供应链广告与定价联合决策模型研究

周名阳+林杰+袁玥赟

摘要：应用博弈论研究供应链中广告和定价的联合决策。研究了三种博弈模型：制造商领导的Stackelberg博弈模型、零售商领导的Stackelberg博弈模型以及合作博弈模型，得出了各种博弈模型下的均衡决策，并对三种博弈模型下的定价、广告和利润做了对比分析，得出结论：合作博弈模型中零售价格最低，广告投入最多，系统利润最大。研究了合作博弈的可行性，并运用效用理论对系统利润的增量进行了划分。

关键词：供应链；定价；广告；博弈论

中图分类号：F274；F224文献标识码：A文章编号：1001-8409（2014）07-0029-05

Research on Advertising and Pricing

Models in Manufacturerretailer Supply Chains

ZHOU Mingyang，LIN Jie，YUAN Yueyun

(School of Economics and Management，Tongji University，Shanghai 200092)

Abstract： This paperuses a game theoretical model to study not only advertising but also pricing strategy. Three different models are discussed which are Stackelberg manufacturer，Stackelberg retailer and cooperative game. It identifies optimal advertising and pricing strategies for both firms analytically. Comparisons are then made about various outcomes. In the cooperative game case，both the manufacturer and the retailer reach the lowest retail price，the highest advertising expenditure and the highest profit level. Finally，the feasibility of bargaining game is discussed and the increment profit is divided between the retailer and the manufacturer with utility theory.

Key words： supply chain; pricing; advertising; game theory

1引言

广告作为一种营销手段，可以建立和维持品牌形象，提高品牌的知名度和美誉度，让更多的消费者了解产品,从而促成消费者的品牌转换。据估计,1987 年美国企业在广告的投入为50亿美元，1990年支出约100亿美元，2000年的投资达到150亿美元，最近的投资高达500亿美元［1］。纵观近年来国内外在广告与定价问题的研究，大多数文献都建立了相关数学模型，运用博弈论方法分析问题。广告与定价模型可以分为两类:静态模型和动态模型。

在静态模型方面，张建强等研究了消费者反广告行为下的供应链合作广告模型［2］。Szmerekovsky等研究了有两个成员的供应链中定价和广告问题，需求函数取决于零售价格和广告，并通过求解制造商领导的Stackelberg博弈模型，获得制造商和零售商的最优决策［3］。Xie等使用同样的方法，比较了合作博弈与非合作博弈的最优决策，其中Xie和Neyret研究了三种非合作博弈和一种合作博弈［4］，Xie等研究了制造商领导的Stackelberg博弈和合作博弈［5］。Mir在Xie的基础上，研究了在更一般的需求函数形式下，三种非合作博弈和一种合作博弈情况下的供应链定价和合作广告协调问题［1］。Aust等扩展了已有的广告与定价模型，用博弈理论研究了供应链成员间四种不同的关系［6］。Wang等研究了两个零售商竞争环境下供应链的广告与定价策略［7］。张廷龙等研究了一个供应商和一个零售商构成的供应链，其需求同时受销售商的销售努力和零售定价影响［8］。

在动态模型方面，Jgensen等研究了动态条件下需求函数是产品价格和品牌信誉的乘积，并比较了供应链在协调与非协调情况下的策略和利润［9］。Karray等发现，当零售商推出私有品牌并且会影响制造商的品牌声誉时，合作广告对制造商来说是一个有效的对抗策略，在他们的模型中没有考虑制造商品牌广告努力，并且只有双方在广告上合作时，制造商才会分担零售商广告费用［10］。Jgensen等研究了需求受品牌形象影响的动态博弈模型，这些模型假设短期的零售商广告对品牌信誉没有影响，这些动态模型忽视了制造商对零售商广告费用的分担，并且定价与广告决策相互独立［11，12］。Zaccour比较了需求受价格和广告影响时的静态和动态模型［13］。He等研究了单一制造商和单一零售商的随机Stackelberg博弈，需求是零售价格和广告的函数［14］。

