高水头闸门止水材料超弹性与黏弹性本构研究

谭显文，王正中，余小孔，刘计良，刘铨鸿

（1．西北农林科技大学 水利水电工程研究所，陕西 杨凌 712100；2．伍斯特理工学院，美国 马萨诸塞州 伍斯特 01601；3．上海勘测设计研究院有限公司，上海 200000）

橡胶具有超弹性、耐磨性、大变形等特点，被应用在闸门止水装置当中，起到封堵闸门周边与泄水通道间的缝隙；当闸门止水失效后局部漏水，形成高速水流，诱发闸门振动，橡胶止水也可起到减振作用；闸门关闭时，止水被压缩变形，减缓闸门瞬间动力荷载作用，起到一定减振作用；止水橡胶与闸墩和底槛接触，不仅受到拉伸和压缩，还包括库水和盖板的剪切作用，应力状态复杂；橡胶在变形过程，伴随着大位移，大应变，而其本身又是非线性材料，构成了几何非线性和材料非线性的双重非线性，同时与接触部位也存在接触非线性，因此闸门止水存在三重非线性［1］；高坝中的止水材料由于长期处于高应力水平而产生大变形，长期作用下还会表现出黏弹性，其主要体现为蠕变和应力松弛。应力松弛会减小止水封头与预埋件的接触应力，可引发闸门漏水事故，从而引起闸门支臂振动，诱发失稳破坏，因而止水材料的本构模型及流变特性研究显得尤为重要。

随着计算机技术的发展，为了减少模型试验次数，在水封断面初步设计阶段，都先对止水橡皮进行系统的数值分析和研究，以便为后续设计和模型试验提供参考。然而在数值分析中，材料的本构模型和材料参数的合理确定，对有限元分析起着决定性作用；目前橡胶的本构模型有很多，其中比较成熟的有两类，一类是以连续介质力学理论为基础的多项式，ogden等模型，另外是基于热力学统计方法的 Arruda-Boyce，Van der waals等模型［2］。但是目前国内数值计算大都采用Mooney-Rivlin模型［3－7］，没有进行本构模型系统的对比分析，分析各个模型适用条件；同时由于橡胶实验对设备和试验环境有较高要求，试验温度、拉伸速率、应变历史等对结果有较大影响，受实验条件限制和目前只有简单拉伸实验有国家标准的影响，大部分设计单位和科研院所只能获得单轴拉伸实验数据，一般都以此来拟合本构模型，但是止水受力状态复杂，仅仅采用单向拉伸实验数据，其不能完全反应其实际应力状态，依靠其确定的本构模型存在较大问题，理想情况是对止水橡胶材料进行包括拉伸，压缩，纯剪切等各种典型应力状态的基础实验，据此确定本构模型。

1 止水材料本构模型

以连续介质理论为基础表示的应变能，由其对应变张量求导可获得相应的应力张量，应变能函数［8］为：

式中：n是多项式的阶数；Di表示材料是否可压缩，不可压缩材料Di＝0；R是随温度变化的体积膨胀；当n＝1时为 Mooney-RiVlin模型。而当设定 Cij＝0（j≠0）时为缩减多项式，Neo-Hookean模型和Yeoh模型是其缩减形式中n＝1和n＝3时候取得；而Ogden模型是应变能函数以各个方向主伸长率λi为变量表示本文认为止水橡胶为不可压缩材料，Di＝且没有考虑温度引起的体积膨胀。

基于热力学统计方法的Arruda-Boyce模型，其应变能［9］：

式中：Ci由热力学统计方法得到，μ为初始剪切模量，λm为锁死应变．

2 本构模型实验

国际上进行橡胶材料力学行为的实验时，首先采用几种最典型的应力状态，分别为：单轴拉伸，双向等轴拉伸，纯剪切；其次再利用材料力学中应力状态理论分析复杂应力状态力学特性的方法，这样既减少试验组合，又更有理论依据；止水实际的复杂应力状态组合太多，很难逐一实施试验，而且也没有相关实验规范作为参考。本文以高水头闸门止水为例，实验数据由美国哈丁顿橡胶公司帮助提供，实验材料采用常用的硫化橡胶，实验项目为单轴拉伸，双向等轴拉伸，纯剪切三种，其组合完全能反映止水材料的实际中复杂的应力状态，而无需进行实际应力状态的模型实验；实际中止水材料存在压缩变形，但是由弹性力学可知，双向拉伸等效于单轴压缩，所以拉伸实验能也能反映压缩变形；由应变能函数W对应变张量求导得到Cauchy应力张量：

