例说洛比达法则在求极限中的应用

喻礼才

摘 要：洛比达法则对于有些不能运用常规方法求解的极限运算，是一种简便有效的方法。如对“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等七种未定式极限运算。本文通过例题，针对各种未定型极限函数的运算进行了深入的分析，以期提高学生的解题能力。

关键词：洛比达法则；未定式极限；求解；应用

我们已经掌握了一些求极限的方法，对于有些不能运用常规方法求解的极限运算，如对“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等未定式极限运算，本文介绍并分析一种简便、有效的计算函数极限的方法——洛比达（LHospital）法则及其应用。

把两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限称为“■”型或“■”型未定式的极限。洛比达法则就是以导数为工具求未定式的极限方法。

洛比达法则：若f（x）、g（x）满足：

（1）■f（x）=■g（x）=0或（∞）；

（2）在a的某去心邻域内可导，且g'（x）≠0；

（3）■■=A（A可为常数，也可为无穷大），则

■■=■■=A

这种在一定条件下，通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛比达法则。

一、洛比达法则在求未定式■极限中的应用

例1.求极限■■

提示：这是求x→a时未定式■的极限。

解：原式=■■=■■=■■=■

例2.求极限■■

提示：这是求x→∞时未定式■的极限。

解：原式=■■=■■=■■=1

小结：求“■”型未定式的极限直接利用洛比达法则，若利用一次还是“■”型未定式，可以多次利用洛比达法则，直至得出结果。

二、洛比达法则在求未定式■极限中的应用

例3.求极限■■

提示：这是求x→a时未定式■的极限。

解：原式=■■=-■■■

=-■■■=2■cos2x=-2

小结：（1）■及■型不定式在使用洛比达法则后，可能相互转化，可多次利用洛比达法则，直至得出结果。

（2）洛比达法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，能化简时应尽可能先化简。

三、洛比达法则在求未定式∞-∞，0·∞极限中的应用

对于∞-∞，0·∞型未定式极限的计算，通常将它们化为■型或■型后，再利用洛比达法则求解，下面通过例题加以说明。

例4.求极限■（■-■）

提示：这是求x→a时未定式∞-∞的极限。

解：原式=■■=■■）

=■■=■■=■

小结：本题是求未定式∞-∞的极限，可先化为■或■未定式，再利用洛比达法则求解。

例5.求极限■xln（■）（a≠0）

提示：这是求x→∞时未定式∞·0的极限。

解：原式=■■=■■

=■■=■■=2a

小结：（1）未定式∞·0可化为∞·■=■或■·0=■，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。

（2）更加复杂的未定式的极限，一般还是可先化为■或■未定式，再利用洛比达法则求极限。

四、洛比达法则在求未定式1∞、00、∞0极限中的应用

对于1∞、00、∞0型未定式极限的运算，通常要进行对数恒等变形或采用取对数再求极限的方法，下面通过例题加以说明。

例6.求极限■（x+■）■

提示：这是求x→∞时未定式∞0的极限，可以先求自然对数，再利用洛比达法则求极限。

解：令y=（x+■）■，等式两边取自然对数，则

lny=ln（x+■）■=■

因为■■=■■（1+■）

=■■=0

即■lny=0，得y=1

所以■（x+■）■=1

例7.求极限■（sinx）x

提示：此极限属00型，可以运用对数恒等变形y=elny，再对limlny求解。

解：■（sinx）x=■exlnsinx=e■xlnsinx，其中■xlnsinx

=■■=■■=-■■，

当x→0+时，x～sinx，因此，上式=-■xcosx=0

所以■（sinx）x=e0=1

小结：在求解过程中，可以应用等价无穷小替代，这样可以使运算简化。

例8.求极限■（1+3x）■

解：此极限属1∞型，由对数恒等式得（1+3x）■=e■ln（1+3x）

因为■■ln（1+3x）=■■=■■=3

所以■（1+3x）■=e3

小结：求1∞、00、∞0型未定式极限要先取自然对数，再化为■或■型。具体如下：

（1）未定式1∞可以先取自然对数，化为ln1∞，而ln1∞=∞·ln1

=∞·0，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。若ln1∞极限为a，则1∞极限为ea。

（2）未定式00可以先取自然对数，化为ln00，而ln00=0·ln0

=0·∞，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。若ln00极限为a，则00极限为ea。

（3）未定式∞0可以先取自然对数，化为ln∞0，而ln∞0=0·ln∞，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。若ln∞0极限为a，则∞0极限为ea。

总之，洛比达法则则适用于“■”型或“■”型未定式的极限运算，“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等各种未定式极限可以通过其他计算手段转化为“■”型或“■”型。在运算过程中，可多次使用洛比达法则，直至成为定式极限，若极限已存在，则可直接得出结果。

参考文献：

[1]刘志高，胡章柱，主编.高等数学[M].杭州：浙江大学出版社，2013.

[2]汪志宏，田俊峰，胡贵安.高等数学学考指要（上册）[M].西安：西北大学工业出版社，2006.

