基于多类型受扰轨迹的电力系统低频振荡分析

郝思鹏，楚成彪，张仰飞，阚建飞

（南京工程学院 电力工程学院，江苏 南京 211167）

0 引言

电力系统低频振荡直接影响互联系统的运行，基于线性化模型的特征根方法物理概念清晰，提供的信息量丰富，但难以反映非线性的影响。考虑二阶项的小干扰分析可以在一定程度上计及非线性影响，但难以推广至大系统[1-4]。系统的受扰轨迹可以包含非线性影响，轨迹获取受系统规模影响较小，随着广域测量系统（WAMS）引入，可以不依赖系统模型，实时监测系统的运行，为低频振荡分析提供了重要的受扰轨迹[5]。

基于轨迹分析低频振荡，主要包括平稳振荡特性分析和非平稳振荡特性分析，目前非平稳振荡特性分析主要基于单一轨迹，常用方法包括窗口傅里叶脊[6]、小波脊[7]、HHT[8-9]等；平稳振荡特性分析适用于单一轨迹也适用于多机受扰轨迹，常用方法是Prony算法，该算法计算简单，但抗干扰性能较差，并且需要选定合适的模型阶数[10-11]。目前，确定Prony算法阶数常见的有行列式法和奇异值分解法等，这类方法主要用来区分有效数据空间和噪声空间，无法对获取振荡模式信息准确度进行评价。对于存在一定非线性的信号，用这类方法确定算法的阶数，可能造成过度拟合。电力系统受扰轨迹存在多种类型曲线[12-16]，传统方法采用单一的发电机功角曲线、转速曲线或联络线功率曲线进行振荡分析，忽略了不同类型曲线的关系。

本文基于多类型受扰轨迹内在联系，建立各振荡模式的幅值和相位偏差评价指标，判断该模式的可信度；进一步建立综合评价指标，对Prony算法的分析结果给出评价依据，以判断阶数选择的合理性。

1 多信号的Prony算法

Prony算法是用e指数函数线性组合来拟合等间距采样的一段轨迹，其指数函数为复指数时，可以直接提取振荡的模式和模态。将Prony算法应用于多信号，即用一组相同的e指数信号对多条等间距采样的信号曲线进行拟合，其表达式为：

其中，Akm为信号k第m个振荡模式的幅值；fm为第m个振荡模式频率；αm为第m个振荡模式衰减因子；θkm为信号k第m个振荡模式的初相；p为指数函数的阶数；n 为样本的个数；Δt为时间间隔；xˆk（n）为拟合的结果。

Prony算法既可以获取振荡的模式信息，也可以获取各机组参与某一振荡模式的模态。

2 多类型信号的分析

2.1 多机系统的振荡曲线

低频振荡的本质是机组间相对运动，一般采用机组功角曲线、机组转速曲线、机组出力或联络线功率曲线进行分析。多机系统中，机组功角曲线和转速曲线一般采用相对惯量中心（或角度中心）显示。由于机组功角存在初始相位差，多机系统的功角曲线一般包含直流分量，而处于同步运行的机组相对转速曲线一般不包含直流分量。由于每台机组功角曲线和转速曲线包含相同的振荡模式信息，设其由不同的振荡模式叠加而成，表达式为：

其中，δi（t）为第 i台机组相对惯量中心（或角度中心）功角；δi0为第i台机组功角的直流分量；Aj为第j个振荡模式的振幅；σj为第j个振荡模式阻尼系数；ωj为第j个振荡模式频率；φj0为第j个振荡模式初相；vi（t）为第i台机组相对惯量中心（或角度中心）转速；Bj为转速中第j个振荡模式的振幅；φj0为转速中第j个振荡模式初相。

2.2 不同类型曲线的关系

电力系统是物理系统，仿真或实测获取的不同类型信号之间存在内在联系，实际系统中，机组功角和转速曲线间存在导数关系，即：

由式（4）可知，机组第j个振荡模式转速和功角振幅大小的比值和初始相位差由对应的第j个振荡模式的阻尼和频率决定，即：

式（5）和（6）显示，不同类型信号振荡模态和振荡模式间存在联系，这一内在联系为振荡模式信息准确性验证提供了考核指标，其仅根据对应的模式和模态计算结果进行验证，不依赖真值，适用于电力系统仿真和实测的受扰轨迹。依托式（5）和（6），构建第j个振荡模式的振幅偏差和相位偏差百分数，如式（7）和（8）所示。

获取的每个振荡模式的准确度可通过对应的ηjAmplitude、ηjPhase反映，数据越大，表示该模式越不可信。

2.3 不同类型曲线的振幅处理

不同类型的曲线由于量纲不同，振幅差异较大，容易导致某一类型的信号被其他信号掩盖，需要进行加权处理。为了便于比较，建立不同类型信号的平均能量，并对其进行归算。设同类型信号有q条，采样点为n个，对信号进行隔直处理后，建立同类型信号的平均能量，如式（9）所示。