上述文献中无论是静态模型还是动态模型，大多都只考虑制造商领导下的博弈模型，然而现实中由于零售商的崛起，很多情况下由零售商作为供应链的领导者，如宝洁和沃尔玛等大型零售企业。本文深入分析了三种博弈模型，并对三种博弈模型下的定价、广告和利润做了对比分析，最后对合作的可行性和增量利润的划分做了分析。

2假设与基本模型

考虑一个由单一制造商和单一零售商组成的供应链。在供销关系中，制造商的决策变量是品牌广告努力水平A和产品批发价格w，零售商的决策变量是其广告努力水平a和零售价格p。

本文目的是考察广告对定价和利润的影响以及不同模型间的对比分析，为分析简便，假设制造商和零售商的成本为常数，进一步假设其成本为零，不会影响对问题实质的分析。需求函数取决于零售价格p和广告投入水平A和a，类似文献［1］，假设需求函数形式为：

Q(p,a,A)=g(p)·h(a,A) （1）

其中g(p)表示零售价格p对需求的影响，即价格需求函数；h(a,A)表示广告对需求的影响。类似文献［5］，进一步假设g(p)关于零售价p线性递减，其函数形式为：

g(p)=1－βp （2）

其中β为正的常数，为需求对价格的敏感参数。为了分析简便，假设市场规模为1即g(p)最大值是1。零售价必须满足约束0

h(a,A)=kra+kmA（3）

其中，kr>0表示零售商广告努力有效性，km>0表示制造商广告努力有效性。由式(1)至式(3)可得：

Q(p,a,A)=(1－βp)(kra+kmA)（4）

从而制造商的利润函数为：

M=w(1－βp)(kra+kmA)－A（5）

零售商的利润函数为：

R=(p－w)(1－βp)(kra+kmA)－a（6）

系统利润函数为：

T=p(1－βp)(kra+kmA)－a－A （7）

其中0

3决策模式研究

3.1制造商领导的Stackelberg博弈模型

在制造商领导的博弈模型中，制造商和零售商之间的关系是制造商作为领导者而零售商作为追随者的一个序贯非合作博弈模型。在Stackelberg主从博弈下，博弈顺序如下：作为领导者的制造商首先独立地确定批发价格w和品牌广告努力水平A，然后零售商确定其零售价格p以及广告努力水平a。

命题1：在制造商领导的博弈模型中，制造商的最优策略：

ASM=k2m［wSM(1-βwSM)］216 （8）

wSM=2/β4k2－4k+9－2k+5（9）

零售商的最优策略：

pSM=(1+βwSM)2β （10）

aSM=k2r(1-βwSM)464β2（11）

制造商的最大利润：

SMM=wSM(1-βwSM)216β［(k2m-k2r)βwSM+k2r］ （12）

零售商的最大利润：

SMR=(1-βwSM)364β2［(4k2m-k2r)βwSM+k2r］ （13）

系统的最大利润：

SMT=(1-βwSM)264β2［-3k2r(βwSM)2+k2r+(4k2m+2k2r)βwSM］ （14）

其中k=k2m/k2r称为广告比率，表示制造商品牌广告努力与零售商广告努力对需求推动的相对有效性，上标SM表示制造商领导的Stackelberg博弈下的均衡解。

证明：为了确定Stackelberg均衡解，根据逆向归纳法的思想，首先对于任意给定的制造商的决策w和A，确定零售商的最优决策p和a。零售商利润最大化问题表示为：

maxp,aR=(p－w)(1－βp)(kra+kmA)－a

s.t. 00 （15）

容易验证R是关于p和a的严格凹函数。由一阶最优条件R/a=0以及R/p=0可得零售商的最优决策：

pSM=(1+βw)2β （16）

aSM=k2r(1-βw)464β2 （17）

现在确定制造商的最优决策问题，制造商根据零售商的最优零售定价pSM和广告努力水平aSM，确定批发价格wSM和品牌广告努力水平ASM。制造商利润最大化问题表示为：

maxw.AM=w(1－βp)(kra+kmA)－A

s.t. 00（18）

将式（16）和式（17）代入式（18）可得：

maxw,AM=w1-(1+βw)2k2r(1-βw)28β+kmA-A

s.t. 00 （19）

由一阶最优条件M/A=0以及M/w=0，可得制造商的最优决策：

ASM=k2m［w(1-βw)］216（20）

wSM=2/β4k2－4k+9－2k+5（21）

将式（21）代入式（16）、式（17）和式（20），可得最优决策如式（8）、式（9）、式（10）和式（11）。将式（16）、式（17）、式（20）和式（21）分别代入式（5）、式（6）和式（7），可得制造商领导的Stackelberg博弈下制造商、零售商和系统最优利润如式（12）、式（13）和式（14）。证毕。

