均值不等式在物理中的应用两例

李志边

不等式中有一个不仅常见而且非常重要的不等式：均值不等式.具体公式：a，b∈R+，a+b≥2ab，（当且仅当a=b时取等号）.这个公式不仅在数学中非常重要，在物理中的应用也非常广泛.举两个例子说明.

因此，两人的看法均不正确.当绳长越接近1.5 m时，落点距岸边越远.

例2（2010年重庆理综）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如题2图所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为34d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力.（1）求绳断时球的速度大小v1，和球落地时的速度大小v2.（2）问绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动.若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

解析（1）设绳段后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向14d=12gt2，水平方向d=v1t得v1=2gd，由机械能守恒定律有12mv22=12mv21+mg（d-34d），得v2=52gd.（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小.

球做圆周运动的半径为R=34d，由圆周运动向心力公式

（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大推力不变，有T-mg=mv23l，得v3=83gl绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t1，有d-l=12gt21，x=v3t1，得x=4l（d-l）3≤413（l+（d-l）2）2=233d，当且仅当l=d-l，即l=d2时，x有极大值，xmax=233d.

审题的关键是对不同的过程进行准确分析，找到相应的知识，对症下药，巧妙地选取运动过程，使问题得到简化，灵活地运用数学知识，特别是简单常用的数学模型，是解决极值问题和范围等问题的有效工具.endprint

不等式中有一个不仅常见而且非常重要的不等式：均值不等式.具体公式：a，b∈R+，a+b≥2ab，（当且仅当a=b时取等号）.这个公式不仅在数学中非常重要，在物理中的应用也非常广泛.举两个例子说明.

因此，两人的看法均不正确.当绳长越接近1.5 m时，落点距岸边越远.

例2（2010年重庆理综）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如题2图所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为34d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力.（1）求绳断时球的速度大小v1，和球落地时的速度大小v2.（2）问绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动.若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

解析（1）设绳段后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向14d=12gt2，水平方向d=v1t得v1=2gd，由机械能守恒定律有12mv22=12mv21+mg（d-34d），得v2=52gd.（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小.

球做圆周运动的半径为R=34d，由圆周运动向心力公式

（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大推力不变，有T-mg=mv23l，得v3=83gl绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t1，有d-l=12gt21，x=v3t1，得x=4l（d-l）3≤413（l+（d-l）2）2=233d，当且仅当l=d-l，即l=d2时，x有极大值，xmax=233d.

审题的关键是对不同的过程进行准确分析，找到相应的知识，对症下药，巧妙地选取运动过程，使问题得到简化，灵活地运用数学知识，特别是简单常用的数学模型，是解决极值问题和范围等问题的有效工具.endprint

不等式中有一个不仅常见而且非常重要的不等式：均值不等式.具体公式：a，b∈R+，a+b≥2ab，（当且仅当a=b时取等号）.这个公式不仅在数学中非常重要，在物理中的应用也非常广泛.举两个例子说明.

因此，两人的看法均不正确.当绳长越接近1.5 m时，落点距岸边越远.

例2（2010年重庆理综）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如题2图所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为34d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力.（1）求绳断时球的速度大小v1，和球落地时的速度大小v2.（2）问绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动.若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

解析（1）设绳段后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向14d=12gt2，水平方向d=v1t得v1=2gd，由机械能守恒定律有12mv22=12mv21+mg（d-34d），得v2=52gd.（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小.

球做圆周运动的半径为R=34d，由圆周运动向心力公式

（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大推力不变，有T-mg=mv23l，得v3=83gl绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t1，有d-l=12gt21，x=v3t1，得x=4l（d-l）3≤413（l+（d-l）2）2=233d，当且仅当l=d-l，即l=d2时，x有极大值，xmax=233d.

审题的关键是对不同的过程进行准确分析，找到相应的知识，对症下药，巧妙地选取运动过程，使问题得到简化，灵活地运用数学知识，特别是简单常用的数学模型，是解决极值问题和范围等问题的有效工具.endprint