其中，xk（i）为采样值。

对不同类型的信号振幅进行加权处理，以某一类型曲线为参照，其他类型曲线的数值除以2种不同类型曲线平均能量的比值，实现信号振幅的预处理。

3 主导模式识别及综合评价

3.1 主导模式识别

考虑到噪声和非线性的影响，信号处理方法获取的振荡模式信息，能量占比较大的信号具有较高的可信度。对于高阶Prony算法获取的振荡模式，需要对提取的模式信息进行排序，获取主导振荡模式。主导振荡模式不仅和振荡的初始振幅相关还和其阻尼相关，以包络线构成面积的平方为该模式的振荡能量。对于单一曲线，第j个模式的振荡能量为：

其中，Δt为采样步长。

总振荡能量的计算式为：

主导振荡模式根据单个模式振荡能量占总能量的百分比进行排序，第j个振荡模式占总能量的百分数计算式为：

对于多机受扰轨迹，振荡模式的能量包含在所有振荡曲线中，第j个振荡模式占总能量的百分比计算式为：

根据振荡能量占比对振荡模式进行排序，并设立阈值，能量占比超过阈值的模式为主导振荡模式。

3.2 综合评价

对于具有多个主导振荡模式的信号，需要建立综合指标以反映Prony算法辨识结果的可信度。多机系统中，每个机组中都有多个振荡模式ηjAmplitude和ηjPhase，需要建立综合评价指标反映Prony算法输出结果的可信度。综合指标需要反映每个振荡模式的能量占比、振幅偏差及相位偏差。构建综合评价指标如式（14）和（15）所示。

其中，ηj为第 j个主导振荡模式的能量百分比；ηjAmplitude、ηjPhase分别为第j个主导振荡模式振幅和相位偏差百分比，对于多机系统其数值取各个机组对应参数的平均值。

4 多类型曲线振荡特性分析

4.1 线性信号分析

设 y=6e-0.5tsin（10t）+2e-0.1tsin（20t），导数为 y′=60.08e-0.5tsin（10t+1.52）+40.00e-0.1tsin（20t+1.57），采样步长为0.05 s，采样时间为5 s。由于信号振幅相差较大，根据振幅处理方法，以y为参照，对y′振幅进行处理，y′信号除以13.77，如图1所示。

图1 预处理后的多类型信号Fig.1 Pre-processed multi-type signal

对于不加噪声的信号，4阶以上Prony算法都可以获取准确的振荡模式信息。对信号分别加入白噪声，信噪比分别为5dB、10dB和20dB。利用Prony算法提取主导振荡模式，以振荡能量占比超过2%为标准，提取主导振荡模式，并根据式（7）和（8）分析主导振荡模式幅值和相位对应的偏差，结果如表1所示。

由表1可知，提取的主导振荡模式信息越准确，对应的ηjAmplitude、ηjPhase偏差系数越小，可见，建立的指标能用于评价辨识结果的准确性。噪声对Prony算法的输出结果会产生一定影响，信噪比小的信号幅值和相位偏差较大，高阶Prony算法有利于过滤白噪声，使主导振荡模式结果更准确。分析信噪比为5 dB和10 dB的信号发现，随着Prony算法阶数的提高，20阶模型和40阶模型计算精确度没有明显提高，可见在满足要求的情况下，过高的模型阶数无意义。

表1 主导振荡模式识别结果及评价指标值Table 1 Results of dominant oscillation mode identification and evaluation indexes

有些情况下，低阶模型对结果影响较大，主要是因为Prony算法基于线性预测，采样过密的低阶模型基于曲线的每个小片段进行拟合，若此时信号含有较大的噪声，则会导致输出结果失真。以上述曲线为例，若将采样步长降为0.02 s，10阶模型，信噪比取10 dB，则无法获取频率较低的振荡模式信息，出现丢根，20阶及以上模型则可获取2个主导振荡模式信息。

4.2 系统仿真分析

以Kundur 4机系统为例，参数见文献[7]，SSAT软件基于线性化模型，计算获得3个机电相关特征根为 -0.0398±j3.0864、-0.0385±j6.5657、-0.0404±j6.7348。其中模式1为区域振荡模式，为1、2号机对3、4号机，另外2个为本地振荡模式，模式2为1号机对2号机，模式3为3号机对4号机。

利用国网电科院开发的Fastest软件进行仿真，在3号机机端施加三相短路故障扰动，扰动持续时间分别为0.01 s、0.2 s，分别模拟小扰动和大扰动，仿真步长为0.05 s，持续时间10 s，输出发电机相对功角曲线和发电机频率曲线，并将频率曲线转换为发电机相对速度曲线。用多机Prony算法计算系统的主导振荡模式及ηjAmplitude和ηjPhase等参数，结果如表2和表3所示。

