深挖课本例题内涵有效提高教学效率

易敏

笔者在多年的教学实践和研究中发现，许多高考试题都反映了相关数学知识的本质，蕴含了数学的重要思想方法和一般的解题规律.对于这类问题，可通过课本例题的挖掘，从简单开始，从特殊入手，由浅入深，循序渐进，采用合理猜想、推理等方法探究新问题并加以解决.本文以《普通高中课程标准实验教科书·数学》（必修2）第122页的例5来进行探究.

【案例】已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

解答本题并不难，教师通过引导启发学生分析题目的已知和所求，较容易找到解题方法.但是，当解完此题后感到意犹未尽，于是作如下变式.

变式1已知线段AB的端点B的坐标是（0，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

变式2已知线段AB的端点B的坐标是（1，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

[反思]可以观察出不论B点在圆外、圆内、圆上，线段AB的中点M的轨迹方程还是圆.这一问题是否可以引申推广？能否找到一般化的解决方法呢？

引申1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

此问题可归结为：已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆x2+y2=r2上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.不难得出M的轨迹方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

于是可以得出：

结论1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆x2+y2=r2上运动，线段AB的中点M的轨迹方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

有了以上的思路，于是又可得如下变式：

变式3已知定点B（3，0），点A在圆x2+y2=1上

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每

一条对角线平分一组对角；

（3）菱形的面积等于对角线相乘再除于2；

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形.endprint

笔者在多年的教学实践和研究中发现，许多高考试题都反映了相关数学知识的本质，蕴含了数学的重要思想方法和一般的解题规律.对于这类问题，可通过课本例题的挖掘，从简单开始，从特殊入手，由浅入深，循序渐进，采用合理猜想、推理等方法探究新问题并加以解决.本文以《普通高中课程标准实验教科书·数学》（必修2）第122页的例5来进行探究.

【案例】已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

解答本题并不难，教师通过引导启发学生分析题目的已知和所求，较容易找到解题方法.但是，当解完此题后感到意犹未尽，于是作如下变式.

变式1已知线段AB的端点B的坐标是（0，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

变式2已知线段AB的端点B的坐标是（1，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

[反思]可以观察出不论B点在圆外、圆内、圆上，线段AB的中点M的轨迹方程还是圆.这一问题是否可以引申推广？能否找到一般化的解决方法呢？

引申1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

此问题可归结为：已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆x2+y2=r2上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.不难得出M的轨迹方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

于是可以得出：

结论1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆x2+y2=r2上运动，线段AB的中点M的轨迹方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

有了以上的思路，于是又可得如下变式：

变式3已知定点B（3，0），点A在圆x2+y2=1上

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每

一条对角线平分一组对角；

（3）菱形的面积等于对角线相乘再除于2；

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形.endprint

笔者在多年的教学实践和研究中发现，许多高考试题都反映了相关数学知识的本质，蕴含了数学的重要思想方法和一般的解题规律.对于这类问题，可通过课本例题的挖掘，从简单开始，从特殊入手，由浅入深，循序渐进，采用合理猜想、推理等方法探究新问题并加以解决.本文以《普通高中课程标准实验教科书·数学》（必修2）第122页的例5来进行探究.

【案例】已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

解答本题并不难，教师通过引导启发学生分析题目的已知和所求，较容易找到解题方法.但是，当解完此题后感到意犹未尽，于是作如下变式.

变式1已知线段AB的端点B的坐标是（0，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

变式2已知线段AB的端点B的坐标是（1，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

[反思]可以观察出不论B点在圆外、圆内、圆上，线段AB的中点M的轨迹方程还是圆.这一问题是否可以引申推广？能否找到一般化的解决方法呢？

引申1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

此问题可归结为：已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆x2+y2=r2上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.不难得出M的轨迹方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

于是可以得出：

结论1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆x2+y2=r2上运动，线段AB的中点M的轨迹方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

有了以上的思路，于是又可得如下变式：

变式3已知定点B（3，0），点A在圆x2+y2=1上

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每

一条对角线平分一组对角；

（3）菱形的面积等于对角线相乘再除于2；

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形.endprint