反思，让学生的思维得到升华

高自行

安徽新课程标准实施已六年了，总体分析近几年的高考试卷和2014年安徽省考试说明（数学），我们可以看出，其对应试者的分析问题和解决问题的能力要求逐年提高.在平时的数学教学中，通过大量较少思考量的问题的重复训练，只能提高熟练程度，而不能提高思维能力，这种题海战术对能力的提高和发展帮助不大.那么如何才能不断提高能力呢？答案就是进行解题后的反思.解题反思是一种对解题活动的“元认知”，是对解题活动的深层次再思考.它不仅是对数学解题学习的一般性回顾或重复，更是探究数学解题活动中涉及的知识、方法、思路、策略等，具有批判性、自主性.解题反思不仅有助于加深对知识的理解，提高知识理解的层次，而且能帮助学生提高思维的变通性，提升学生做题的境界.下面谈谈解题后反思的几个切入点，仅供参考.

一、反思解题过程的完整性

数学解题，其实质就是运用学过的数学知识，借助一定的解题方法解决数学问题.解完一道题后，应作进一步思考：题目中所有的已知条件（包括隐含条件）都注意了吗？题目所要求的问题都解决了吗？解题中所用的公式是否是课本中已证过的结论？还有没有需要补充和删除的部分，等等.

例1：口袋中有2个红球，3个白球和5个黑球，从中有放回地取20次，每次取出1个球后记下颜色，统计结果如下表：

则取到红球的频率是（ ）

A.0.2 B.0.25 C.0.3 D.0.5

错解：A剖析：产生错解的原因是将统计数据的频率与事件发生的概率两个概念混同，以为共10个球，红球有2个，则所求为0.2.实际上这是一个理想化的数据，是概率值，而不是统计数据涉及的频率.概率是频率的稳定值，可以从频率方面体现出来，但频率是统计结果，具有个性化特征，而概率具有概括性和稳定性，具有理想化特征.

正解：所求频率为■=0.25，故选B.

通过对典型错题的反思，不但能达到正本清源的效果，而且能启发学生准确理解相关概念的内涵，养成验证答案是否合理有效的习惯.

二、反思解题思路的严谨性

在解题的过程中，学生会受到题目中一些信息的主导和干扰，不能全面周密地考虑问题，使求解过程偏离方向，造成误解.反思解题思路，能及时修正错误.

例2：是否存在实数a，使函数y=sin2x+acos x+■a-■在闭区间[0，■]上的最大值为1？若存在，求出对应的a值；若不存在，请说明理由.

错解：假设存在实数a，

则y=sin■x+acosx+■a-■

=-cos■x+a cosx+■a-■

=-（cosx-■）■+■+■a-■

令t=cosx，则y=-（t-■）■+■+■a-■

当t=■时，y■=■+■a-■=1

解得a=-4或a=■，故存在a=-4或a=■符合题意.

正解：假设存在实数a，

则y=sin■x+acosx+■a-■

=-cos■x+acosx+■a-■

=-（cosx-■）■+■+■a-■

当0≤x≤■时，0≤cosx≤1，

令t=cosx，则0≤t≤1，

y=-（t-■a）■+■+■a-■，0≤t≤1.

（1）当0≤■≤1，即0≤a≤2时，

则当t=■，即cosx=■时，y■=■+■a-■=1，

解得a=■或a=-4（舍去），故a=■

（2）当■<0，即a<0时，则当t=0，即cosx=0时，y■=■a-■=1，

解得a=■，由于a<0，

因此这种情况下不存在满足条件的a值.

（3）当■>1，即a>2时，则当t=1，即cosx=1时，y■=■a-■=1，

解得a=■，由于■<2，

因此这种情况下不存在满足条件的a值.

综上可知，存在a=■符合题意.

反思：审题不仔细，导致换元时忽视了新元的取值范围限制，根据余弦函数的性质，新元t的取值范围应该是[0，1]，而不是R或[-1，1].

通过反思错解原因，学生认识到仔细审题和深挖题目的隐含条件的重要性.

三、反思解题方法的灵活性

解数学题是离不开解题方法的，而解题方法的选择又是以数学思想方法为基础的.数学思想方法是数学的灵魂，是对数学的本质认识.解题方法的选择与运用，往往对解题过程的繁简起着决定性作用.一道题目解完后，引导学生反思所应用的解题方法，探索新的解题思路，对提高学生数学思维的“变通”能力颇有益处.这也是课程改革的基本要求.

例3：已知函数g（x）=x+■（x>0）.若g（x）=m有零点，求m的取值范围.

解：方法一：因为g（x）=x+■≥2■=2e，

等号成立的条件是x=e.

故g（x）的值域是[2e，+∞），因而只需m≥2e，则 g（x）=m就有零点.

反思：本题解法思路明确，即利用基本不等式求得g（x）的值域，从而得到使g（x）=m有零点的m的取值范围.

方法二：解方程由g（x）=m，得x■-mx+e■=0.此方程有大于零的根，

等价于m>0m≥2e或m≤-2e故■>0△=m■-4e■≥0，

故m≥2e.

反思：本题解法思路清晰，即利用方程思想求得m的取值范围，但列式复杂，解题困难.

方法三：作出g（x）=x+■ 的图像，如图：

可知若使g（x）=m有零点，则只需m≥2e.

反思：本题解法利用数形结合思想，可很形象、直观地求出m的范围，与方法一、方法二比较，显然轻松简洁得多.

经常进行这样的反思练习，对提高学生的思维变通能力是很有好处的.

四、数学思想、反思生辉

日本数学家、教育家米三藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘记了，唯有深深铭记头脑中的数学精神、数学的思想、研究方法和着眼点等，这些都是随时随地发生作用，使他们终身受益.”在每一次解题后，让学生对解题过程中反映的数学思想、方法进行总结、概括，从而建立起良好的数学认知结构.

如案例3中让学生反思得出：

（1）求参数范围的方法：基本不等式、数形结合、构造函数法等.

（2）蕴含的数学思想方法：化归思想、数形结合思想、函数与方程思想.

总之，在平时的解题过程中，养成题后反思的习惯，引导学生在反思上下工夫，反思问题的内在联系和规律，在反思中获得方法，在反思中促进思维的发展，既利于加强“双基”的掌握，又有利于加强知识的有效迁移，是提高解题能力的重要途径.

参考文献：

[1]2014年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷考试说明——数学（理科）.

[2]杨俊林.解题反思：培养创造性思维的有效途径[J].高等函授学报，2009（5）.

[3]王能群.解题错误是一种教学资源[J].教育实践与研究（中学版），2009（12）.