例谈二阶导数在高中数学中的应用

王耀民

摘 要：导数是高中数学与高等数学的一个衔接点，也是高中学生进入高校进一步学习数学的起点。导数的应用已经是高考试卷中的必选内容，而在课本中从未提及的二阶导数的使用正在悄悄上演，什么是有二阶导数相关背景的问题？如何破解？本文拟对此加以分析。

关键词：高中数学；二阶导数；例题分析

导数在高中教材中所占篇幅并不大，但在高考中占分比却达到了10%左右。主要涉及两方面的问题：1.导数的运算：以导数为工具求曲线的切线斜率或切线方程，以微积分基本定理为工具计算曲边梯形面积，是高考的重点；2.导数的应用：主要是利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及与导数有关的恒成立问题，与不等式、方程、数列等结合的综合问题等。近年来，无论是采用全国卷的地区还是自主命题地区，导数几乎都在压轴题位置，足见其重要性。导数的一般应用即一阶导数的应用在教学环节自然少不了，二阶导数的使用也渐渐登上舞台，本文以几个实例谈谈二阶导数在高中数学中的应用。

一、利用二阶导数解决三次函数的对称中心相关问题

例1：【2012·自贡三模改编】对于三次函数f（x）=ax3+ bx2+cx+d（a≠0），定义y=f'（x）是y=f（x）的导函数，f''（x）是y=f'（x）的导函数，若方程f"（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”。有的同学发现”任何三次函数都有“拐点”；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是“拐点”。请你根据这一发现判断下列命题：

（1）任意三次函数都关于点（-■，f（-■））对称；

（2）存在三次函数，f"（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心；

（3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；

（4）若函数g（x）=x3-3x2，则g（■）+g（■）+g（■）+…+g（■）=-8054.

其中正确命题的序号为 。

【解析】（1）由题意，f'（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），f"（x）=6ax+2b（a≠0），

令f"（x）=0，得x=-■，所以任意三次函数都关于点（-■，f（-■））对称，故（1）正确。

（2）由（1）知，x0=-■，代入f'（x）=0，可得b2=3ac，即存在三次函数，f'（x）=0有实解x0，点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的对称中心，故（2）正确；

（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心，即不存在三次函数有两个及两个以上的对称中心，故（3）不正确；

（4）∵g（x）=x3-3x2，∴g'（x）=3x2-6x，g"（x）=6x-6.

令g"（x）=0，得x=1，g（1）=-2.∴g（x）=x3-3x2的对称中心为（1-2）.

∴g（x）+g（2-x）=-4，∴g（■）+g（■）+g（■）+…+g（■）=-8054

∴（4）正确。故正确命题序号为（1）（2）（4）.

这里对三次函数的拐点即二阶导数的实际意义的介绍是在一阶导数基础上比较好的背景拓展。

例2：【乌鲁木齐地区2014年高三第二次诊断理科数学16】已知直线x+y+1=0与曲线C：y=x3-3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为 。

【解析1】曲线C：y=x3-3px2，则y'=3x2-6px，设A（x1，y1），B（x2，y2），

依题意知m=3x21-6px1…⑴，m=3x22-6px2…⑵，∴x1，x2是方程3x2-6px-m=0的两个根∴x1+x2=2p…⑶，下证线段AB的中点在曲线C上，

∵■

=■

=■=-2p3，

而（■）3-3p（■）2=（■）3-3p（■）2=-2p3

∴线段AB的中点在曲线C上，由⑶知线段AB的中点为（p，p-1）

-p-1=p3-3p·p2=-2p3，解得p=1.

【解析2】由上例1关于三次函数的背景认识可知，三次函数的图像是中心对称图形，且其对称中心为三次函数的拐点。由本题中题意，结合三次函数图像分析可知：仅当直线通过三次函数的拐点（对称中心）时，其与函数图象的另外两个交点处的切线平行。

由C：y=x3-3px2，则y'=3x2-6px，y"=6x-6p

令y"=6x-6p=0，得x=p，将其代入函数解析式，可得函数的对称中心为M（p，-2p3）.

由上分析则点M在直线x+y+1=0上，故p-2p3+1=0，解之得p=1：

本题在考试后统计发现，对学生来说这是地地道道的难题。而且【解析1】需要学生有较强的推理能力，相比较而言，在导数的教学中，若能以【例1】的方式抛出三次函数图像具备中心对称的图形特征以及中心的求解方法，以此为背景解决类似问题便轻而易举，再如：

例3：【2012眉山一模】函数f（x）=ax3-6ax2+3bx+b其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0.（1）求函数的解析式；（2）若关于x的方程f（x）-m=0在[■，4]上恰有两个不等实根，求实数的取值范围；（3）函数y=f（x）的图象是否存在对称中心？若存在，求出坐标；若不存在，说明理由。

【解析】结合本文主题，仅看问题（3）解法1：若函数f（x）图象存在对称中心则其极值点也关于此中心对称，故可先求出函数f（x）的极值点然后利用中点坐标公式求出的中点即为对称中心，然后再利用对称的定义证明则曲线y=f（x）关于此点对称即可；解法2：相比较而言，由上给出的信息，可以利用二阶导数求出该三次函数的对称中心坐标，后面只需证明函数关于该点对称，这就不再是什么难事了。

二、利用二阶导数解决函数中最值问题

例1：【乌鲁木齐地区2014年高三第三次诊断理科数学21】已知函数f（x）=1-ln（x+1），g（x）=ax2-x+1.

