裂纹对弧齿锥齿轮传动系统振动特性影响研究

冯 刚，高虹霓，李彦彬，张 琳

（空军工程大学 防空反导学院，西安 710051）

弧齿锥齿轮传动是航空动力推进系统中一重要部件，其动态特性直接影响发动机的可靠性。因此，弧齿锥齿轮的动态特性研究一直受到国内外学者的重视，在其结构模态分析、线性振动分析以及动态试验等方面取得了许多研究成果［1－6］，而目前对弧齿锥齿轮发生裂纹故障时传动系统的动态特性研究很少。事实上，航空高速弧齿锥齿轮传动曾发生过数起轮齿断裂事故［7］，给国家造成不同程度的损失。本文应用有限元分析软件ANSYS对裂纹故障齿轮进行了数值模拟，将置于转子上的弧齿锥齿轮传动系统等效处理为8自由度动力学模型，在此基础上研究了无裂纹和有裂纹弧齿锥齿轮传动系统振动特性的变化，为从动力学方面对弧齿锥齿轮裂纹故障诊断的准确识别，给出一种有效的方法，从而可以避免灾难性事故的发生。

1 含裂纹弧齿锥齿轮三维有限元接触模型

利用啮合原理的方法建立齿面方程，根据弧齿锥齿轮已知的参数，通过Matlab计算软件求解齿面方程，获得大量齿面数据点的坐标，再将这些数据点导入到Pro／E中建立齿轮的实体模型。通过Pro／E扫描工具中的切口命令，在齿根处切割出裂口宽度为0．156 mm，深度为4 mm的裂纹，该裂纹通透齿轮大小端面。设置齿轮的材料属性为：弹性模量 E＝1．95×1011N／m2，泊松比 ε＝0．3。采用 SOLID95单元划分网格，划分网格后生成的齿根处含4mm裂纹三维接触有限元模型如图1所示。

图1 两齿轮啮合有限元模型Fig．1 The engaging gears finite element model

基于ANSYS有限元分析软件对弧齿锥齿轮在一个啮合周期内的加载接触特性进行分析［6］。得到无裂纹和含裂纹两种状态下单齿啮合刚度拟合曲线如图2所示。

图2 无裂纹和含裂纹弧齿锥齿轮啮合刚度变化曲线Fig．2 The mesh stiffness change curves of the cracked and uncracked spiral bevel gears

设主动齿轮的转速为ω，则任意时刻无裂纹齿轮啮合刚度的表达式为：

无裂纹齿轮啮合刚度的平均值为：

含裂纹齿轮啮合刚度的表达式为：

含裂纹齿轮啮合刚度的平均值为：

从图2可以看出：在一个啮合周期内，含裂纹弧齿锥齿轮比无裂纹齿轮啮合刚度变化的幅度更加剧烈。

2 非线性振动模型与方程

弧齿锥齿轮传动系统的动力学模型如图3所示。

图3 弧齿锥齿轮传动系统动力学模型Fig．3 Dynamic model for spiral bevel gear transmission system

该弧齿锥齿轮传动系统可等效处理为八自由度且考虑齿轮时变啮合刚度和齿侧间隙共存的非线性动力学模型，则弧齿锥齿轮传动系统的广义位移列阵表示为列向量：

式中，Xi、Yi、Zi（i＝p，g）分别为齿轮轴心沿 x轴、y轴移动和z轴横向振动位移；θp、θg分别为主动齿轮绕x轴、从动齿轮绕y轴的扭转振动位移。

两齿轮啮合点间因振动和误差产生的沿啮合点法线方向的相对位移λn为：

式中：C1＝cosδp·sinαn；C2＝cosδp·sinβm·cosαn；C3＝cosαn·cosβm；rp，rg为两齿轮在啮合点处的半径；αn为法面压力角；βm为齿中点螺旋角；δp为主动轮节锥角；en（t）为法向静态（制造）传动误差。

