Banach空间中分离平衡问题的Levitin-Polyak-α适定性

高 友

（四川师范大学 服 装学院,四川 成都610066）

A.N.Tykhonov［1］首先介绍全局优化问题的适定性的概念,即Tykhonov适定性.全局优化问题被称为Tykhonov适定,如果该问题存在唯一解且它的每一个极小化序列都收敛于该唯一解.该适定性的定义也适用于约束优化问题,此时要求极小化序列包含于约束集中.E.S.Levitin等［2］推广Tykhonov适定性的概念,给出约束优化问题Levitin-Polyak（简写LP）适定性的定义,即要求约束优化问题具有唯一解且任何极小化序列都收敛于该解.

值得说明的是,LP适定性中的极小化序列不需包含于约束集中,只需该极小化序列到约束集的距离趋于零.从此以后,有许多学者都在研究适定性方面的结果,参见文献［1-6］.同时,适定性也被推广到其他相关问题,比如变分不等式问题［7-9］、鞍点问题［10］、Nash平衡问题［11］以及不动点问题［12］等.

S.Reich等［13］介绍一类新的分离变分不等式问题（SVIP）,给出该分离变分不等式问题解的迭代算法.最近,根据文献［13］的工作,A.Moudafi［14］研究了分离变分包含问题解的迭代算法.由于分离变分不等式问题具有很多应用背景,但是其适定性方面的工作几乎没有,因此研究分离变分不等式问题的适定性是一项有意义的工作.由于分离平衡问题是分离变分不等式问题的更广泛形式,因此,本文主要研究分离平衡问题的适定性方面的结果.

1 预备知识

设X、Y为2个实Banach空间,其对偶空间分别为X*、Y*.设C是X中的非空闭凸子集,Q是Y中的非空闭凸子集.设A:X→Y是有界线性映射,f:C×C→R和g:Q×Q→R为2个给定的映射.在本文中,考虑下列的分离平衡问题（SEP）:求x*∈C使得

首先给出相关的定义和引理.

定义1.1设A、B是Banach空间X中的非空子集.A和B之间的Hausdorff度量H（·,·）定义为

定义1.2称映射f:X×X→R为

（i）半连续的,如果对∀x,y∈X,映射t｜→f（ty+（1-t）x,y）在t＝0上半连续；

（ii）单调的,如果对∀x,y∈X,f（x,y）+f（y,x）≤0.

定义1.3设A是X中的非空子集.集合A的非紧测度u定义如下

其中,diam表示集合的直径.

命题1.1设f:C×C→R,g:Q×Q→R都是单调半连续映射,对∀x∈C,f（x,x）≥0,对∀y∈Q,g（y,y）≥0.设f和g关于第2变量为凸函数,则对x*∈C,下面的结论等价:

（i）f（x*,x）≥0,∀x∈C,且y*＝Ax*∈Q满足g（y*,y）≥0,∀y∈Q；

（ii）f（x,x*）≤0,∀x∈C,且y*＝Ax*∈Q满足g（y,y*）≤0,∀y∈Q.

证明（i）→（ii）根据f和g的单调性,显然成立.（ii）→（i）由于f（x,x*）≤0,∀x∈C,且y*＝Ax*∈Q满足g（y,y*）≤0,∀y∈Q.对∀x∈C,y∈Q,设xt＝x*+t（x-x*）,yt＝y*+t（y-y*）,t∈（0,1］.显然,xt∈C,yt∈Q.因此,f（xt,x*）≤0,且y*＝Ax*∈Q满足g（yt,y*）≤0.从而

根据f的半连续性可知f（x*,x）≥0,∀x∈C.类似可证g（y*,y）≥0,∀y∈Q.

2 SEP的Levitin-Polyak-α-适定性的度量性质

首先给出SEP的Levitin-Polyak-α适定性的定义,然后讨论其度量性质.分别以→、⇀表示强、弱收敛.设α≥0为给定实数.总假设f:C×C→R,g:Q×Q→R都是单调半连续映射,对∀x∈C,f（x,x）≥0,对∀y∈Q,g（y,y）≥0.设f和g关于第二变量为凸函数.

定义2.1称｛xn｝⊂X为SEP的Levitin-Polyak（简称,LP）-α-近似序列,如果存在∈n＞0满足∈n→0使得

定义2.2称SEP为强（resp.,弱）Levitin-Polyak（简称LP）-α-适定的,如果SEP具有唯一的解且每一个LP-α-近似序列都强（resp.,弱）收敛于该唯一解.当α＝0,称SEP是强（resp.,弱）LP适定的.

定义2.3称SEP是广义强（resp.,弱）LP-α-适定的,如果SEP的解集S非空且任意LP-α-近似序列都存在子列强（resp.,弱）收敛于S中的点.当α＝0,称SEP是广义强（resp.,弱）LP适定的.

