我们一起用过的建系的考题

许兵

我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形无数时难入微.”向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象和思维的有机结合.而有一些问题是需要学生首先合理建立直角坐标系，再确定坐标，从而巧妙地将其转化为从向量或坐标的角度解题，最终达到简化问题的效果.下面笔者通过几个典型的高考题分享建系这一重要思想，希望能给读者有所帮助.

例1（2013年全国新课标Ⅱ卷第13题）：已知正方形ABCD边长为2，E为CD的中点，则■·■=？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，2），E（1，2），■=（1，2），■=（-2，2），

∴■·■=-2+4=2.

例2（2013年山东卷第15题）：已知向量■与■的夹角为120°，且|■|=3，|■|=2.若■=λ■+■，且■⊥■，则实数λ的值为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，设点P坐标为（x，y），则A（0，0），B（3，0），C（-1，■），■=（x，y），■=（3，0），■=（-1，■），■=（-4，■），由■=λ■+■，■⊥■得：x=3λ-1y=■-4x+■y=0，解得λ=■.

例3（2013年天津卷第12题）：在平行四边形中ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若■·■=1，则AB的长为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，设AB的长为x，则A（0，0），B（x，0），D（■，■），C（■+x，■），E（■+■，■），■=（■+x，■），■=（■-■，■），

∴■·■=-■+■+1=1，解得x=■.

例4（2012年江苏卷第9题）：如图，在矩形ABCD中，AB=■，BC=2，点E为BC的中点，点F在CD边上，若■·■=■，则■·■的值是？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（■，0），C（■，2），E（■，1），设点F（x■，2），∴■·■=（■，0）·（x■，2）=■x■，解得x■=1，即点F坐标为（1，2），∴■·■=（■，1）·（1-■，2）=■.

例5（2012年上海卷第12题）：在平行四边形ABCD中，∠A=■，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足■=■，则■·■的取值范围是？摇？摇？摇 ？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（■，■），D（■，■），设BC边上的点M的坐标为（x■，■x■-2■）（其中x■∈[2，■]），

∴BM=■=2x■-4，

∴■=■，∴|■|=2|■|=4x■-8，得点N的坐标为（-4x■+■，■），

∴■·■=（x■，■x■-2■）·（-4x■+■，■）=-4x■■+12x■-3，x■∈[2，■]，

∴■·■的取值范围为 [2，5].

例6（2011年天津卷第14题）：已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|■+3■|的最小值为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：如图建立直角坐标系，则A、D两点坐标分别为A（2，0），D（0，0），设B、P坐标分别为B（1，t），P（0，y■），设B、P坐标分别为B（1，t），P（0，y■）（其中y■∈[0，t]），∴■=（2，-y■），■=（1，t-y■），

■+3■=（5，3t-4y■），∴|■+3■|=■，

因此当y■=■时，|■+3■|的最小值为5.

例7（2010年江西卷第7题）：E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=？摇 ？摇？摇？摇.

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：以C为坐标原点建立如图所示直角坐标系，不妨设点A，B的坐标分别为（0，3），（3，0），则

■=（1，2），■=（2，1），|■|=|■|=■，由■·■=|■||■|cos∠ECF得cos∠ECF=■，因此sin∠ECF=■，得tan∠ECF=■.所以选D.

变式训练：在△ABC中，AB=2，AC=■BC，求△ABC面积的最大值.

分析：以A为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设点C的坐标为（x，y），△ABC面积最大值问题转化为|y|的最大值问题，则由题意得■=■■，

整理得y■=-x■+8x-8，所以|y|■=2■，

即得S■的最大值为2■.

小结：这类问题的突破口在于能否合理建系，从而将问题简单化，主要体现的是建系思想.娴熟掌握建系这一方法，在解决一些问题时会达到事半功倍的效果.

我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形无数时难入微.”向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象和思维的有机结合.而有一些问题是需要学生首先合理建立直角坐标系，再确定坐标，从而巧妙地将其转化为从向量或坐标的角度解题，最终达到简化问题的效果.下面笔者通过几个典型的高考题分享建系这一重要思想，希望能给读者有所帮助.

例1（2013年全国新课标Ⅱ卷第13题）：已知正方形ABCD边长为2，E为CD的中点，则■·■=？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，2），E（1，2），■=（1，2），■=（-2，2），

∴■·■=-2+4=2.

例2（2013年山东卷第15题）：已知向量■与■的夹角为120°，且|■|=3，|■|=2.若■=λ■+■，且■⊥■，则实数λ的值为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，设点P坐标为（x，y），则A（0，0），B（3，0），C（-1，■），■=（x，y），■=（3，0），■=（-1，■），■=（-4，■），由■=λ■+■，■⊥■得：x=3λ-1y=■-4x+■y=0，解得λ=■.

例3（2013年天津卷第12题）：在平行四边形中ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若■·■=1，则AB的长为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，设AB的长为x，则A（0，0），B（x，0），D（■，■），C（■+x，■），E（■+■，■），■=（■+x，■），■=（■-■，■），

∴■·■=-■+■+1=1，解得x=■.

例4（2012年江苏卷第9题）：如图，在矩形ABCD中，AB=■，BC=2，点E为BC的中点，点F在CD边上，若■·■=■，则■·■的值是？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（■，0），C（■，2），E（■，1），设点F（x■，2），∴■·■=（■，0）·（x■，2）=■x■，解得x■=1，即点F坐标为（1，2），∴■·■=（■，1）·（1-■，2）=■.