（1）求证1-x≤f（x）<■；（2）当0≤x≤1时，若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围。

就问题2给出如下两种解法：

【解析1：标准答案】

（1）令F（x）=g（x）-f（x）=ln（x+1）+ax2-x，则F'（x）=■

①当时a≤0，2a-1<0，∴当x≥0，∴x+1>0，2ax+2a-1≤0∴F'（x）≤0，∴函数y=F（x），x∈[0，1]为减函数，∴当0≤x≤1时，F（x）≤F（0）=0，

即a≤0时，f（x）≥g（x）成立

②当0

则对？坌x∈[0，1]，x-■≤x-1≤0，∴x+1>0，2ax+2a-1≤0

∴F'（x）≤0，∴函数y=F（x），x∈[0，1]为减函数，

∴当0≤x≤1时，F（x）≤F（0）=0，即0

③当■

∴当0≤x≤■时，∴x+1>0，2ax+2a-1≤0，∴F'（x）≤0

当■0，2ax+2a-1≥0，F'（x）≥0，

∴函数y=F（x），x∈[0，1]的减区间为[0，■]，增区间为[■，1]

又∵F（0）=0，F（1）=ln2-1+a≤0

∴对？坌x∈[0，1]，F（x）≤max{F（0），F（1）}≤0

故，当0≤x≤1时，f（x）≥g（x）成立

④当a>1-ln2时，有a+ln2-1>0，∴F（1）=a+ln2-1>0

即g（1）>f（1），与题意矛盾

综上所述，a∈（-∞，1-ln2]，对0≤x≤1，有f（x）≥g（x）.

【解析2】由题意：f（x）≥g（x）恒成立，即1-ln（x+1）≥ax2-x+1在[0，1]上恒成立，

即ax2≤x-ln（x+1）在[0，1]上恒成立，

（1）当x=0时，不等式恒成立，∴a∈R；

（2）当x∈（0，1]时，由上式可得：a≤■恒成立，

即a≤[■]min，下求右式的最小值。

令h（x）=■，则h'（x）=■，这里还不能判断出h（x）的单调区间、单调性，因为求解h（x）的单调性，即求解不等式h'（x）>0不是初等函数范围内能求解的。怎么办呢？

令m（x）=-x-■+2ln（x+1），则m'（x）=-■<0恒成立。

∴m（x）在（0，1]上为减函数，且m（x）

即函数h（x）在（0，1]上为减函数，

∴h（x）min=h（1）=1-ln2，∴a≤1-ln2

综上：（1），（2）得：a≤1-ln2

对照两种解法，显然【解析2】在运算上更加简洁，所用知识很基础，就是导数的直接应用，只不过用了两次。而在新疆自去年年末的乌鲁木齐一模开始，对于二阶导数甚至牵涉了三阶导数的问题设置多次出现，并且都是压轴题，体现出了命题者对导数的重视，体现了导数的分量。同时也为导数在高中的教学增加了一些新意。再如：

例2：【乌鲁木齐地区2014年高三第一次诊断性测验理科数学21】已知函数f（x）=ex-e-x（x∈R）

（1）求证：当x≥0时，f（x）≥2x+■；

（2）试讨论函数H（x）=f（x）-ax（a∈R）的零点个数.

【解析】就第一问探讨：

（1）令g（x）=f（x）-2x-■，（x≥0）

则g'（x）=f'（x）-2-x2=ex+e-x-2-x2，

g"（x）=f（x）-2x，

∵g'''（x）=f'（x）-2=ex+e-x-2

当x≥0时，ex>0，e-x>0，∴ex+e-x≥2■=2…①

∴g"'（x）≥0，∴函数y=g"（x）（x≥0）为增函数，

∴g"（x）≥g"（0）=0，即f（x）-2x≥0…②∴函数y=g'（x）（x≥0）为增函数，

∴g'（x）≥g'（0）=0，即ex+e-x≥2+x2…③∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，

∴g（x）≥g（0）=0，即当x≥0时，f（x）≥2x+■成立。

这里使用导数（包括一阶、二阶、三阶）的情形再次充分体现了“导数的基本功能-确定单调性-求解最值”。但在具体的教学，特别是在高三之前的学习中，导数学习的深度往往不一定能达到相应的水平，从而不能为解决相关问题提供有力的支撑。所以，在高三的复习过程中，要着力培养学生使用导数这一工具的意识和胆识，让它的基本功能淋漓尽致地发挥出来。

二、利用二阶导数解决函数中最值问题

例1：【乌鲁木齐地区2014年高三第三次诊断理科数学21】已知函数f（x）=1-ln（x+1），g（x）=ax2-x+1.