式中：I为单位张量，B为Cauchy-Green变形张量，p为由于不可压缩引入的静水压力，Ii为B的不变量（i＝1，2，3），其中在各个实验中实验试件尺寸和各个方向主伸长率的关系为：按照国家标准［11］，在单轴拉伸实验中，试件长度为10 mm，0．9 mm厚度，3 mm宽度的4型哑铃状试样（图2），1方向为拉伸方向，试件宽度方向为2，厚度方向为 3，则，而且该规范中规定“取消了仲裁试验对试样数量的要求”，本实验数据是常用止水材料大量实验后，剔除离散性比较大的实验数据组，选择最有代表性的一组实验数据；在纯剪切实验中，由于国内没有相应的实验规范，参照国外相关实验［12］，其与拉伸实验类似，保证宽度大于其长度的10倍，这样使得与拉伸方向成45度的斜截面上出现纯剪切状态，试件采用75 mm宽，5 mm长，长方形薄板试件，1方向为拉伸方向，则在双轴拉伸实验中（如图1），同样参照国外相关实验［13］，试件为圆形薄板，直径25 mm，1，2为拉伸方向则不同实验中得到的名义应力应变数据代入各个本构模型对应的应变能函数的偏微分方程（3）中，拟合后反推可求出相应应变能函数对应的系数，实验数据一律采用名义应力应变，应力单位为Pa。

3 实验数据及本构模型确定

基于同样的止水橡胶测试数据，不同的本构模型对止水在不同变形范围内拟合的精度差别较大，这里列出了ansys拟合得到的5种本构模型系数；并对其中每种本构模型在取不同项数时的子模型进行了拟合分析，Ogden和Yeoh模型1－3阶，Mooney模型中的2－9参数，Arruda-Boyce模型，Neo-Hookean模型；其中有只基于单轴拉伸测试得到的系数，也有基于单轴拉伸，等双轴拉伸，纯剪切三种实验数据，以及基于三种实验数据中任意两种拟合得到的本构中最优组合，表1～表5中只列出了在前面3种不同数据情况下，各种模型中最优子模型。

图1 双轴拉伸实验Fig．1 Biaxial stretching

图2 单轴拉伸试件Fig．2 The shape of the dumbbell specimen

表1 Ogden模型对应系数Tab．1 Corresponding coefficient in the Ogden model

表 2 Arruda-Boyce对应系数Tab．2 Corresponding coefficient in the Arruda-Boyce model

表3 Mooney模型中对应系数Tab．3 Corresponding coefficient in the Mooney model

表4 Yeoh模型中对应系数Tab．4 Corresponding coefficient in Yeoh model

表5 neo-hookean模型对应系数Tab．5 Corresponding coefficient in Neo-Hookean model

图3 单轴拉伸实验数据拟合的不同本构模型Fig．3 Fitting different constitutive model with uniaxial tensile experiment data

图4 依靠单轴拉伸实验数据预测纯剪切（左）和预测双轴（右）Fig．4 Predicting pure shear（left）and biaxial（right）on uniaxial tensile experiment data

图5 三种组合数据预测的双向拉伸（左）和纯剪切（右）Fig．5 Predicting biaxial tension（left）and pure shear（right）on three combination data

评价一个超弹性本构模型的合理性，基于三重标准。首先，要考察本构模型和实验数据拟合的相关性；其次，在相关性的基础上，要考察本构模型对实验数据以外变形预测的准确性；最后，本构应用于数值计算中，考察其数值计算的稳定性。不稳定的本构模型，可能会导致后续计算中，数值结果无法收敛情况出现或者出现奇异矩阵；基于以上两个原则，运用abaqus对本构模型进行评价，单轴数据拟合得到的应变能函数（图3），理论上可推导出纯剪切和双轴拉伸变形时的应力应变数据（图4），但是经计算发现在没有双轴拉伸和纯剪实验数据时，光依靠单轴数据预测，其中Mooney5参数，Mooney-Rivlin，Ogden（n＝3），预测结果很不合理，而Yeoh模型，Arrduda-Boyce模型，Mooney9参数，Neo-Hookean，Ogden（n＝1）在较小应变时候比较准确；而由三种实验数据拟合得到应变能函数，来预测纯剪切和双轴拉伸变形，其效果明显优于仅依靠单轴实验数据和两种组合实验数据（图5），考虑到图表清晰度问题，选择了几种具有代表性模型，其中采用Mooney5参数，Van Der Waals模型稳定性较差；而Ogden3，Neo-Hookean，Yeoh模型，Arrduda-Boyce，Mooney-RiVlin，稳定性好。