结论1：

（1）1/4β0， wSMkm>0， wSMkr<0。

（2）5/8β0， pSMkm>0 ，pSMkr<0。

（3）ASMwSM>0， ASMkm>0 ，ASMkr<0。

（4）aSMwSM<0， aSMkm<0 ，aSMkr>0。

证明略。

结论1中，（1）说明制造商的批发价格在(1/4β,1/2β)之间（1/β是批发和零售的最高价格,即批发价格在最高价格的1/4到1/2之间），制造商的批发价格随广告比率的增加而增加，随制造商广告努力有效性的增加而增加，随零售商广告努力有效性的增加而减少。

结论1中，（2）说明零售商的零售价格在(5/8β,3/4β)之间，零售价格随广告比率的增加而增加，随制造商广告努力有效性的增加而增加，随零售商广告努力有效性的增加而减少。即品牌广告更加有效推动产品需求时，制造商将会在品牌广告上做更多投资，从而导致制造商成本增加，必然导致批发价格上升，最后零售价格也必然上升；另一方面，当零售商的广告更加有效地推动产品需求时，制造商将会减少在品牌广告上的投资，从而制造商的成本减少，导致批发价格下降，最后导致零售价格下降。

结论1中，（3）说明制造商的品牌广告努力水平随制造商广告努力有效性的增加而增加，随零售商广告努力有效性增加而减少。即当品牌广告努力更有效地推动产品的需求时，制造商将会在品牌广告上做更多投资以推动产品销售；当零售商的广告对推动产品需求更加有效时，制造商将会减少品牌广告努力水平，因为零售商将会在广告上做更多投资以推动产品需求。

结论1中，（4）说明零售商的广告努力水平随制造商广告努力有效性的增加而减少，随零售商广告努力有效性增加而增加。即当零售商广告更有效地推动产品的需求时，零售商将会在广告上做更多投资以推动产品销售；当制造商的品牌广告对推动产品需求更加有效时，零售商将会减少广告努力水平，因为制造商将会在品牌广告上做更多投资以推动产品需求。

3.2零售商领导的Stackelberg博弈模型

在此种博弈模型下，作为领导者的零售商首先确定自己的零售价格p以及广告努力水平a，然后制造商确定批发价格w和品牌广告努力水平A，无论是制造商还是零售商都将最大化自身的利润。

命题2：在零售商领导的博弈模型中，制造商的最优策略：

wSR=1/4β （22）

ASR=k2m/256β2 （23）

零售商的最优策略：

pSR=1/2β （24）

aSR=k2r/256β2 （25）

制造商最大利润：

SRM=(2k2r+k2m)/256β2（26）

零售商最大利润：

SRR=(2k2m+k2r)/256β2（27）

系统最大利润：

SRT=3(k2m+k2r)/256β2（28）

上标SR表示零售商领导的Stackelberg博弈下的均衡解。

证明：为了确定Stackelberg均衡解，根据逆向归纳法的思想，首先对于任意给定的零售商的最优决策p和a，确定制造商的最优决策w和A。制造商利润最大化问题表示为：