（1）求证1-x≤f（x）<■；（2）当0≤x≤1时，若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围。

就问题2给出如下两种解法：

【解析1：标准答案】

（1）令F（x）=g（x）-f（x）=ln（x+1）+ax2-x，则F'（x）=■

①当时a≤0，2a-1<0，∴当x≥0，∴x+1>0，2ax+2a-1≤0∴F'（x）≤0，∴函数y=F（x），x∈[0，1]为减函数，∴当0≤x≤1时，F（x）≤F（0）=0，

即a≤0时，f（x）≥g（x）成立

②当0

则对？坌x∈[0，1]，x-■≤x-1≤0，∴x+1>0，2ax+2a-1≤0

∴F'（x）≤0，∴函数y=F（x），x∈[0，1]为减函数，

∴当0≤x≤1时，F（x）≤F（0）=0，即0

③当■

∴当0≤x≤■时，∴x+1>0，2ax+2a-1≤0，∴F'（x）≤0

当■0，2ax+2a-1≥0，F'（x）≥0，

∴函数y=F（x），x∈[0，1]的减区间为[0，■]，增区间为[■，1]

又∵F（0）=0，F（1）=ln2-1+a≤0

∴对？坌x∈[0，1]，F（x）≤max{F（0），F（1）}≤0

故，当0≤x≤1时，f（x）≥g（x）成立

④当a>1-ln2时，有a+ln2-1>0，∴F（1）=a+ln2-1>0

即g（1）>f（1），与题意矛盾

综上所述，a∈（-∞，1-ln2]，对0≤x≤1，有f（x）≥g（x）.

【解析2】由题意：f（x）≥g（x）恒成立，即1-ln（x+1）≥ax2-x+1在[0，1]上恒成立，

即ax2≤x-ln（x+1）在[0，1]上恒成立，

（1）当x=0时，不等式恒成立，∴a∈R；

（2）当x∈（0，1]时，由上式可得：a≤■恒成立，

即a≤[■]min，下求右式的最小值。

令h（x）=■，则h'（x）=■，这里还不能判断出h（x）的单调区间、单调性，因为求解h（x）的单调性，即求解不等式h'（x）>0不是初等函数范围内能求解的。怎么办呢？

令m（x）=-x-■+2ln（x+1），则m'（x）=-■<0恒成立。

∴m（x）在（0，1]上为减函数，且m（x）

即函数h（x）在（0，1]上为减函数，

∴h（x）min=h（1）=1-ln2，∴a≤1-ln2

综上：（1），（2）得：a≤1-ln2

对照两种解法，显然【解析2】在运算上更加简洁，所用知识很基础，就是导数的直接应用，只不过用了两次。而在新疆自去年年末的乌鲁木齐一模开始，对于二阶导数甚至牵涉了三阶导数的问题设置多次出现，并且都是压轴题，体现出了命题者对导数的重视，体现了导数的分量。同时也为导数在高中的教学增加了一些新意。再如：

例2：【乌鲁木齐地区2014年高三第一次诊断性测验理科数学21】已知函数f（x）=ex-e-x（x∈R）

（1）求证：当x≥0时，f（x）≥2x+■；

（2）试讨论函数H（x）=f（x）-ax（a∈R）的零点个数.

【解析】就第一问探讨：

（1）令g（x）=f（x）-2x-■，（x≥0）

则g'（x）=f'（x）-2-x2=ex+e-x-2-x2，

g"（x）=f（x）-2x，

∵g'''（x）=f'（x）-2=ex+e-x-2

当x≥0时，ex>0，e-x>0，∴ex+e-x≥2■=2…①

∴g"'（x）≥0，∴函数y=g"（x）（x≥0）为增函数，

∴g"（x）≥g"（0）=0，即f（x）-2x≥0…②∴函数y=g'（x）（x≥0）为增函数，

∴g'（x）≥g'（0）=0，即ex+e-x≥2+x2…③∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，

∴g（x）≥g（0）=0，即当x≥0时，f（x）≥2x+■成立。

这里使用导数（包括一阶、二阶、三阶）的情形再次充分体现了“导数的基本功能-确定单调性-求解最值”。但在具体的教学，特别是在高三之前的学习中，导数学习的深度往往不一定能达到相应的水平，从而不能为解决相关问题提供有力的支撑。所以，在高三的复习过程中，要着力培养学生使用导数这一工具的意识和胆识，让它的基本功能淋漓尽致地发挥出来。

二、利用二阶导数解决函数中最值问题

例1：【乌鲁木齐地区2014年高三第三次诊断理科数学21】已知函数f（x）=1-ln（x+1），g（x）=ax2-x+1.

