组合核函数多支持向量机的直线电机建模

赵吉文， 汪娅骅， 陈盼盼， 黄健， 刘凯， 谢芳， 张梅

(安徽大学电气工程与自动化学院，安徽合肥 230093)

0 引言

永磁直线同步电动机在数控机床进给系统中应用广泛［1］，其推力波动直接影响系统的性能指标和机床的加工精确度，为了减少电机谐波对推力波动的影响，可以通过优化电机内部结构改善电机性能，降低谐波含有量。

直线电机结构优化问题是复杂的非线性问题，优化过程中迭代计算的计算量较大，因此需建立一个快速计算模型，为优化过程实时地提供输出量数据［2－3］。文献［4－6］采用解析法建立电机模型，该模型可以对电机参数做出假设，在定性分析方面有较好的优势，但定量计算精确度不高。文献［7－10］对永磁电机采用有限元法建模，计算精确度较好，但计算效率不高。文献［11－14］将支持向量机应用到电机建模中，单支持向量机具有适应性强、推广能力好等优点，但不能实现多目标优化。多支持向量机具有多输入多输出的性能，可以为直线电机结构优化设计提供较好的模型支持。

本文以U型直线电机为研究对象，有限元模型为计算手段，引入多支持向量机理论，建立电机快速计算模型［15］。在分析各个核函数优缺点的基础上，综合应用高阶多项式核函数的插值能力和低阶多项式核函数的外推能力，建立一种新的组合核函数，提高回归机的泛化能力和学习能力。模型采用交叉验证法选取支持向量机的惩罚参数C，该方法可以有效避免向量机过学习和欠学习状态的发生，提高多支持向量机模型的计算精确度［16］。

1 多输出支持向量机

1.1 单输出支持向量机

支持向量机回归问题的实质是寻找一个实值函数f(x)，以求解任一输入x所对应的输出值y。支持向量机将输入向量映射到高维特征空间，在高维特征空间中构造线性回归函数，使模型的结构风险最小化［17］。

算法如下:

(1)给定T={(x1，y1)，…，(xl，yl)}∈(Rn×y)l，其中xi∈Rn，yi∈Y=R，i=1，…，l;

(2)选取适当的核函数K(x，z)以及适当的精度和惩罚参数C＞0

(3)构造并求解凸二次规划问题

(5)构造决策函数

1.2 多输出支持向量机

多输出支持向量机回归算法是在函数输出量y为多维向量的情况下提出的一种SVR算法，其模型的建立是在单支持向量机的基础上完成，基本思路是:先将一个原始样本空间拆分成若干个子空间，然后分别在子样本空间上建立单SVM模型，通过对单支持向量机模型进行数据融合，建立多输出支持向量回归机。

对于M维输入，N维输出的函数拟合问题，设训练样本集:{(xi，yi)}，i=1，2，…，L，其中，xi∈RM，yj∈RN。构造回归函数如下:

将已知样本数据拆分成m个子样本数据，每个子样本数据均对应一个输出量，建立各输出量的单支持向量机模型，得到如式(3)所示的m个函数表达式f(x)。将单SVM函数表达式代入式(4)中，计算W和B，得到多支持向量机函数表达式F(x)。根据结构风险最小化原则，对W和B进行寻优，将回归问题转换为约束优化问题，即

式中:hi=//ei//，ei=yi－(W，Φ(xi))+B。采用迭代方法求解最小值，并返回到式(4)中，得到最优的多输出回归函数。

2 组合核函数

2.1 核的性质

SVM通过引入核函数将输入空间的非线性问题转化为线性问题，选择合适的核函数，可以将特征空间的内积运算(Φ(x)·Φ(y))映射到输入空间中，转换成向量x，y的内积进行运算。核函数的运算都是封闭的，包括

常用核函数有多项式核函数和径向基核函数。

2.2 组合核函数的构造

支持向量机模型的性能是由学习能力和推广能力(对未知样本的预测能力)两方面决定的，核函数直接影响模型的学习能力。由插值理论可知，当利用插值多项式近似连续函数时，低阶多项式具有良好的外推能力，高阶多项式具有良好的插值能力。因此，为建立一个性能较好的支持向量机模型，使其学习能力和推广能力均能满足实际需求，充分利用这两类多项式函数的优点，将两种函数进行组合，得到一个既具有较好学习能力，又具有较好推广能力的核函数。

使用一种已经较为成熟的组合核函数［18］K(x，z)=ρ1(x，z)d－ ρ2//x－y//q+1，其中:d∈N;0＜q≤2;ρ1，ρ2是两种核函数各占的比例，一般 ρ1+ρ2=1。

该组合核函数是在不违背核函数基本运算原理的基础上，将高阶多项式核函数和低阶多项式核函数进行权重组合，其本质仍是一个多项式核函数。经实验，综合考虑核函数的局部性和全局性，选用d=2，q=1。

