基于MATLAB 优化工具箱的机床主轴优化设计

吕绪忠， 何 宁

(陕西理工学院机械工程学院，陕西汉中 723000)

基于MATLAB 优化工具箱的机床主轴优化设计

吕绪忠， 何 宁

(陕西理工学院机械工程学院，陕西汉中 723000)

基于现代机械优化设计理论，建立了以数控机床主轴的体积最小为目标函数的优化数学模型。运用MATLAB优化工具箱对机床主轴进行优化设计，使主轴的设计在保证其强度、刚度的前提下达到体积最小的优化要求。缩短了机床主轴的设计周期，提高了设计效率，从而降低了主轴生产成本。通过对优化结果的研究和分析，表明该设计方法简单、实用、效率高，机床主轴参数优化的结果合理、可靠。

MATLAB; 机床主轴; 优化设计

0引言

主轴是机床的关键执行部件，起到传递运动和扭矩、承受切削抗力的作用，并对工件表面的加工质量、机床的加工精度和生产效率有很大影响。因此，要求主轴具有良好的回转精度，较高的结构强度、刚度、抗振性。MATLAB优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案，其函数表达简洁、优化结果准确、可靠。因此，MATLAB优化工具箱已被广泛应用于各种结构优化设计当中。

本文运用MATLAB工具箱对主轴的参数进行优化设计，既克服了以往设计方法中的盲目性，又提高主轴的设计效率和质量。

1 建立数控机床主轴优化数学模型

本文以数控车床主轴为例，对机床主轴进行优化，为了便于对阶梯轴进行结构分析，常常将空心阶梯主轴简化为用当量直径表示的等截面轴(如图1所示)。机床主轴的输入功率P=120 kW，主轴的转速n=1 000 r/min，主轴内径d=30 mm，主轴的悬臂端受到的切削力F=15 000 N，许用挠度［y0］ =0.04 mm，许用单位扭转角［Φ］ =0.000 25(°)/mm，主轴的许用应力［σ］ =37.5 MPa。要求主轴外径为60 mm≤D≤140 mm，两支承跨度为300 mm≤L≤650 mm，悬臂段长度为90 mm≤a≤150 mm。从机床主轴制造成本较低、工作能力较强及加工精度较高的要求出发，需要考虑主轴的体积、强度、刚度这样3个重要因素，对于一般的机床来说，并不追求过高的加工精度，因此，应该以主轴的体积最小为设计目标，将主轴的强度、刚度等作为约束条件。

1.1 确定设计变量和目标函数

与主轴体积有关的设计变量包括主轴的内径d、外径D、两支撑跨度L及外伸段长度a，如图1所示。

图1 机床主轴力学模型

由于机床主轴的内径主要取决于待加工棒料的直径，故不作为设计变量处理。因此，设计变量为:

机床主轴体积最小优化设计的目标函数为

1.2 约束条件

1.2.1 主轴强度约束条件

在切削加工中，主轴的最大工作应力不得超过许用应力［σ］，则有:

式中T为机床主轴所受最大扭矩，M为机床主轴所受最大弯矩，W为抗弯截面模量。

整理得到主轴强度的约束条件:

1.2.2 主轴弯曲刚度约束条件

工件的加工质量在很大程度上取决于机床主轴的刚度。因此，要求主轴悬臂端挠度不得超过许用挠度［y0］。由材料力学可知，主轴悬臂端挠度绝对值最大:

1.2.3 主轴扭转刚度约束条件

机床在正常工作时，除要求主轴有足够的强度和弯曲刚度外，还要求主轴不能产生过大的扭转变形，即要求主轴具有一定的扭转刚度。如果主轴的扭转刚度不足，将会降低机床的加工精度或产生剧烈的振动，影响机床的正常工作。因此，要求主轴最大单位扭转角不得超过许用的单位扭转角［Φ］。即:

式中:G为主轴材料的剪切弹性模量，G=8.0×104MPa;Ipmin为主轴的最小极惯性矩。整理得到主轴扭转刚度的约束条件:

1.2.4 结构条件(边界条件)

边界约束条件为设计变量的取值范围，即

由此确定的边界约束为:

1.3 优化数学模型

将所有函数表达式整理得到:

2 优化数学模型的分析与求解

根据建立的机床主轴优化模型，利用MATLAB优化工具箱对主轴结构进行优化设计，fmincon是MATLAB中求解多维非线性约束问题的函数，其数学模型为:

函数fmincon的调用格式为:

其中，x_opt和f_opt分别是返回目标函数的最优解及在最优解x点处的函数值;

jcz_f是调用目标函数的函数文件名;

M文件的运行结果如下:

3 优化结果分析

使用MATLAB工具箱中的约束非线性优化函数fmincon求解，取可行域内的初始点向量x(0)=(500，100，120)T，采用内点算法，经过16次迭代计算收敛，在可行域内得到目标函数的极小值点和机床主轴体积最优值得到的极小值点能够满足各约束条件，所以、和是可行域内使机床主轴体积最小的最佳参数值。

4结语

运用MATLAB优化工具箱对机床主轴结构进行优化设计，编程少，计算度快，并且结果准确、可靠，大大提高了机床主轴的设计效率。从优化计算结果可以看出，通过MATLAB的优化计算可以使机床主轴的强度、刚度完全满足设计的要求，同时也可以减小机床主轴的体积，实现了优化的目的，这对于提高设计效率、降低成本具有重要意义。

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［责任编辑:张存凤］

Optimal design of main axle of machine tool based on MATLAB optimization toolbox

LV Xu-zhong，HE Ning
(School of Mechanical Engineering，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，China)

The design set up a theoptimal mathematical model to machine spindle of NC machine tool on volume minimum as objective function based on the modern theory of mechanical optimization design.MATLAB optimization toolbox is used for optimal design of NC machine tool spindle.It makes the main spindle smallest on the premise of guarantee the strength and stiffness.At the same time，the design cycle of the machine tool spindle is shortened ，and the efficiency of the spindle design is improved，thus it achieves the goal of reducing the cost of the spindle.The research and analysis of the optimization results，suggest that the design method is simple，practical，highly efficient and spindle parameters optimization result is reasonable and reliable.

MATLAB; machine spindle; optimization design

TH122

A

1673-2944(2014)05-0006-05

2014-06-02

陕西省工业攻关项目(2009K07-09)

吕绪忠(1987—)，男，山东省聊城市人，陕西理工学院硕士研究生，主要研究方向为机械装备的设计与制造;［通信作者］何宁(1955—)，男，陕西省汉中市人，陕西理工学院教授，硕士研究生导师，主要研究方向为机械装备的设计与制造、机电传动控制技术。