（1）求证1-x≤f（x）<■；（2）当0≤x≤1时，若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围。

就问题2给出如下两种解法：

【解析1：标准答案】

（1）令F（x）=g（x）-f（x）=ln（x+1）+ax2-x，则F'（x）=■

①当时a≤0，2a-1<0，∴当x≥0，∴x+1>0，2ax+2a-1≤0∴F'（x）≤0，∴函数y=F（x），x∈[0，1]为减函数，∴当0≤x≤1时，F（x）≤F（0）=0，

即a≤0时，f（x）≥g（x）成立

②当0

则对？坌x∈[0，1]，x-■≤x-1≤0，∴x+1>0，2ax+2a-1≤0

∴F'（x）≤0，∴函数y=F（x），x∈[0，1]为减函数，

∴当0≤x≤1时，F（x）≤F（0）=0，即0

③当■

∴当0≤x≤■时，∴x+1>0，2ax+2a-1≤0，∴F'（x）≤0

当■0，2ax+2a-1≥0，F'（x）≥0，

∴函数y=F（x），x∈[0，1]的减区间为[0，■]，增区间为[■，1]

又∵F（0）=0，F（1）=ln2-1+a≤0

∴对？坌x∈[0，1]，F（x）≤max{F（0），F（1）}≤0

故，当0≤x≤1时，f（x）≥g（x）成立

④当a>1-ln2时，有a+ln2-1>0，∴F（1）=a+ln2-1>0

即g（1）>f（1），与题意矛盾

综上所述，a∈（-∞，1-ln2]，对0≤x≤1，有f（x）≥g（x）.

【解析2】由题意：f（x）≥g（x）恒成立，即1-ln（x+1）≥ax2-x+1在[0，1]上恒成立，

即ax2≤x-ln（x+1）在[0，1]上恒成立，

（1）当x=0时，不等式恒成立，∴a∈R；

（2）当x∈（0，1]时，由上式可得：a≤■恒成立，

即a≤[■]min，下求右式的最小值。

令h（x）=■，则h'（x）=■，这里还不能判断出h（x）的单调区间、单调性，因为求解h（x）的单调性，即求解不等式h'（x）>0不是初等函数范围内能求解的。怎么办呢？

令m（x）=-x-■+2ln（x+1），则m'（x）=-■<0恒成立。

∴m（x）在（0，1]上为减函数，且m（x）

即函数h（x）在（0，1]上为减函数，

∴h（x）min=h（1）=1-ln2，∴a≤1-ln2

综上：（1），（2）得：a≤1-ln2

对照两种解法，显然【解析2】在运算上更加简洁，所用知识很基础，就是导数的直接应用，只不过用了两次。而在新疆自去年年末的乌鲁木齐一模开始，对于二阶导数甚至牵涉了三阶导数的问题设置多次出现，并且都是压轴题，体现出了命题者对导数的重视，体现了导数的分量。同时也为导数在高中的教学增加了一些新意。再如：

例2：【乌鲁木齐地区2014年高三第一次诊断性测验理科数学21】已知函数f（x）=ex-e-x（x∈R）

（1）求证：当x≥0时，f（x）≥2x+■；

（2）试讨论函数H（x）=f（x）-ax（a∈R）的零点个数.

【解析】就第一问探讨：

（1）令g（x）=f（x）-2x-■，（x≥0）

则g'（x）=f'（x）-2-x2=ex+e-x-2-x2，

g"（x）=f（x）-2x，

∵g'''（x）=f'（x）-2=ex+e-x-2

当x≥0时，ex>0，e-x>0，∴ex+e-x≥2■=2…①

∴g"'（x）≥0，∴函数y=g"（x）（x≥0）为增函数，

∴g"（x）≥g"（0）=0，即f（x）-2x≥0…②∴函数y=g'（x）（x≥0）为增函数，

∴g'（x）≥g'（0）=0，即ex+e-x≥2+x2…③∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，

∴g（x）≥g（0）=0，即当x≥0时，f（x）≥2x+■成立。

这里使用导数（包括一阶、二阶、三阶）的情形再次充分体现了“导数的基本功能-确定单调性-求解最值”。但在具体的教学，特别是在高三之前的学习中，导数学习的深度往往不一定能达到相应的水平，从而不能为解决相关问题提供有力的支撑。所以，在高三的复习过程中，要着力培养学生使用导数这一工具的意识和胆识，让它的基本功能淋漓尽致地发挥出来。