maxw.AM=w(1－βp)(kra+kmA)－A

s.t. 00（29）

制造商利润M随w递增，当w取最大值1/β时制造商利润最大，然而此时由于w

wSR=p2（30）

ASR=k2m(p－βp2)216 （31）

现在确定零售商的最优决策问题，零售商利润最大化表示为：

maxp,aR=(p－w)(1－βp)(kra+kmA)－a

s.t. 00（32）

将式（30）和式（31）代入式（32）可得：

maxp,aR=12(p－βp2)(kra+k2m4(p－βp2))－a

s.t. 00

令y=12(p－βp2)，从而0≤y≤1/8β，当p=1/2β时y=1/8β。

零售商的最优决策重写为：

maxp,aR=ykra+k2m2y－a

s.t. 0≤y≤1/8β，a>0

显然R是y的增函数，当y=1/8β时，即p=1/2β，R取得最大值，所以pSR=1/2β。再由一阶最优条件R/a=0，可得零售商的最优决策：pSR=1/2β、aSR=k2r/256β2。将pSR和aSR代入式（30）和式（31），可得wSR=1/4β、ASR=k2m/256β2。将pSR、aSR、wSR和ASR分别代入式（5）、式（6）和式（7），可得零售商领导的Stackelberg博弈下制造商、零售商和系统最优利润如式（26）、式（27）和式（28）。

证毕。

3.3合作博弈模型

在合作博弈模型中，制造商和零售商之间是完全合作的，联合决策以使系统利润T最优。

命题3：在合作博弈模型中，制造商的最优策略：

ACo=k2m/64β2（33）

零售商的最优策略：

pCo=1/2β（34）

aCo=k2r/64β2（35）

系统最大利润：

CoT=(k2r+k2m)/64β2 （36）

上标Co表示在合作博弈模型下的均衡解。

证明略。

4比较分析

本部分对三种博弈模型下的制造商和零售商最优广告策略、最优定价策略和最优利润进行比较，所得结果在结论2中给出。

结论2：

（1）pSM>pSR=pCo，wSM>wSR。

（2）ACo>ASR>ASM，aCo>aSR>aSM（当k>12），aCo>aSM>aSR（当0

（3）SRM>SMM，SRR>SMR（当k>03），SRR<SMR（当0SRT>SMT。

证明：

（1）由pSM、pSR和pCo的表达式显然可得pSM>pSR=pCo。另外由结论1可知wSM>1/4β，从而可得wSM>wSR。

（2）由ACo和ASR的表达式显然可得ACo>ASR，又ASRASM=116［βwSM(1－βwSM)］2，由结论1知1/4<βwSM<1/2，从而可得ASRASM>1，所以ACo>ASR>ASM。

由式（11）和式（25）可得：

aSRaSM=141－βwSM4

当1－1/2<βwSM<1/2时，即k>1/2时，aSRaSM>1；当1/4<βwSM<1－1/2时，即0aSM且aCo>aSR。从而可得（2）。

（3）由结论1可知1/4<βwSM<1/2，从而SRM－SMM=［(2k2r+k2m)－(16βwSM(1－βwSM)3k2r+16(βwSM)2(1－βwSM)2k2m)］/256β2 =［((2－16βwSM(1－βwSM)3)k2r+(1－16(βwSM)2(1－βwSM)2)k2m)］/256β2>0，所以SRM>SMM。

SRR/SMR=(2k2m+k2r)/(16βwSM(1－βwSM)3k2m+4(1－βwSM)4k2r)

=(2k+1）/(16βwSM(1－βwSM)3k+4(1－βwSM)4)（37）

令SRR/SMR=1，可得：

k=4(1－βwSM)4－12－16βwSM(1－βwSM)3 （38）

结合式（9），可得k=03。

当k>03时，式（38）右边随k的增加而递减，从而k>4(1－βwSM)4－12－16βwSM(1－βwSM)3 ，即SRR>SMR。

当0

由SRT和CoT的表达式可知CoT>SRT。

SRT－SMT=［(3－16βwSM(1－βwSM)2)k2m+(3－4(1－βwSM)2(－3(βwSM)2+2βwSM+1))k2r］/256β2。

由结论1中1/4βSMT。

证毕。

结论2中（1）说明，在制造商领导的博弈模型中批发价格和零售价格大于零售商领导的博弈模型中的批发价格和零售价格。合作博弈模型中的零售价格等于零售商领导的博弈模型中的零售价格。

结论2中（2）说明，制造商在合作博弈模型中投入的广告最多，在制造商领导的博弈模型中投入的广告最少。零售商在合作博弈模型中投入的广告最多；当k>05时，零售商在零售商领导的博弈模型中的广告投入大于制造商领导的博弈模型中的广告投入，当0