3 电机非参数模型的建立

3.1 建模数据的获取

图1所示电机为短初级长次级的双边型直线电机，采用空心式线圈结构，电机线性度较高，定子材料为永磁体，磁钢材料为N48H。

影响电机性能的主要结构参数包括永磁体尺寸、线圈尺寸和气隙尺寸，其中，永磁体尺寸影响电机的转速和功率质量比，线圈尺寸反映电流承载能力和电机实际体积，气隙尺寸直接影响电机推力波动。

建立U型直线电机的有限元模型，并验证该有限元模型。利用该有限元模型计算实验所需的测试数据，步骤如下:首先选取电机结构参数的因素水平值，如表1所示，这些值通过正交实验法，可获得16个具有代表性的实验数据组合;然后采用随机实验法，获得大批量的实验数据组合，利用有限元模型对各个实验数据组合进行仿真计算和提取，最终得出200组可用于测试的样本数据。

表1 结构因素水平表Table 1 Factor level of structure parameters

表2为样本数据，包括电机的结构参数和输出参数。结构参数(单位为:mm)包括永磁体长度L、永磁体高度H、气隙G、线圈长度l、线圈高度h、永磁体间距P、线圈间距p、输出参数包括平均推力T/N、电流I/A、效率η/%、空载反电动势谐波畸变率S/%。

表2 样本数据Table 2 Sample of the motor

3.2 样本数据预处理

由于样本数据中的7个结构参数和4个输出量的数量级有所差异，为避免交叉验证法处理数据时造成信息淹没，对数据进行归一化预处理。采用的归一化映射为为

将表2中的数据归一化到区间［0，1］。归一化的过程在此不做赘述。

3.3 惩罚参数C的选择

训练样本集内远离同类样本的异常样本产生很大的Lagrange乘子，影响最优回归函数。惩罚参数C作为所有支持向量的上界，限制了Lagrange乘子的大小，控制分类超平面的复杂性和不可分离点数之间的平衡。因此，在运算过程中，需要根据实际情况选择支持向量的上界C，减少不必要支持向量的数目，抑制大Lagrange乘子，降低异常样本对回归机的影响。

本文采用交叉验证法选择惩罚参数，将原始数据分成4组，每个子集数据分别充当一次验证集，同时其余3组子集数据做为训练集，得到4个模型，将这4个模型验证准确率的平均数做为整个样本集的性能指标。

3.4 核函数的构造

在满足ρ1+ρ2=1的条件下，进行组合核函数系数计算，ρ1，ρ2的取值区间为［0.1，0.9］。第一步，取步长为0.1，ρ1，依次增大，得到9组核函数，分别使用9组核函数建立某一输出量的单支持向量机模型，用样本数据对9个模型进行精确度检验，选择使模型预测准确度较高的4组核函数;第二步，用上述4组核函数建立其他输出量的单支持向量机模型，检测各个模型的预测准确性，选择使模型精确度较好的2组核函数;第三步，将上述2个核函数系数ρ1，值做为取值区间，取步长为0.01，ρ1，依次增大，重复步骤一和步骤二，最终选择一组核函数，使各输出量的单支持向量机模型均有较好的预测能力。

3.5 单输出SVM模型

选取100组数据为训练样本，100组数据为测试样本，分别建立输出量与结构参数之间的单SVM模型。为保证模型的精确度，利用交叉验证法选取惩罚参数C，并求解各个模型的核函数系数ρ1，ρ2，四个SVM模型的相关参数如表2所示。

表2 单SVM模型参数Table 2 Parameters of the SVM model

3.6 多支持向量机模型

根据结构风险最小化原则，将建立的单支持向量机模型进行融合计算，分别计算各个模型的W和B，代入公式7，得到多支持向量机函数F(x)。

表3 SVM模型参数Table 3 parameters of SVM models

4 实验分析及模型检验

为了检验电机多支持向量机模型对电机平均推力值、电流值、电机效率和空载反电动势谐波畸变率的预测效果，对模型的准确性和拟合精度进行评估。

4.1 模型检验

归一化处理100组测试数据，将电机结构参数值输入多支持向量机模型，对输出量进行预测，判断模型预测值的准确性。从表4可以看出，模型对未知数据的预测准确性约为93%，误差率在1%以内。

图2 模型预测结果Fig.2 Predicting outcomes

表4 多支持向量机模型Table 4 models of mutli－SVMs

4.2 结果分析

将多支持向量机输出的4组输出量预测值与实际值进行对比，从图2可以看出，本文建立的模型计算精确度较高，电机输出量的预测值和实际值基本一致，误差范围为4%左右，模型的计算效率亦可满足现实需求。

5 结论

本文采用多支持向量机对直线电机的结构参数进行建模，通过改进核函数提高模型的准确度和拟合精度。实验结果表明，组合核函数的外推能力和插值能力可以有效的加强支持向量机的学习能力，对不同结构参数下的输出量有很好的预测能力。

利用多支持向量机建立的直线电机模型可以运用于电机内部结构优化，针对电机各个输出量的实际环境要求，综合考虑结构参数的设置，为最大限度的抑制谐波产生的推力波动提供了一种有效的模型。

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