由于扰动施加于3号机，1、2号机之间的局部振荡模式未能激发。表2显示，以能量占比超过2%为阈值，20阶模型分解出3个主导振荡模式，其中5.7919±j4.7467模式能量占比较低，对应的ηjAmplitude和ηjPhase最大，显示该模式最不可信，其余2个模式偏差也较大，说明可信度也较低。40阶和80阶Prony算法能够较为准确地获取2个主导振荡模式，由于1、2号机对局部振荡模式参与度较低，1、2号机的ηjAmplitude相对较大。进一步计算综合评价指标，如表4所示，显示20阶的 Prony算法 ηAmplitudeΣ和ηPhaseΣ偏差均超过10%，综合可信度不高。40阶和80阶模型综合指标 ηAmplitudeΣ和 ηPhaseΣ较小，显示高阶 Prony算法提取的结果具有较高的可信度。由于扰动较小，提取的系统振荡模式接近于线性化模型特征根结论。

扰动持续时间为0.2 s时，除20阶模型的可信度较低外，表3显示，40阶和80阶模型结论的可信度也低于扰动持续时间0.01 s的结果。进一步将算法的阶数提高至90，出现一个能量占比超过3%的模式，其ηjAmplitude和ηjPhase明显偏大，其余模式ηjAmplitude和ηjPhase也部分出现增大趋势。计算综合评价指标，如表 5 所示，90 阶的 ηAmplitudeΣ和 ηPhaseΣ大于 80 阶模型，显示信号过度拟合，可见对于包含一定非线性的信号，过高的模型阶数并不利于提高结果的精度。大扰动下，由于受扰轨迹的非线性较强，Prony算法提取的信息和线性化模型的特征根存在较大差异，系统的振荡特性偏离特征根结论。

表2 扰动持续0.01 s时的主导振荡模式识别结果及评价指标值Table 2 Results of dominant oscillation mode identification and evaluation indexes when perturbation lasts for 0.01 s

表3 扰动持续0.2 s时的主导振荡模式识别结果及评价指标值Table 3 Results of dominant oscillation mode identification and evaluation indexes when perturbation lasts for 0.2 s

表4 扰动持续0.01 s时的综合评价指标值Table 4 Comprehensive evaluation indexes when perturbation lasts for 0.01 s

表5 扰动持续0.2 s时的综合评价指标值Table 5 Comprehensive evaluation indexes when perturbation lasts for 0.2 s

给受扰轨迹添加白噪声，信噪比取为10 dB，再提取系统的综合指标，如表6、表7所示。

对比添加噪声前后的结果发现，对持续时间0.01 s的小扰动，添加白噪声后，同阶的Prony算法计算精度下滑，但对于持续时间0.2 s的扰动，精度反而有所提高，这是因为非线性较强的信号添加一定强度的白噪声有助于信号的平滑处理，有利于主导振荡模式的获取，这在改进HHT方法里也得到证实[8]。

表6 加入白噪声后，扰动持续0.01 s时的综合指标值Table 6 Comprehensive evaluation indexes when perturbation lasts for 0.01 s with white noise

表7 加入白噪声后，扰动持续0.2 s时的综合指标值Table 7 Comprehensive evaluation indexes when perturbation lasts for 0.2 s with white noise

5 多类型曲线的低频振荡分析框架

算例显示综合指标具有较高的可信度，可以根据综合指标选取合适的模型阶数进行多机Prony算法分析。现有仿真软件和广域测量系统可以获取多种类型曲线，构建基于多类型曲线的工程实用算法架构，如图2所示。

图2 所提方法的实现流程Fig.2 Flowchart of proposed method

在对输入的多类型曲线进行振幅折算后，设置Prony算法的初始阶数、每次增加的阶数及最高阶数。设置Prony算法的综合指标定值，然后进行Prony分析，去除非振荡模式后，计算各振荡模式的能量百分比，识别主导振荡模式。计算各机组主导振荡模式的ηjAmplitude和ηjPhase，反映主导振荡模式的可信度。 在此基础上计算综合指标 ηAmplitudeΣ、ηPhaseΣ反映 Prony算法的可信度，若不满足精度要求，则增加Prony算法阶数继续运算，若Prony算法达到最大阶数仍不满足要求，则输出 ηAmplitudeΣ、ηPhaseΣ为最小值的计算结果。

6 结论

电力系统低频振荡信息存在于多种类型曲线中，传统通常选择某一类型曲线进行信息提取，忽略了不同类型曲线间的内在联系，对于分析结果的精确度难以评判。本文提出基于多种类型曲线提取振荡信息，利用不同类型曲线内在关系，建立振荡模式准确度的评价指标。为消除不同量纲信号间振幅差异过大问题，给出了不同类型信号的振幅折算方法。考虑到实际系统主要关注主导振荡模式，给出了主导振荡模式识别方法，并在此基础上建立了综合评价指标，反映Prony算法的可信度。算例表明，提出的指标体系具有工程应用价值，能反映提取信息的准确度，并可依据指标选择合适的Prony算法阶数。