一类广义分式规划的最优性条件和对偶

张彩芬, 吴泽忠

（成都信息工程学院 应用数学学院,四川成都610225）

设Rn表示n维空间,Rn+表示它的非负象限.文献［1］考虑了如下规划:

很多学者运用函数的凸性对分式规划做了相关的研究,文献［2-4］分别在不变凸性、（F,ρ）-凸性和（F,α,ρ,d） -凸性的假设下,扩展了文献［1］ 的结果,得到规划（P）的对偶规划及其各自的弱对偶、强对偶、严格逆对偶定理；文献［5-10］对可微广义分式规划做类似的研究并得出相应的结论；文献［11-14］对非可微广义分式规划及其对偶模型做了研究；文献［15-17］运用函数的凸性对多目标分式规划及对偶做相关的研究.本文将在广义ρ-不变凸性的假设下,得到（P）的2个对偶规划及其各自的弱对偶、强对偶和严格逆对偶定理.

1 预备知识

定义 1.1［18］令f:X→R（X⊆Rn） 是可微函数,ρ∈R,d:X ×X→R（x1≠x2,d（x1,x2）≠0）,η:X×X→Rn.

（a） 若对 ∀x ∈ X 都有 f（x） -f（x0） ≥▽f（x0）Tη（x,x0） +ρd2（x,x0）,则f在x0处是ρ -不变凸函数；

（b） 若对∀x∈X,x≠x0,都有f（x）-f（x0） ＞▽f（x0）Tη（x,x0） +ρd2（x,x0）,则f在x0处是严格ρ-不变凸函数；

（c） 若对 ∀x∈ X,都有 ▽f（x0）Tη（x,x0） ≥-ρd2（x,x0） → f（x） ≥ f（x0） 或 f（x） ＜ f（x0） →▽f（x0）Tη（x,x0） ＜-ρd2（x,x0）；则f在x0处是ρ -伪不变凸函数；

（d） 若对 ∀x∈ X,x≠ x0,都有 ▽f（x0）Tη（x,x0） ≥-ρd2（x,x0） →f（x） ＞f（x0） 或f（x） ≤f（x0）→ ▽f（x0）Tη（x,x0） ＜-ρd2（x,x0）；则 f在 x0处是严格ρ-伪不变凸函数；

（e） 若对 ∀x ∈ X 都有 f（x） ≤ f（x0） →▽f（x0）Tη（x,x0） ≤-ρd2（x,x0）,则f在x0处是ρ -拟不变凸函数.

2 充分条件

3 对偶定理

3 结语

在广义ρ-不变凸性的假设下,得到广义分式规划的最优性的充分条件并得到2个对偶规划的弱对偶、强对偶、严格逆对偶定理.广义分式规划在不同凸函数的基础上,已有很多的研究成果,更有待进一步去研究.ρ-不变凸性也可以运用于研究多目标分式规划.

致谢成都信息工程学院2012年中青年学术带头人基金（J201218）和成都信息工程学院2012年人才引进基金（KYTZ201203）对本文给予了资助,谨致谢意.

［1］ Chandra S,Kumar V.Duality in fractional minimax programming［J］.J Austral Math Soc,1995,A58:376-386.

［2］ Liu J C,Wu C S.On minimax fractional optimality conditions with invexity［J］.J Math Anal Appl,1998,219:21-35.

［3］ Liu J C,Wu C S.On minimax optimality conditions with （F, ρ） -convexity［J］.J Math Anal Appl,1998,219:36-51.

［4］ Liang Z A,Shi Z W.Optimality conditiongs and duality for a minimax fractional with generalized convexity ［J］.J Math Anal Appl,2003,277:474-488.

［5］王兴国.（F,ρ）-不变凸性下广义分式规划的最优性条件［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2005,28（1）:66-69.

［6］王兴国.广义分式规划的混合型对偶［J］.浙江师范大学学报:自然科学版,2001,24（4）:332-336.

［7］王兴国.广义分式规划的一个混合型对偶［J］.曲阜师范大学学报:自然科学版,2002,28（2）:41-45.

［8］ Antczak T.Generalized fractional minimax programming with B-（F, ρ）-invexity［J］.Comput Math Appl,2008,56:1505-1525.

［9］ Ahmad I,Husain Z.Optimality conditions and duality in nondifferentiable minimax fractional programming with generalized convexity［J］.J Theory Appl,2006,129:255-275.

［10］焦合华.B-（F,ρ）-不变凸规划的最优性条件及混合型对偶［J］.数学的实践与认识,2010,40（16）:138-143.

［11］ 袁德辉,龚海林.（C,α,ρ,d）凸极大极小分式规划的最优性条件［J］.南昌大学学报:理科版,2006,30（2）:127-129.

［12］王兴国.一类不可微广义分式规划的最优性条件［J］.长春大学学报:自然科学版,2009,19（8）:65-69.

［13］罗和治,吴惠仙,朱艺华.一类非可微广义分式规划的混合型对偶［J］.浙江工业大学学报:自然科学版,2003,31（2）:182-186.

［14］罗和治.一类非可微广义分式规划的最优性必要条件［J］.浙江师范大学学报:自然科学版,2001,24（3）:239-243.

［15］吴泽忠,郑丰华.一类非线性分式规划问题的最优性条件和对偶［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2007,30（5）:594-597.

［16］李向有,张庆祥,苗红梅,等.不变凸多目标分式规划的最优性［J］.延安大学学报:自然科学版,2009,28（2）:18-20.

［17］罗勇,姚元金.G-（F,ρ）凸性下的非光滑多目标分式规划的最优性条件［J］.延安大学学报:自然科学版,2010,29（4）:3-6.

［18］ Zalmai G J,Zhang Q H.Parametric duality models for semi-infinite discrete minmax fractional programming problems involving generalized （η,ρ） -invex functions［J］.Acta Math Appl Sinica,2007,23:353-376.