应用型工科高等数学教学法探讨

刘大瑾

[摘 要]高等数学是大学教育中的一门最具有决定性作用和最基础的学科，其对应用型工科学生影响之大，是其他课程所无法相比的。在高等数学教学中激发学生的学习兴趣，注重数学思想的渗透，多列举一些实际应用的范例，优化组合教材内容，不断改进教学方法是提高教学质量的关键。

[关键词]应用型 重要性 兴趣 内容 教学方法

[中图分类号] O13 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2014）15-0087-02

从某种意义上来说，数学发展的历史就是人类数学思维的进化史，应用型本科院校教育的努力方向是培养“宽基础、重实践、强能力、高素质” 的复合应用型专门人才。高等数学作为应用型本科院校理工科学生必修的重要基础课，无论是教学内容还是教学方法都需要进行相应的改革，以更好地适应培养应用型人才的需要。

一、高等数学的重要性

高等数学是大学教育中的一门最具有决定性作用和最基础的学科，其对应用型工科学生影响之大，是其他课程所无法相比的。高等数学是理工科学生学习后继课程的重要工具，在教学中要有效地使学生掌握和运用好这个工具，为其将来的学习与工作打好基础，但是不能对“工具性”的理解过窄，把高等数学看成只为专业课程服务的工具。

高等数学研究的是各种抽象的“数”和“形”的模式结构，运用的主要是逻辑、思辨和推演等理性思维方法；它是源于实际，又指导实际的一种思维创造。学习高等数学，一方面能增长学生的知识水平；另一方面能培养学生严密的逻辑思维，严谨的科学态度。高等数学教学应体现理性思维的培养，这是其他学科难以替代的；应用型层次的大学生数学基础并不十分扎实，他们更需要感受数学的思想、数学的逻辑以及数学的严密，高等数学的学习对应用型层次的大学生全面素質的提高，分析能力的加强，创新意识的启迪同样是至关重要的。

二、激发学生的学习兴趣

高等数学所研究的问题，无论是在对象上还是在方法上都比初等数学有了质的飞跃。学生从中学进入大学最不能适应的就是高等数学的思想，这是因为他们长期以来受到初等数学思想的束缚；在高三整个一年中，他们都是不断复习同样的问题，高中的学习方法在他们的头脑中留下了极深刻的痕迹，遇到新问题，常常是条件反射似的用中学里的方法去解决；进入大学后，每一次高等数学课都会出现新概念、新问题，特别是一开始就遇到极限的“ε-δ”定义，这让学生很不适应，上了几次课下来就积累了许多问题（而不像中学阶段那样，一个知识点要重复讲多次），时间一长，就会失去了学习数学的兴趣，这种现象在应用型工科院校的学生中尤其明显。

面对应用型工科院校的学生，在教学过程中尽量用通俗的语言讲清数学思想之真谛，尽量避免那种“定义—定理—证明—例题—应用”的枯燥无味的模式和过多的数学推导。每个新概念都尽可能由实际问题引出，注意对基本概念、基本理论和重要公式的产生背景、几何背景和应用背景的介绍，努力改变高等数学教学中过分重视运算技巧而轻视逻辑思维的倾向，注重数学思想的渗透，多列举一些实际应用的范例，特别是增加一些来自专业实际问题如工程技术、经济管理等方面的问题的解决方法介绍，以有利于培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。[1]这样，既使学生感受到数学的用途，提高学习兴趣，又使学生接受知识，有利于培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

由于数学思维及其发展以互相结合成有机整体的方式出现在今天的著作和教科书里边，数学的教育就有必要介绍数学思维及其动机的来龙去脉，以突出数学概念和结论的历史背景，让学生深切理解前人如此思考的原因和内在的目的。假如一个数学教师仅仅是准确无误、清晰明了地讲授整个知识系统，而对思维的发展和动机不予理睬的话，那么就可能造成一个后果，即只有少数真正有兴趣并有志于数学学习的学生能跟上他的教学步伐，其余的就可能因为阻力重重而放弃数学的学习并产生厌学情绪。这样的方式，显然不适合高等数学类的公共基础课教学。将数学史和自然辩证法融入教学中，激发学生的学习兴趣，使学生在掌握数学知识的同时，感受数学的趣味性，也深深地理解了数学和其他学科的相互关系，明白了数学的重要性。比如，在讲“数列极限”时，笔者介绍了裴波那契数列以及0.618的来历；在讲“微积分基本公式”时，引用了恩格斯的形象语言“一杯水中的水分子，一层一层地蒸发出去，是一个连续不断的微分，而水蒸气在压力和温度的影响下又在杯中凝成水，一层一层地积累起来，直到杯满为止，就是一个真正意义下的积分”，让学生领悟微分与积分之间的辩证关系。

