一个特殊三维混沌系统的退化Hopf分岔

朱道宇

(贵州民族大学理学院，贵州贵阳550025)

1994年，Sprott在文献［1］中介绍了几类形式简单却能产生混沌现象的三维自治微分系统，其中一类的形式如下:

这里的(x，y，z)∈R3是状态变量，参数 a∈R，c＞0，“·”表示状态变量关于时间 t的导数.文献［1］只简单陈述了当a=0和c=4时系统存在混沌吸引子，直到2012年，Wang等在文献［2］中利用最大Lyapunov指数和时间序列分析等数值方法验证了系统(1)当c=4且a取某些特定值时有一个混沌吸引子和稳定平衡点共存.事实上，随着参数的变化，系统(1)呈现出非常丰富的动力学行为，例如当a=0.01且c=4时有一个稳定的平衡点、一个稳定的极限环和一个混沌吸引子共存(见文献［3］).系统(1)可以看作是文献［1－3］中所讨论的系统的一个2－参数开折，本文将通过讨论非双曲平衡点的Hopf分岔和退化Hopf分岔，从理论上揭示三种不同类型的吸引子共存的内在机理.

1 平衡点及其稳定性

容易算得对任意的a∈R和c＞0，系统(1)有唯一的平衡点:E0=(1/c，1/c2，－ac2).

命题1 设c＞0，关于系统(1)的平衡点E0有下面的结论:

(i)当a＜0时，平衡点E0是双曲且不稳定的;

(ii)当a＞0时，平衡点E0是双曲且局部渐近稳定的;

(iii)当a=a0=0时，平衡点E0是非双曲的，它的稳定性依赖参数c的取值.

证明 系统(1)在平衡点E0处的Jacobi矩阵的特征多项式为:

p(λ)= λ3+ λ2+(1/c+2ac)λ +1/c.

因为c＞0，所以当a＞0时p(λ)的系数全为正，由Routh－Hurwitz准则知，p(λ)的零点全部具有负实部，因而E0是局部渐近稳定的.同样由Routh－Hurwitz准则知，当a＜0时E0是不稳定的.当a=a0=0时，在平衡点 E0处 Jacobi矩阵的特征值为:λ1= －1，λ2，3= ±iω0，其中，可见E0是非双曲的.

由命题1的结论(iii)知，平衡点E0的Hopf曲线是集合:Γ={(a，c)∈R×(0，∞):a=a0=0}.为了研究当c＞0且a=a0=0时非双曲平衡点E0的稳定性，下面将利用文献［4］中介绍的投影法来计算Hopf分岔的Lyapunov系数.我们知道，在微分动力系统的Hopf分岔中，随着参数的变化，平衡点的稳定性将发生改变，并随之有一个极限环产生(或消失)，极限环的稳定性可利用第一Lyapunov系数的符号来判断.而在一个双参数的微分系统中可能发生退化Hopf分岔，此时第一Lyapunov系数为零，需利用第二Lyapunov系数来判断极限环的稳定性.对某些恰当的参数值，系统还可以产生两个极限环，其中一个稳定而另一个不稳定，在这种情况下一个稳定的平衡点和一个稳定的极限环共存.

2 主要结果

由式(2)给出的函数f在点E0处的Jacobi矩阵为:

下面关于第一和第二Lyapunov系数的计算将全部沿用文献［4－5］中的记号.与函数f对应的各个多重线性对称函数依次为: B(X，Y)=(x2y3+x3y2，2x1y1，0)，C(X，Y，Z)=D(X，Y，Z，U)=E(X，Y，Z，U，V)=(0，0，0).

和:

定理1 系统(1)在平衡点E0处的第一Lyapunov系数为

证明 因为函数 C(X，Y，Z)=(0，0，0)，所以:G21=〈p，B(q－，h20)+2B(q，h11)〉，其中复向量h11和h20的定义和计算方法见文献［4］中第27页.通过计算得到:

可见，当0＜c＜c1或 c＞c2时 l1(a0，c)＞0;当 c1＜c＜c2时 l1(a0，c)＜0.

为了验证Hopf分岔的横截条件，把系统(1)看作仅依赖于参数a，则在临界值a=a0=0处的复特征值的实部 η =η(a)满足因而在Hopf点处的横截条件成立.证毕.

系统(1)的分支图如图1所示，其中Mi和Ni(i=1，2，…，6)分别是参数平面(a，c)上点(0，c1)和(0，c2)附近的典型点，曲线 C1和C2对应半稳定极限环.点Mi和Ni(i=1，2，…，6)处的限制在中心流形上的相图如图2所示，其中红色表示稳定，蓝色表示不稳定，绿色表示半稳定.

当a=a0=0且c=c1或c=c2时，第一Lyapunov系数等于零，此时系统(1)发生退化Hopf分岔，需利用第二Lyapunov系数的符号来判断极限环的稳定性.

定理2 当a=a0=0且c=c1时，系统(1)的第二Lyapunov系数为:l2(a0，c1)= －

当a=a0=0且c=c2时，系统(1)的第二Lyapunov系数为:

图1 系统(1)的分支图Fig.1 Bifurcation diagram of system(1)

证明 沿用文献［4］中的记号及其相应的计算式，由:C(X，Y，Z)=D(X，Y，Z，U)=E(X，Y，Z，U，V)=(0，0，0).可以算得:

其中复向量h11的值已在定理1的证明中给出，h21，h30，h22和h31的计算方法与h11类似，由于其表达式过于冗长，此处不一一列出.第二Lyapunov系数的定义式为:

将式(4)和式(5)代入式(6)中，得:l2(a0，c1)=＞0.

可见，此时系统(1)的分岔图与图1和图2所示的分岔图拓扑等价.由定理2可知，在参数平面(a，c)上存在一个区域S，当参数在此区域内取值时系统(1)有一个稳定的极限环和一个稳定的平衡点共存，文献［3］中系统对应的参数值a=0.01和c=4便属于这个区域.

图2 系统(1)限制在中心流行上的流的相图Fig.2 Phase portraits of system(1)for the flow restricted tothe center manifold

［1］ Sprott J C.Some simple chaotic flow［J］.Physical Review E，1994，50(2):647 －650.

［2］ Wang X，Chen G.A chaotic system with only one stable equilibrium［J］.Commun Nonlin Sci Numer Simulat，2012，17:1264 －1272.

［3］ Sprott J C，Wang X，Chen G.Coexistence of point，periodic and strange attractors［J］.Int J Bifurcation and Chaos，2013，23(5):1350093 －1 －5.

［4］ Kuznetsov Y A.Elements of Applied Bifurcation Theory，second edition［M］.New York:Springer－Verlag，1997:91－104.

［5］ Sotomayor J，Mello L F，Braga D C.Bifurcation analysis of the Watt governor system［J］.Comp Appl Math，2007，26:19 －44.