摘 要：洛比达法则对于有些不能运用常规方法求解的极限运算，是一种简便有效的方法。如对“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等七种未定式极限运算。本文通过例题，针对各种未定型极限函数的运算进行了深入的分析，以期提高学生的解题能力。

关键词：洛比达法则；未定式极限；求解；应用

我们已经掌握了一些求极限的方法，对于有些不能运用常规方法求解的极限运算，如对“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等未定式极限运算，本文介绍并分析一种简便、有效的计算函数极限的方法——洛比达（LHospital）法则及其应用。

把两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限称为“■”型或“■”型未定式的极限。洛比达法则就是以导数为工具求未定式的极限方法。

洛比达法则：若f（x）、g（x）满足：

（1）■f（x）=■g（x）=0或（∞）；

（2）在a的某去心邻域内可导，且g'（x）≠0；

（3）■■=A（A可为常数，也可为无穷大），则

■■=■■=A

这种在一定条件下，通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛比达法则。

一、洛比达法则在求未定式■极限中的应用

例1.求极限■■

提示：这是求x→a时未定式■的极限。

解：原式=■■=■■=■■=■

例2.求极限■■

提示：这是求x→∞时未定式■的极限。

解：原式=■■=■■=■■=1

小结：求“■”型未定式的极限直接利用洛比达法则，若利用一次还是“■”型未定式，可以多次利用洛比达法则，直至得出结果。

二、洛比达法则在求未定式■极限中的应用

例3.求极限■■

提示：这是求x→a时未定式■的极限。

解：原式=■■=-■■■

=-■■■=2■cos2x=-2

小结：（1）■及■型不定式在使用洛比达法则后，可能相互转化，可多次利用洛比达法则，直至得出结果。

（2）洛比达法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，能化简时应尽可能先化简。

三、洛比达法则在求未定式∞-∞，0·∞极限中的应用

对于∞-∞，0·∞型未定式极限的计算，通常将它们化为■型或■型后，再利用洛比达法则求解，下面通过例题加以说明。

例4.求极限■（■-■）

提示：这是求x→a时未定式∞-∞的极限。

解：原式=■■=■■）

=■■=■■=■

小结：本题是求未定式∞-∞的极限，可先化为■或■未定式，再利用洛比达法则求解。

例5.求极限■xln（■）（a≠0）

提示：这是求x→∞时未定式∞·0的极限。

解：原式=■■=■■

=■■=■■=2a

小结：（1）未定式∞·0可化为∞·■=■或■·0=■，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。

（2）更加复杂的未定式的极限，一般还是可先化为■或■未定式，再利用洛比达法则求极限。

四、洛比达法则在求未定式1∞、00、∞0极限中的应用

对于1∞、00、∞0型未定式极限的运算，通常要进行对数恒等变形或采用取对数再求极限的方法，下面通过例题加以说明。

例6.求极限■（x+■）■

提示：这是求x→∞时未定式∞0的极限，可以先求自然对数，再利用洛比达法则求极限。

解：令y=（x+■）■，等式两边取自然对数，则

lny=ln（x+■）■=■

因为■■=■■（1+■）

=■■=0

即■lny=0，得y=1

所以■（x+■）■=1

例7.求极限■（sinx）x

提示：此极限属00型，可以运用对数恒等变形y=elny，再对limlny求解。

解：■（sinx）x=■exlnsinx=e■xlnsinx，其中■xlnsinx

=■■=■■=-■■，

当x→0+时，x～sinx，因此，上式=-■xcosx=0

所以■（sinx）x=e0=1

小结：在求解过程中，可以应用等价无穷小替代，这样可以使运算简化。

例8.求极限■（1+3x）■

解：此极限属1∞型，由对数恒等式得（1+3x）■=e■ln（1+3x）

因为■■ln（1+3x）=■■=■■=3

所以■（1+3x）■=e3

小结：求1∞、00、∞0型未定式极限要先取自然对数，再化为■或■型。具体如下：

（1）未定式1∞可以先取自然对数，化为ln1∞，而ln1∞=∞·ln1

=∞·0，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。若ln1∞极限为a，则1∞极限为ea。

（2）未定式00可以先取自然对数，化为ln00，而ln00=0·ln0

=0·∞，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。若ln00极限为a，则00极限为ea。

（3）未定式∞0可以先取自然对数，化为ln∞0，而ln∞0=0·ln∞，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。若ln∞0极限为a，则∞0极限为ea。

总之，洛比达法则则适用于“■”型或“■”型未定式的极限运算，“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等各种未定式极限可以通过其他计算手段转化为“■”型或“■”型。在运算过程中，可多次使用洛比达法则，直至成为定式极限，若极限已存在，则可直接得出结果。

参考文献：

[1]刘志高，胡章柱，主编.高等数学[M].杭州：浙江大学出版社，2013.

[2]汪志宏，田俊峰，胡贵安.高等数学学考指要（上册）[M].西安：西北大学工业出版社，2006.