结论2中（3）说明，制造商在零售商领导的博弈模型中的利润大于制造商领导的博弈模型中的利润；当k>03时，零售商在零售商领导的博弈模型中的利润大于制造商领导的博弈模型中的利润；当0

5利润分配

根据前面的分析，在三种博弈模型中，合作博弈具有最低的零售价格，最大的广告努力以及最大的系统利润。零售商和制造商在合作博弈模型中的利润要分别大于非合作博弈中的利润时，零售商和制造商才愿意合作，合作条件如式（39）和式（40）所示：

CoM≥maxSMM,SRM=MAXM=SRM（39）

CoR≥maxSMR,SRR=MAXR （40）

CoM和CoR分别表示合作博弈模型中制造商和零售商的利润。

式（39）和式（40）相加可得：

CoT=CoM+CoR≥MAXM+MAXR （41）

在合作博弈模型中系统利润的增量Δ=CoT－(MAXM+MAXR)，设制造商和零售商的增量分别为ΔM和ΔR,制造商和零售商采用指数函数为效用函数：uM(ΔM)=1－exp(－φMΔM)和uR(ΔR)=1－exp(－φRΔR)。其中uM(ΔM)和uR(ΔR)分别为制造商和零售商分得ΔM和ΔR增量利润的效用，φM和φR分别为制造商和零售商的风险规避度。渠道成员的目标是效用最大化，即制造商和零售商效用的加权平均，则渠道双方利润分配模型如式（42）所示：

maxΔM,ΔRu(ΔM,ΔR)=λMuM(ΔM)+λRuR(ΔR)=1－λMexp(－φMΔM)－λRexp(－φRΔR)（42）

s.t.λM+λR=1,ΔM+ΔR=Δ，权重λM和λR分别表示制造商和零售商的谈判能力。由式（42）可得最优利润分配为：

Δ*M=φRφM+φRΔ－1φM+φRlnφRλRφMλM=ηΔ－σ （43）

Δ*R=φMφM+φRΔ+1φM+φRlnφRλRφMλM=(1－η)Δ+σ （44）

其中η=φR(φM+φR)表示制造商分得增量利润比例，σ=［ln(φRλR/φMλM)］/(φM+φR)表示双方的利润补贴，σ>0表示制造商给零售商补贴，σ<0则反之。由式（43）和式（44）可得如下结论：①制造商和零售商分得的增量利润比例与双方的风险规避度相关，而与双方的谈判能力无关，风险规避度小的一方获得的利润比例大；②如果双方的风险规避度相等，双方的利润分配比例相等，利润增量取决于双方的谈判能力以获取对方补贴，谈判能力越强获取对方补贴越多。

6结束语

本文研究了需求受到定价与广告双重因素影响条件下最优定价与广告决策问题，分析了制造商领导的Stackelberg博弈模型、零售商领导的Stackelberg博弈模型以及合作博弈模型中的最优定价与广告策略，然后对三种博弈模型中的均衡策略和利润进行了对比说明。最后研究了合作博弈的可行性，并运用效用理论对系统利润的增量进行了划分。研究说明了批发价格、零售价格、制造商广告和零售商广告随各自广告努力有效性的变化情况。研究进一步说明合作博弈模型具有最低的零售价格，最大的广告努力以及最大的系统利润，而制造商领导的Stackelberg博弈模型和零售商领导的Stackelberg博弈模型中价格、广告和利润的比较要视不同的广告比率而定。需要指出的是，上述结论都是在静态博弈模型中得到的，动态博弈模型下均衡策略和利润又会怎样变化，考虑需求函数的改变对均衡策略的影响，以及将多个零售商或多个制造商之间的竞争引入广告定价模型中，将是下一步研究的主要内容。

参考文献：

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(责任编辑：张勇)

Δ*M=φRφM+φRΔ－1φM+φRlnφRλRφMλM=ηΔ－σ （43）

Δ*R=φMφM+φRΔ+1φM+φRlnφRλRφMλM=(1－η)Δ+σ （44）

其中η=φR(φM+φR)表示制造商分得增量利润比例，σ=［ln(φRλR/φMλM)］/(φM+φR)表示双方的利润补贴，σ>0表示制造商给零售商补贴，σ<0则反之。由式（43）和式（44）可得如下结论：①制造商和零售商分得的增量利润比例与双方的风险规避度相关，而与双方的谈判能力无关，风险规避度小的一方获得的利润比例大；②如果双方的风险规避度相等，双方的利润分配比例相等，利润增量取决于双方的谈判能力以获取对方补贴，谈判能力越强获取对方补贴越多。