引理2.1设S为SEP的解集,则x0∈S当且仅当下面2个条件成立:

证明必要性是显然的,下面证明充分性.假设（1）和（2）式成立.对∀x1∈C,y1∈Q以及t∈［0,1］,令xt＝tx1+（1-t）x0,yt＝ty1+（1-t）y0.由于C和Q都是凸集,故xt∈C,yt∈Q.因此

现在,讨论SEP的LP-α-适定性的度量性质.

定理2.1SEP是强LP-α-适定的当且仅当SEP的解集S非空且

证明假设SEP是LP-α-强适定的,则S为单点集且S⊂Ωα（∈）.现在证明（3）式成立.若不然,则存在r＞0,0＜∈n→0,当n→∞时,

由于xn,yn∈Ωα（∈n）,则｛xn｝和｛yn｝都是SEP的LP-α-近似序列.又因为SEP是强LP-α-适定的,所以xn、yn强收敛于SEP的唯一解.这与‖xn-yn‖＞r矛盾.从而（3）式成立.

反之,假设（3）式成立,｛xn｝为SEP的任一LP-α-近似序列,则存在0＜∈n→0满足

从而,｛xn｝⊂Ωα（∈n）.另外,根据（3）式及S⊂Ωα（∈）可知S为非空单点集.令x0为SEP的唯一解.注意到x0∈Ωα（∈n）,根据（3）式可推知‖xn-x0‖≤diam （Ωα（∈n））→0.因此,SEP是强LP-α-适定的.

定理2.2设f和g关于第2变量连续,则SEP是强LP-α-适定的当且仅当

证明必要性 和定理2.1的证明一样.

充分性 假设（4）式成立.据（4）式及S⊂Ωα（∈）容易验证:若S非空,则为单点集.设｛xn｝⊂X为SEP的LP-α-近似序列.则存在0＜∈n→0满足

这表明｛xn｝⊂Ωα（∈n）,∀n∈N.根据（4）式可知｛xn｝是Cauchy序列,因此其收敛于点x0∈X.由于xn→x0以及∈n→0,故d（x0,C）≤0.从而x0∈C.根据f的连续性可得

再由引理2.1可得x0∈S.从而,SEP是强LP-α-适定的.

定理2.3SEP是广义强LP-α-适定的当且仅当SEP的解集S是非空紧集且

证明假设SEP是广义LP-α-适定的,则S是非空紧集.事实上,令｛xn｝⊂S,显然,｛xn｝是SEP的LP-近似序列,同时也是LP-α-近似序列.由于SEP是广义强LP-α-适定的,故存在｛xn｝的子列｛xnk｝强收敛于S中的点.从而S是非空紧集.现证明（5）式成立.假设该结论不真,则存在r＞0,0＜∈n→0以及xn∈Ωα（∈n）满足

由于｛xn｝⊂Ωα（∈n）,则｛xn｝是SEP的LP-α-近似序列.因为SEP是广义强LP-α-适定的,所以存在｛xn｝的子列｛xnk｝强收敛于S中的点.这与（6）式矛盾,故（5）式成立.

反之,假设S为紧集且（5）式成立.设｛xn｝为SEP的LP-α-近似序列,则｛xn｝⊂Ωα（∈n）.由于e（Ωα（∈）,S）→0当∈→0,所以存在序列｛zn｝⊂S满足d（xn,zn）→0.根据S的紧性知存在｛zn｝的子列｛znj｝强收敛于x0∈S.因此,存在｛xn｝的子列｛xnj｝也强收敛于x0∈S.因而,SEP是广义强LP-α-适定的.

定理2.4设f和g关于第二变量连续,则SEP是广义强LP-α-适定的当且仅当

证明假设SEP是广义强LP-α-适定的.根据定理2.3中类似的证明方法可知S是非空紧集且e（Ωα（∈）,S）→0当∈→0.由于S⊂Ωα（∈）,故

反之,对∀∈＞0,根据f和g的连续性可知Ωα（∈）为闭集.注意到当∈≤∈′时有Ωα（∈）⊂Ωα（∈′）.令,则

由参考文献［15］可知Ω是非空紧集且满足

根据引理2.1,易知Ω等于SEP的解集S.因而S是紧集.设｛xn｝是SEP的LP-α-近似序列,则存在0＜∈n→0满足

由于S是紧集,存在｛zn｝的子列｛znk｝强收敛于x0∈S.因此,｛xn｝也存在相应的子列｛xnj｝强收敛于x0∈S.从而,SEP是广义强LP-α-适定的.

注1本文的结论是一些已有知名结果的推广.特别地,当f（x,x*）和g（y,y*）具有某种特殊形式时,本文的结论退化为文献［7,16-17］中的相关结果.

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