关于“一致有界的一族无穷小的积是无穷小”定理

姚 琼， 杨汉生

(电子科技大学中山学院计算机学院，广东中山528400)

1 引 言

国内外的微积分、高等数学和数学专业数学分析教材，在有关“无穷小的积的运算法则”的论述时[1-3]，有的教材明确指出“有限个无穷小的积是无穷小”，有的教材则含糊地指出“无穷小的积是无穷小”.执教者经常面临历届学生中“无穷个无穷小的积是否是无穷小”的疑问；执教者课后之间对此问题有时也众说纷纭、莫衷一是[4-7].微积分学的基础是极限理论，极限理论的最终本质离不开无穷小.现代非标准分析事实上激活了微积分学发展历史中极为关键的“无穷小分析”，因此，本文关于“一致有界的一族无穷小的积是无穷小”的命题，关于特定的“一族一致有界无穷小”的概念，或许能对深入研讨“无穷小分析理论”起到一点抛砖引玉的作用.

2 定义与定理证明

定义1设αλ(x),λ∈Γ(注：在实分析中，Γ表示有限、可数无穷或不可数无穷指标集)是一族当x→x0时的无穷小，如果存在正数M∈(0,1)和δ>0，使得对于满足不等式0

定理1设αk(x)(1≤k≤n)是有限个当x→x0时的无穷小，则这有限个无穷小αk(x) (1≤k≤n)在点x0附近必然是一致有界的.

定理2设{αλ(x),λ∈Γ}是一族当x→x0时的无穷小并且在点x0附近一致有界，那么，这一族无穷小的乘积αλ(x)仍然是无穷小.

根据定理1，有限个(当x→x0时的)无穷小在点x0附近必然是是一致有界的.由定理2，自然会得到以下结论.

定义4设αλ(x),λ∈Γ是一族当x→∞时的无穷小.如果存在正数M∈(0,1)和X>0，使得对于满足不等式|x|>X的一切x和一切λ∈Γ，都有αλ(x)≤M,则称这一族(当x→∞时的)无穷小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

定义5设αλ(x),λ∈Γ是一族当x→-∞时的无穷小.如果存在正数M∈(0,1)和X>0，使得对于满足不等式x<-X的一切x和一切λ∈Γ，都有αλ(x)≤M,则称这一族(当x→-∞时的)无穷小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

定义6设αλ(x),λ∈Γ是一族当x→+∞时的无穷小.如果存在正数M∈(0,1)和X>0，使得对于满足不等式x>X的一切x和一切λ∈Γ，都有αλ(x)≤M,则称这一族(当x→+∞时的)无穷小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

3 结 论

综上所述，我们就可以得到以下整体性的结论.

定理5有限个(当x→□时的)无穷小是一致有界的.

由于现有绝大多数微积分和数学分析教材中没有涉及无穷个无穷小的积是无穷小的定理或命题，解决此类问题迄今为止还没有理论依据.现在，本文给出的定理2就可以顺利搞定这类问题.

[参 考 文 献]

[1] (美)芬尼，韦尔，吉尔当诺. 托马斯微积分[M]. 10版. 北京：高等教育出版社，2004.

[2] 邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程[M].2版. 北京：高等教育出版社，2006.

[3] 同济大学数学系.高等数学(同济第六版)[M].6版. 北京：高等教育出版社，2007.

[4] 李猛,胡时财. 无穷个无穷小之积是无穷小吗——兼谈一种特殊无限个无穷小的积[J]. 科技创新导报,2008(1):123-124.

[5] 张峰. 再谈“无穷多个无穷小之积”[J]. 数学学习,1994(3):6-7.

[6] 黄红芳,温新苗. 关于无穷小性质的研究[J]. 河北北方学院学报(自然科学版).2009,25(1):16-19.

[7] 范允征,倪建平,蔡蕃.一种特殊无限个无穷小的积[J].西北纺织工学院学报,1997,11(4):387-390.