6结束语

本文研究了需求受到定价与广告双重因素影响条件下最优定价与广告决策问题，分析了制造商领导的Stackelberg博弈模型、零售商领导的Stackelberg博弈模型以及合作博弈模型中的最优定价与广告策略，然后对三种博弈模型中的均衡策略和利润进行了对比说明。最后研究了合作博弈的可行性，并运用效用理论对系统利润的增量进行了划分。研究说明了批发价格、零售价格、制造商广告和零售商广告随各自广告努力有效性的变化情况。研究进一步说明合作博弈模型具有最低的零售价格，最大的广告努力以及最大的系统利润，而制造商领导的Stackelberg博弈模型和零售商领导的Stackelberg博弈模型中价格、广告和利润的比较要视不同的广告比率而定。需要指出的是，上述结论都是在静态博弈模型中得到的，动态博弈模型下均衡策略和利润又会怎样变化，考虑需求函数的改变对均衡策略的影响，以及将多个零售商或多个制造商之间的竞争引入广告定价模型中，将是下一步研究的主要内容。

参考文献：

［1］Mir M S，Maryam B，Mohsen G. A Game Theoretic Approach to Coordinate Pricing and Vertical Co-op Advertising in Manufacturer-retailer Supply Chains［J］. European Journal of Operational Research，2011，211(2): 263-273.

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［7］Wang S D，Zhou Y W，Min J，et al. Coordination of Cooperative Advertising Models in a One-manufacturer Two-retailer Supply Chain System［J］. Computers & Industrial Engineering，2011，61 (4) : 1053 - 1071.

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(责任编辑：张勇)

Δ*M=φRφM+φRΔ－1φM+φRlnφRλRφMλM=ηΔ－σ （43）

Δ*R=φMφM+φRΔ+1φM+φRlnφRλRφMλM=(1－η)Δ+σ （44）

其中η=φR(φM+φR)表示制造商分得增量利润比例，σ=［ln(φRλR/φMλM)］/(φM+φR)表示双方的利润补贴，σ>0表示制造商给零售商补贴，σ<0则反之。由式（43）和式（44）可得如下结论：①制造商和零售商分得的增量利润比例与双方的风险规避度相关，而与双方的谈判能力无关，风险规避度小的一方获得的利润比例大；②如果双方的风险规避度相等，双方的利润分配比例相等，利润增量取决于双方的谈判能力以获取对方补贴，谈判能力越强获取对方补贴越多。

6结束语

本文研究了需求受到定价与广告双重因素影响条件下最优定价与广告决策问题，分析了制造商领导的Stackelberg博弈模型、零售商领导的Stackelberg博弈模型以及合作博弈模型中的最优定价与广告策略，然后对三种博弈模型中的均衡策略和利润进行了对比说明。最后研究了合作博弈的可行性，并运用效用理论对系统利润的增量进行了划分。研究说明了批发价格、零售价格、制造商广告和零售商广告随各自广告努力有效性的变化情况。研究进一步说明合作博弈模型具有最低的零售价格，最大的广告努力以及最大的系统利润，而制造商领导的Stackelberg博弈模型和零售商领导的Stackelberg博弈模型中价格、广告和利润的比较要视不同的广告比率而定。需要指出的是，上述结论都是在静态博弈模型中得到的，动态博弈模型下均衡策略和利润又会怎样变化，考虑需求函数的改变对均衡策略的影响，以及将多个零售商或多个制造商之间的竞争引入广告定价模型中，将是下一步研究的主要内容。

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［14］ He X，Prasad A，Sethi S. Cooperative Advertising and Pricing in a Dynamic Stochastic Supply Chain:Feedback Stackelberg Strategies［J］. Production and Operations Management，2009，18(1): 78-94.

(责任编辑：张勇)