例5（2012年上海卷第12题）：在平行四边形ABCD中，∠A=■，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足■=■，则■·■的取值范围是？摇？摇？摇 ？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（■，■），D（■，■），设BC边上的点M的坐标为（x■，■x■-2■）（其中x■∈[2，■]），

∴BM=■=2x■-4，

∴■=■，∴|■|=2|■|=4x■-8，得点N的坐标为（-4x■+■，■），

∴■·■=（x■，■x■-2■）·（-4x■+■，■）=-4x■■+12x■-3，x■∈[2，■]，

∴■·■的取值范围为 [2，5].

例6（2011年天津卷第14题）：已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|■+3■|的最小值为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：如图建立直角坐标系，则A、D两点坐标分别为A（2，0），D（0，0），设B、P坐标分别为B（1，t），P（0，y■），设B、P坐标分别为B（1，t），P（0，y■）（其中y■∈[0，t]），∴■=（2，-y■），■=（1，t-y■），

■+3■=（5，3t-4y■），∴|■+3■|=■，

因此当y■=■时，|■+3■|的最小值为5.

例7（2010年江西卷第7题）：E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=？摇 ？摇？摇？摇.

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：以C为坐标原点建立如图所示直角坐标系，不妨设点A，B的坐标分别为（0，3），（3，0），则

■=（1，2），■=（2，1），|■|=|■|=■，由■·■=|■||■|cos∠ECF得cos∠ECF=■，因此sin∠ECF=■，得tan∠ECF=■.所以选D.

变式训练：在△ABC中，AB=2，AC=■BC，求△ABC面积的最大值.

分析：以A为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设点C的坐标为（x，y），△ABC面积最大值问题转化为|y|的最大值问题，则由题意得■=■■，

整理得y■=-x■+8x-8，所以|y|■=2■，

即得S■的最大值为2■.

小结：这类问题的突破口在于能否合理建系，从而将问题简单化，主要体现的是建系思想.娴熟掌握建系这一方法，在解决一些问题时会达到事半功倍的效果.

我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形无数时难入微.”向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象和思维的有机结合.而有一些问题是需要学生首先合理建立直角坐标系，再确定坐标，从而巧妙地将其转化为从向量或坐标的角度解题，最终达到简化问题的效果.下面笔者通过几个典型的高考题分享建系这一重要思想，希望能给读者有所帮助.

例1（2013年全国新课标Ⅱ卷第13题）：已知正方形ABCD边长为2，E为CD的中点，则■·■=？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，2），E（1，2），■=（1，2），■=（-2，2），

∴■·■=-2+4=2.

例2（2013年山东卷第15题）：已知向量■与■的夹角为120°，且|■|=3，|■|=2.若■=λ■+■，且■⊥■，则实数λ的值为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，设点P坐标为（x，y），则A（0，0），B（3，0），C（-1，■），■=（x，y），■=（3，0），■=（-1，■），■=（-4，■），由■=λ■+■，■⊥■得：x=3λ-1y=■-4x+■y=0，解得λ=■.

例3（2013年天津卷第12题）：在平行四边形中ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若■·■=1，则AB的长为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，设AB的长为x，则A（0，0），B（x，0），D（■，■），C（■+x，■），E（■+■，■），■=（■+x，■），■=（■-■，■），

∴■·■=-■+■+1=1，解得x=■.

例4（2012年江苏卷第9题）：如图，在矩形ABCD中，AB=■，BC=2，点E为BC的中点，点F在CD边上，若■·■=■，则■·■的值是？摇？摇 ？摇？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（■，0），C（■，2），E（■，1），设点F（x■，2），∴■·■=（■，0）·（x■，2）=■x■，解得x■=1，即点F坐标为（1，2），∴■·■=（■，1）·（1-■，2）=■.

例5（2012年上海卷第12题）：在平行四边形ABCD中，∠A=■，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足■=■，则■·■的取值范围是？摇？摇？摇 ？摇.

分析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（■，■），D（■，■），设BC边上的点M的坐标为（x■，■x■-2■）（其中x■∈[2，■]），

∴BM=■=2x■-4，

∴■=■，∴|■|=2|■|=4x■-8，得点N的坐标为（-4x■+■，■），

∴■·■=（x■，■x■-2■）·（-4x■+■，■）=-4x■■+12x■-3，x■∈[2，■]，

∴■·■的取值范围为 [2，5].

例6（2011年天津卷第14题）：已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|■+3■|的最小值为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：如图建立直角坐标系，则A、D两点坐标分别为A（2，0），D（0，0），设B、P坐标分别为B（1，t），P（0，y■），设B、P坐标分别为B（1，t），P（0，y■）（其中y■∈[0，t]），∴■=（2，-y■），■=（1，t-y■），

■+3■=（5，3t-4y■），∴|■+3■|=■，

因此当y■=■时，|■+3■|的最小值为5.

例7（2010年江西卷第7题）：E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=？摇 ？摇？摇？摇.

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：以C为坐标原点建立如图所示直角坐标系，不妨设点A，B的坐标分别为（0，3），（3，0），则

■=（1，2），■=（2，1），|■|=|■|=■，由■·■=|■||■|cos∠ECF得cos∠ECF=■，因此sin∠ECF=■，得tan∠ECF=■.所以选D.

变式训练：在△ABC中，AB=2，AC=■BC，求△ABC面积的最大值.

分析：以A为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设点C的坐标为（x，y），△ABC面积最大值问题转化为|y|的最大值问题，则由题意得■=■■，

整理得y■=-x■+8x-8，所以|y|■=2■，

即得S■的最大值为2■.

小结：这类问题的突破口在于能否合理建系，从而将问题简单化，主要体现的是建系思想.娴熟掌握建系这一方法，在解决一些问题时会达到事半功倍的效果.