式中：Ael为法向静态传动误差的第l项谐波的幅值；为啮合频率；Φel为第l项谐波的相位；N为谐波阶数。

齿轮副在啮合时的法向动载荷及其沿坐标轴方向的分力分别为：

式中：kh（t）为啮合刚度的平均值；ch为啮合阻尼；其中kh（t）的表达式为：

式中：km为时变啮合刚度的平均值；Akl为第l阶的幅值；Φkl为第l阶谐波的初相位。

间隙函数 f（λn）的表达式为：

式中：bm为平均法向齿侧间隙之半。

依据d'Alembert原理，可得弧齿锥齿轮传动系统的非线性动力学方程为：

式中，mp、mg、Jp、Jg为两齿轮的质量和转动惯量。

为了消除系统的刚体位移，引入齿面啮合点间的法向相对位移λn作为新的自由度，并对方程组（5）进行量纲一化处理后，得到系统的无量纲方程组（6）：

式中：me为齿轮副的等效质量，Fpm，Fpv为主动齿轮所受圆周力的不变部分和可变部分，它们的表达式为：

式（8）中：AFl为外载荷第 l阶谐波幅值；ω～F为外载荷Tpv的激励频率；Fl为第l阶谐波的初相位。

以上各式中 i＝x，y，z；j＝p，g。

3 求解结果与分析

对间隙型非线性方程组（6），采用五阶变步长自适应Runge-Kutta数值积分方法对其进行求解，可引入状态变量：

将式（6）中的7个二阶微分方程写成14个一阶微分方程，再利用MATLAB软件的ode45（ ）函数数值求解，保持其他参数的值不变，分别将无裂纹和含裂纹齿轮啮合刚度的平均值带入方程，得到两种不同状态下弧齿锥齿轮齿面啮合点间沿啮合点法线方向的量纲一化相对振动位移λ和振动速度λ·的变化规律。

3.1 无裂纹弧齿锥齿轮传动系统振动响应

无裂纹条件下，当无量纲啮合频率ωh＝2．398，弧齿锥齿轮系统的位移响应历程图、相图、Poincaré截面图及Fourier频谱图如图4所示，由图可见，系统此时为1周期响应。当ωh＝1．64时，系统又变为3周期响应如图5所示。当ωh＝2．87时，系统变为拟周期响应如图6所示。

3.2 含裂纹弧齿锥齿轮传动系统振动响应

含裂纹条件下，当无量纲啮合频率ωh＝2．398，含裂纹弧齿锥齿轮系统的位移响应历程图、相图、Poincaré截面图及Fourier频谱图如图7所示，由图可见，系统此时为拟周期响应。当ωh＝1．17时，系统为倍周期响应如图8所示。当ωh＝2．87时，系统变为混沌响应如图9所示，Fourier频谱近乎于连续谱。

图4 无裂纹 ωh＝2．398（1周期响应）Fig．4 Uncrackedωh＝2．398（Single-Period Response）

图5 无裂纹ωh＝1．17（3周期响应）Fig．5 Uncrackedωh＝1．17（Three-Period Response）

图6 无裂纹 ωh＝2．87（拟周期响应）Fig．6 Uncrackedωh＝2．87（Quasi-Period Response）

图7 含裂纹ωh＝2．398（拟周期破裂）Fig．7 Crackedωh＝2．398（Quasi-Period Rupture）

图8 含裂纹 ωh＝1．17（倍周期响应）Fig．8 Crackedωh＝1．17（Period-Doubling Response）

图9 含裂纹 ωh＝2．87（混沌响应）Fig．9 Crackedωh＝2．87（Chaotic Response）

通过比较无裂纹和含裂纹Poincaré截面图可以看出，含裂纹系统的运动路径出现了偏差，使周期运动轨迹不重合，使周期运动变为倍周期和拟周期甚至混沌，破坏了振动原有的周期性。通过比较无裂纹和含裂纹FFT频谱图可以看出，含裂纹系统的振动响应幅值增大，谐波含量明显增多，响应的波动增大。

4 结 论

（1）含裂纹的轮齿在单齿啮合时，啮合刚度减少，在参与多齿啮合时啮合刚度增加，在一个啮合周期内，含裂纹弧齿锥齿轮比无裂纹的啮合刚度变化的幅度更加剧烈。

（2）裂纹对弧齿锥齿轮系统的振动响应特性影响很大，不仅对振动大小有影响，而且对系统运动的形式也有影响，甚至会导致系统产生拟周期运动和混沌运动，使系统的有序性降低，工作性能变差。

（3）裂纹使系统振动响应幅值增大，使响应中的谐波含量增多，使系统振动强度增大，动载荷增大，所以振动噪声变大，传动质量变差，可靠性降低。

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