摘 要：洛比达法则对于有些不能运用常规方法求解的极限运算，是一种简便有效的方法。如对“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等七种未定式极限运算。本文通过例题，针对各种未定型极限函数的运算进行了深入的分析，以期提高学生的解题能力。

关键词：洛比达法则；未定式极限；求解；应用

我们已经掌握了一些求极限的方法，对于有些不能运用常规方法求解的极限运算，如对“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等未定式极限运算，本文介绍并分析一种简便、有效的计算函数极限的方法——洛比达（LHospital）法则及其应用。

把两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限称为“■”型或“■”型未定式的极限。洛比达法则就是以导数为工具求未定式的极限方法。

洛比达法则：若f（x）、g（x）满足：

（1）■f（x）=■g（x）=0或（∞）；

（2）在a的某去心邻域内可导，且g'（x）≠0；

（3）■■=A（A可为常数，也可为无穷大），则

■■=■■=A

这种在一定条件下，通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛比达法则。

一、洛比达法则在求未定式■极限中的应用

例1.求极限■■

提示：这是求x→a时未定式■的极限。

解：原式=■■=■■=■■=■

例2.求极限■■

提示：这是求x→∞时未定式■的极限。

解：原式=■■=■■=■■=1

小结：求“■”型未定式的极限直接利用洛比达法则，若利用一次还是“■”型未定式，可以多次利用洛比达法则，直至得出结果。

二、洛比达法则在求未定式■极限中的应用

例3.求极限■■

提示：这是求x→a时未定式■的极限。

解：原式=■■=-■■■

=-■■■=2■cos2x=-2

小结：（1）■及■型不定式在使用洛比达法则后，可能相互转化，可多次利用洛比达法则，直至得出结果。

（2）洛比达法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，能化简时应尽可能先化简。

三、洛比达法则在求未定式∞-∞，0·∞极限中的应用

对于∞-∞，0·∞型未定式极限的计算，通常将它们化为■型或■型后，再利用洛比达法则求解，下面通过例题加以说明。

例4.求极限■（■-■）

提示：这是求x→a时未定式∞-∞的极限。

解：原式=■■=■■）

=■■=■■=■

小结：本题是求未定式∞-∞的极限，可先化为■或■未定式，再利用洛比达法则求解。

例5.求极限■xln（■）（a≠0）

提示：这是求x→∞时未定式∞·0的极限。

解：原式=■■=■■

=■■=■■=2a

小结：（1）未定式∞·0可化为∞·■=■或■·0=■，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。

（2）更加复杂的未定式的极限，一般还是可先化为■或■未定式，再利用洛比达法则求极限。

四、洛比达法则在求未定式1∞、00、∞0极限中的应用

对于1∞、00、∞0型未定式极限的运算，通常要进行对数恒等变形或采用取对数再求极限的方法，下面通过例题加以说明。

例6.求极限■（x+■）■

提示：这是求x→∞时未定式∞0的极限，可以先求自然对数，再利用洛比达法则求极限。

解：令y=（x+■）■，等式两边取自然对数，则

lny=ln（x+■）■=■

因为■■=■■（1+■）

=■■=0

即■lny=0，得y=1

所以■（x+■）■=1

例7.求极限■（sinx）x

提示：此极限属00型，可以运用对数恒等变形y=elny，再对limlny求解。

解：■（sinx）x=■exlnsinx=e■xlnsinx，其中■xlnsinx

=■■=■■=-■■，

当x→0+时，x～sinx，因此，上式=-■xcosx=0

所以■（sinx）x=e0=1

小结：在求解过程中，可以应用等价无穷小替代，这样可以使运算简化。

例8.求极限■（1+3x）■

解：此极限属1∞型，由对数恒等式得（1+3x）■=e■ln（1+3x）

因为■■ln（1+3x）=■■=■■=3

所以■（1+3x）■=e3

小结：求1∞、00、∞0型未定式极限要先取自然对数，再化为■或■型。具体如下：

（1）未定式1∞可以先取自然对数，化为ln1∞，而ln1∞=∞·ln1

=∞·0，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。若ln1∞极限为a，则1∞极限为ea。

（2）未定式00可以先取自然对数，化为ln00，而ln00=0·ln0

=0·∞，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。若ln00极限为a，则00极限为ea。

（3）未定式∞0可以先取自然对数，化为ln∞0，而ln∞0=0·ln∞，此处“0”为无穷小，“∞”为无穷大。若ln∞0极限为a，则∞0极限为ea。

总之，洛比达法则则适用于“■”型或“■”型未定式的极限运算，“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等各种未定式极限可以通过其他计算手段转化为“■”型或“■”型。在运算过程中，可多次使用洛比达法则，直至成为定式极限，若极限已存在，则可直接得出结果。

参考文献：

[1]刘志高，胡章柱，主编.高等数学[M].杭州：浙江大学出版社，2013.

[2]汪志宏，田俊峰，胡贵安.高等数学学考指要（上册）[M].西安：西北大学工业出版社，2006.