想、验证即可.我们把这种解题方法称为观察法.

（设计意图：引导学生当一个数列已知前几项时可以用不完全归纳法猜想、归纳求数列的通项公式.并在教师的追问下让学生有感而发，在题目的变式中寻求方法技巧.）

但自2009年以来单招考试中数列的试题常以综合题的形式出项，如2011年单招中的这题.

任务二：（2011年）已知数列{an}是公比为q（q>0）的等比数列，其中a4=1，且a2，a3，a3-2成等差数列.求数列{an}的通项公式.（PPT展示）

①所求数列是什么数列？（教师适当的语言留空）既然是等比数列应选用什么方法求通项？

②谁来背背等比数列的通项公式？指名回答.（教师板书公式）

③如果选用公式an=a1·qn-1求解，应将题中条件转化为关于哪些量的？

④如果选用公式an=am·qn-m求解，那题中有没有公式中的已知量？题中剩余条件此时应转化为关于哪个量的？

⑤请同桌之间选用不同的公式求解，比比谁解的即快又准确.

⑥投影展示两名学生的解答过程，学生评价.

⑦那等差数列的通项公式呢？指名回答.（教师板书公式）

⑧谁来说说下面这道题的解题思路？（已知数列{an}是等差数列，其中a1=4，且a1，a5，a13成等比数列.求数列{an}的通项公式.）

⑨师生共同总结，当数列是等差、等比数列时，用公式法求其通项，但要根据条件寻找首项、公差（或公比），同时注意解答过程中方程（组）思想的应用.

（设计意图：强化公式的记忆、理解与应用.引导学生弄清这一类问题的本质，体会方程（组）思想，可以取得事半功倍的效果.）

实际上，还有相当一部分题目中数列是不明确类型的，并且与函数、不等式等有机结合，那我们解决问题的有效抓手是什么呢？咱们看2009单招高考中的一题.（PPT展示）

任务三：（2009年）设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Snn）均在函数f（x）=3x+2的图象上.（1）求a1，a2及数列{an}的通项公式；（2）解不等式f（n）≥Sn-22.

①这题涉及哪些知识点？

②如果让你做，应分几个板块解决？

③第一板块解决什么问题？根据哪个条件解？

④第二板块呢？借助什么关系来解决？（教师板书Sn和an的关系式）第三板块呢？

⑤以下是老师的解答过程，请同学们找找有无错误？

（PPT投影展示解题过程，在学生回答的基础上，完善其解答过程.）

因为点（n， Snn）在f（x）=3x+2的图象上，所以Snn=3n+2，即Sn=3n2+2n.

当n=1时，a1=S1=3×12+2×1=5.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2+2n-[3（n-1）2+2（n-1）]=6n-1，所以an=6n-1

教学背景：2014年对口高考的文化课均实行新考纲，数学考试大纲有了较大调整，其中数列这部分在新考纲中变化不大.考查形式近几年主要以选择题、解答题形式出现，难度适中.现高三数学已全面进入紧张的二轮复习阶段.面对新考纲，又考虑到学生的实际情况，数学课该怎么上？ 2月18日上午，我参加了学校教师教学比赛，所上《数列的通项公式》一课获得一等奖.评课老师一致认为这是一堂务实高效的专题复习课.

教学目标：1.了解数列的概念；2.能用定义证明一个数列是等差或等比数列；3.会用公式求等差数列、等比数列的通项公式；4.会用Sn和an的关系求数列的通项公式.

教学过程：

第一板块：再学考纲，以纲导复

1.今天我们一起复习数列的通项公式，（教师板书）咱们看看考纲对此部分的要求是什么，（PPT展示）

了解理解掌握

数列的概念等差数列等比数列

具体要求可阐述为以下四点：（PPT展示）

（1）了解数列的概念；（2）能用的定义证明一个数列是等差或等比数列；（3）会用公式求等差数列、等比数列的通项公式；（4）会用Sn和an的关系求数列的通项公式.（学生齐读）

2.单招考试中，求数列的通项公式一般有这样四种方法：（PPT展示）

①观察法；②公式法：利用等差、等比数列的通项公式；

③利用Sn和an的关系式：an=S1（n=1），Sn-Sn-1（n≥2）；④特殊法：构造、叠加、累乘等.

