2个通电圆线圈轴线上磁场分布均匀性分析

张逢春，马全喜

（1.中国地质大学长城学院，河北保定 071000；2.河北大学物理科学与技术学院，河北保定 071002）

亥姆霍兹线圈是由2个完全相同的线圈同轴放置而组成的，通常认为其中心间距L等于线圈的半径R，即L／R为1时，2个线圈通以完全相同的电流，在2线圈之间的区域形成的磁场是均匀的［1，6］.有没有使磁场均匀度更好一些的L和R的比值呢？通过理论分析和实验验证得出的结论是肯定的.

1 理论分析

一个匝数为N半径为R的圆线圈通有电流I，用毕奥－萨伐尔定律可以得到其轴线上离圆心为X处的磁感应强度大小可表示为［2－3］

设X＝KR，则可得是K＝0处的Bx值，是Bx的最大值.若将其记作

对于一个通电圆线圈对轴线上任何位置都可以利用公式（2）求出相应的Bx值.

设有2个完全相同的通电圆线圈同轴放置，2圆心间距为L，通以相同的电流，轴线上任一点处磁感应强度应是2线圈单独存在时该点磁感应强度的矢量和［4］.如图1所示，以左线圈圆心为坐标原点沿共同轴线建立一维坐标系，以Bx表示左线圈在X处激发的磁感应强度，以BL－X表示左线圈在L－X处激发的磁感应强度.由于2线圈磁场具有完全相同的分布规律，使左线圈在L－X处的磁场与右线圈在X处的磁场完全相同，都是BL－X，或者说2线圈在X处产生的磁场矢量和B（X）可统一地用左线圈在X处和L－X处产生的磁场

图1 2线圈示意Fig.1 Schematic of two coi

利用公式（3）可得到2个同轴通电圆线圈在X处激发的磁感应强度为

或

对于确定的匝数N、电流I、半径R，针对任意线圈间距L，在公共轴线上任意一点处都可以利用公式（4）来求出对应的磁感应强度B（X）值.

每对应一个确定L值，在2线圈之间从理论上计算出诸多点位处的磁感应强度，以位置X／R为横坐标，以B（X）／BO为纵坐标，对于不同的L／R，作出一系列曲线，如图2，可以直观地比较各L／R值对应的曲线起伏情况.

由图2可以看出L为1.0R，1.1R，1.2R时曲线都较平坦.以磁感应强度平均值为参考利用标准偏差公

表1 2线圈之间距离L从0.5R到1.5R标准偏差（理论计算值）Tab.1 Standard deviation of distance Lbetween the two coils from 0.5Rto 1.5R（theoretical value）

可见在L为1.2R附近，曲线具有最小值.若在L为1.2R附近加大理论计算密度，结果表明与L为1.17R，1.18R和1.19R对应的标准偏差分别为0.004 19，0.003 65和0.003 85，即L为1.18R时标准偏差最小磁场均匀性最好.

图2 L／R从0.5到1.5磁场起伏情况的理论分析结果Fig.2 Theoretical analysis results of magnetic fluctuation situation L／Rfrom 0.5to 1.5

2 实验验证

以上理论结果通过实验得到了验证.为了确定L／R取何值时磁场更均匀一些，笔者对西安交通大学制造的磁场描绘仪进行了改造.原励磁线圈定位孔为0.5R，1.0R，1.5R3档，探测线圈定位孔为每1cm一点.保留探测线圈定位孔密度不变，励磁线圈定位孔加大密度，改为每1cm改变1次L值，使L由3档变为0.5R，0.6R，…，1.4R，1.5R共计11档，对每一档重复多轮实验，每一轮都在2线圈之间每隔1cm测1次探测线圈最大输出电压Umax，以Umax为纵坐标，以轴线上位置为横坐标，作出一簇起伏曲线，如图4，比对各曲线可见，L为1.0R，1.1R，1.2R时起伏较小，这与理论分析结果一致.再以Umax的平均值为参考，利用标准偏差公式求出对应σU的值，如表2.最后做出随L／R变化曲线，如图5.

图4 实验测量的L／R从0.5到1.5磁场起伏情况Fig.4 Experimental measurements results of magnetic fluctuation situation L／Rfrom 0.5to 1.5

图5 实验测量的σ值随L／R变化曲线Fig.5 Experimental measurement diagram ofσvalues change with the L／R

表2 2线圈距离L从0.5R到1.5R标准偏差（实验测量值）Tab.2 Standard deviation of distance Lbetween the two coil from 0.5R to 1.5R（experimental measurements）

仔细比较图3和图5不难发现与标准偏差最小值对应的L／R并不完全相同，图3为1.18，图5为1.11.之所以产生这种差异可能与两者采用的线圈半径略有不同直接相关.理论计算时采用的是磁场描绘仪生产厂家给出的标称半径10cm，而实验测量时应采用等效半径.由实际励磁线圈的内半径R1和外半径R2利用公式，计算出的等效半径为9.4cm，而定位孔相邻2档间隔为1cm.L／R为1.11即实验中与σ最小值对应的L值原则上为11.1cm，考虑到线圈等效半径为9.4cm，实验得到的L／R值应是11.1／9.4，即1.18，这正好与理论计算出的σ最小值位置重合.

3 结论

从理论和实验测量相结合的角度得出了完全一致的结论：圆形通电双线圈在2线圈间距为1.18R时2线圈之间的磁场均匀性会更好一些，与L＝R相比，可用磁场空间也略大一些，这在实际中都是有利因素.当然与L＝R相比，L＝1.18R时磁感应强度平均值会略小一些，对提高投入产出比略有损失，在实际应用中可以根据需要权衡利弊，选取合适的线圈间距L.

［1] 王东，李庆民，张小兵.亥姆霍兹线圈磁场均匀性的研究［J］.海军工程学院学报，1999（2）：61－64.WANG Dong，LI Qingmin，ZHANG Xiaobing.Research on evenness of magnetic field generated by helmboltz coils［J］.Journal of Naval Academy of Engineering，1992（2）：61－64.

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