三、优化组合教学内容

我校使用的是同济五版高等数学教材，这是我国高校中使用量最大的一部经典教材，教材有比较严谨的知识系统，从最抽象、最难掌握的极限“ε-δ”定义讲起，然后连续、导数、不定积分……讲下去，这部教材很符合学科内容和逻辑顺序，很有条理，知识系统也比较严谨，但是不符合人们的认知规律。[2]人们认识事物，总是从易到难、从简单到复杂、从具体到抽象、从抽象度低的到抽象度高的，因此在微积分的发展史上极限概念也是发展得最晚的，在牛顿-莱布尼兹使微积分成形后大约两百年，极限概念才得以严密地建立起来，可见极限的抽象度远远高于求变化率（导数）及求和（定积分）的抽象度。[3]为此，我们对教学内容的次序进行了调整。

在教学中对极限概念的阐述，遵循由具体到一般，由直观到抽象，由浅入深，循序渐进的教学原则进行，先讲极限的描述性定义和极限的计算，在讲完函数的连续性后对函数极限概念逐步严谨化，再用“ε-δ”语言来定义函数的极限，这样做使学生更易于掌握。

在“一元函数积分学”部分，我们并未按教材的顺序先讲不定积分再讲定积分，而是由不规则图形的面积先引出定积分的概念，再介绍定积分的计算法，由原函数概念给出牛顿-莱布尼兹公式后，作为定积分的需要而介绍不定积分，最后再回到定积分的应用，这样做对积分换元法和分部积分法不必在不定积分和定积分两处作重复的讨论，使内容紧凑。在教学实践中我们认识到只有优化组合教材内容，才能获得好的教学效果。

四、改进教学方法

高等数学是一门理论基础课，课堂讲授是主要的教学环节，且都是百人以上的大班上课，教学的质量和效果取决于授课教师的教学和学术水平以及表述能力。

教学是一个教师与学生共同学习与研究的过程，教师应根据不同层次的教育对象采取不同的教学方法。笔者在备课时吃透教材，找出主要方法与学生思维活动相连接的结合点，找出学生学习的难点，在课堂教学中实施精讲与多练相结合的方法，避免照本宣科、平铺平叙、面面俱到的教学模式，做到直观、应用、灵活，达到引导学生主动自觉学习的目的。[4]

对直观、简单的结果可以不证，让学生课后自己证明，若坚持样样证明，就显得枯燥，不管什么问题和应用联系上才显示出意义。灵活的教学能使课堂生动起来，如介绍函数定义时可这样处理：函数是一种运算，它对于一个已给的数-“输入”数x，确定了一个唯一的“输出”数y，使得这种运算可以进行的全体“输入”数构成了它的定义域。对于多元函数也可采取上述定义，这个定义既简单又易接受，同时也渗透着近代的科学思想。

对应用型工科院校的学生来说，有些复杂的证明可以通过对较低阶或较简单的特殊情况进行证明，然后用类似的思想方法对高阶或较复杂情况进行相应的推广。例如在“泰勒公式”一节，教师可叫学生先复习拉格朗日中值定理（零阶泰勒公式），然后利用罗尔定理导出带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，最后说明用类似的方法可得出带拉格朗日余項的n阶泰勒展开式。这样不仅避免了对n阶泰勒公式的繁琐的证明，而且学生对证明的思想方法又有所了解。

对定积分、重积分等概念的引入，在利用几何图形以求极限的方式给出平面图形的面积或空间图形的体积后，抽掉f（x）≥0或f（x，y） ≥0的限制，就直接作为定积分或重积分的定义，省去了另作定义时的重复性叙述。另外在讨论重积分时，将重积分在直角坐标系下化为累次积分后，立即介绍一般性的变量代换法，然后将极坐标下的计算方法作为其特例给出。

重视几何直观形象，为了让学生理解概念，我们在讲解一个新概念前，要多从几何或实际问题直观入手，逐步上升到抽象描述和推理证明，以达到激发学生的学习兴趣和使教学过程循序渐进的目的。另外，学生学习和了解数学的过程不单纯是一个认识过程，这里也有意志的锤炼、情感的陶冶等非智力品德的培养。因此我们应通过具体教学内容的传授，对学生言传身教，引导他们去分析和提出问题，平等地与学生讨论问题，细心地发现学生的点滴创新意识和创新精神。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 苏洪雨，江雪萍.高等数学案例教学的实践与探究[J].高等理科教育，2009.

[2] 钱方明.改进案例教学，提高案例教学质量[J].嘉兴学院学报，2002.

[3] 王佳秋，孙秀娟，杜广环.案例教学在高等数学教学中的应用[J].高师理科学刊，2011.

[4] 张娟，陈冬，尚学海等.应用型大学提高高等数学课堂质量的几点思考[J].北京联合大学学报（自然科学版），2008.

[责任编辑：覃侣冰]