本节课咱们先复习前三种，下面我们通过具体题目来逐一体会.

（设计意图：简要呈现本节课的复习目标和解决问题的方法，在考纲的引领下使学生在阅读中获得新感悟.瞬间集中了学生的注意.）

第二板块：重组内容，提炼方法

任务一：请同学们快速独立完成以下两题：（PPT展示）

（1）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2anan+2（n∈N+），它的前5项是 ，归纳出它的通项公式为an= .（2）数列-1，2，-4，8，-16，…的一个通项公式为 .

①指名回答，同学评价. ②说说你是怎样发现规律的？

③学生交流总结，当数列各项为分数时，可先写出分子与分母数列的通项公式，有时还需要对数列的某几项作一些变形，再归纳出原数列的通项公式.

④如果第（2）题中的数列变为：1， -2，4， -8，16，…，这时该数列的通项公式又是什么呢？指名回答.⑤比较这两个通项公式的不同之处，让你体会到什么？ 指名回答.（当数列的各项符号正、负相间时，可用（-1）n或（-1）n+1进行调整.）

在已知数列的前几项的基础上，进行分析、观察、比较每一项的特点，从而提炼揭示其本质.相对于填空题或选择题，只需要用不完全归纳法猜想、验证即可.我们把这种解题方法称为观察法.

（设计意图：引导学生当一个数列已知前几项时可以用不完全归纳法猜想、归纳求数列的通项公式.并在教师的追问下让学生有感而发，在题目的变式中寻求方法技巧.）

但自2009年以来单招考试中数列的试题常以综合题的形式出项，如2011年单招中的这题.

任务二：（2011年）已知数列{an}是公比为q（q>0）的等比数列，其中a4=1，且a2，a3，a3-2成等差数列.求数列{an}的通项公式.（PPT展示）

①所求数列是什么数列？（教师适当的语言留空）既然是等比数列应选用什么方法求通项？

②谁来背背等比数列的通项公式？指名回答.（教师板书公式）

③如果选用公式an=a1·qn-1求解，应将题中条件转化为关于哪些量的？

④如果选用公式an=am·qn-m求解，那题中有没有公式中的已知量？题中剩余条件此时应转化为关于哪个量的？

⑤请同桌之间选用不同的公式求解，比比谁解的即快又准确.

⑥投影展示两名学生的解答过程，学生评价.

⑦那等差数列的通项公式呢？指名回答.（教师板书公式）

⑧谁来说说下面这道题的解题思路？（已知数列{an}是等差数列，其中a1=4，且a1，a5，a13成等比数列.求数列{an}的通项公式.）

⑨师生共同总结，当数列是等差、等比数列时，用公式法求其通项，但要根据条件寻找首项、公差（或公比），同时注意解答过程中方程（组）思想的应用.

（设计意图：强化公式的记忆、理解与应用.引导学生弄清这一类问题的本质，体会方程（组）思想，可以取得事半功倍的效果.）

实际上，还有相当一部分题目中数列是不明确类型的，并且与函数、不等式等有机结合，那我们解决问题的有效抓手是什么呢？咱们看2009单招高考中的一题.（PPT展示）

任务三：（2009年）设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Snn）均在函数f（x）=3x+2的图象上.（1）求a1，a2及数列{an}的通项公式；（2）解不等式f（n）≥Sn-22.

①这题涉及哪些知识点？

②如果让你做，应分几个板块解决？

③第一板块解决什么问题？根据哪个条件解？

④第二板块呢？借助什么关系来解决？（教师板书Sn和an的关系式）第三板块呢？

⑤以下是老师的解答过程，请同学们找找有无错误？

（PPT投影展示解题过程，在学生回答的基础上，完善其解答过程.）

因为点（n， Snn）在f（x）=3x+2的图象上，所以Snn=3n+2，即Sn=3n2+2n.

当n=1时，a1=S1=3×12+2×1=5.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2+2n-[3（n-1）2+2（n-1）]=6n-1，所以an=6n-1