再经过各个模型误差对比，最终建议在实验数据只有单轴拉伸时候采用 Neo-Hookean，Mooney9，Arrduda-Boyce，Yeoh模型；在实验数据充分情况下采用 ogden（n＝3）或Mooney9参数最为准确；而只有两种数据时，其拟合效果优于仅靠单轴实验，次于三种实验数据，参考表1－5中给出的最优数据组合，其是最接近三种实验数据拟合结果；在实际设计时，往往会遇到止水橡胶实验手段限制和实验项目数据不全的情况，针对不同的情况采用相对最好的本构模型，便于更加准确的设计，为实际工程提供参考。

4 黏弹性分析

4.1 黏弹性本构模型

由于闸门止水材料种类繁多，在数值仿真阶段，往往需要从中快速初选几种在长时间内适应设计工况下的止水材料，方便设计，避免通过大量的数值仿真来选择；而实际设计中，一般止水材料的初选都要参考合理的黏弹性本构模型，因其能大致的预测材料在特定荷载作用下失效时间，由此决定是否采用该产品；另一方面在止水材料初选确定以后，具体到特定的止水结构和工况时，其合理的本构在后续黏弹性仿真中也尤为重要。止水橡胶材料，在长期应力作用下，会表现出黏弹性，国内外学者大都认为其本构为非线性黏弹性［14－17］，非线性黏弹性与线性黏弹性材料的一个显著区别是，线性材料的蠕变柔量不随加载应力水平变化而变化，蠕变应变与其相应的应力有线性关系，而如果不同加载应力水平下，蠕变柔量不同，表现为蠕变柔量与加载应力水平具有明显的相关性，那么就属于非线性材料。在通常情况下，橡胶材料属于非线性黏弹性材料，然而水工闸门所处的特殊情况，由于其长期处于高应力状态，且周围环境温度属于常温变化，已有研究表明，这种情况下，橡胶材料的蠕变柔量与加载应力水平相关性不明显［15］，可将其视作线性黏弹性材料，精度完全满足，且实际应用方便。目前线性黏弹性本构模型有，Maxwell模型，Kelvin模型，标准线性固体模型，Burgers模型，五元件模型等［17］，然而这些模型都是广义Maxwell模型或广义Kelvin模型的特例，区别只是其元件个数和连接方式不同。由于Maxwell模型只能体现松弛现象，不能表现蠕变，而Kelvin模型只能体现蠕变，不能表示应力松弛，这与橡胶实际工作状态是不符合的，下面只讨论广义模型中元件数在3个以上的模型。

图6 标准线性固体模型（左图）和burgers模型（右图）Fig．6 Standard linear solid model（left）and Burgers model（right）

（1）标准线性固体模型：

该模型有一个弹簧和一个Kelvin模型串联组成（图 6左），其蠕变柔量 J（t）为：

式中 P1＝η1／（E1＋E2），q0＝E1E2／（E1＋E2），q1＝E1η1／（E1＋E2），其中 E1，E2为弹簧元件的弹性模量，η1为黏壶元件的黏性系数。

（2）4元件模型

两个弹簧，两个粘壶元件组成的4元件模型，采用不同的串并联方式，可以有4种子模型，但是经计算其最终计算的松弛函数和蠕变函数基本相同，误差不大，在这里不做详细叙述。选取由Maxwell模型和Kelvin模型串联组成的四参数Burgers模型来说明（图6右），其蠕变柔量 J（t）为：

式中中E1，E3为弹簧元件的弹性模量，η2，η3为粘壶元件的粘性系数。

5元件以上黏弹性模型，经推导发现其松弛模量和蠕变模量函数表达式极其复杂，不便于实际中应用，而与实验数据拟合的相关系数与4元件相比，提高程度不大，所以这里不在讨论范围内。

4.2 黏弹性实验

本实验数据采用刘礼华相关论文［18］中的实验数据，为测试止水材料的压缩蠕变，尽量涵盖大部分通用止水的性能，实验对象选取了用于闸门上的三种常用改性硫化橡胶止水，实验试件采用22 mm（直径）×12．5 mm（厚度）圆形试样。试样的初始加载荷载为900 N，初始应力为2．368 MPa（接近材料最大工作应力）。材料的初始应变为 εA＝0．330，εB＝0．274，εc＝0．423，实验结果如图7。

图7 压缩蠕变曲线Fig．7 Compression creep curve

表6 标准线性固体模型Tab．6 Standard linear solid model

表7 burger模型Tab．7 Burgers model

将压缩蠕变实验数据与两种模型的蠕变函数进行拟合，相关性较高，再次说明采用线性黏弹性模型来拟合闸门止水材料是合理的，将各自计算所得的流变参数代入对应本构模型，求得相应的蠕变与应力松弛公式，如表6表7。采用burger模型，拟合A、B、C材料相关系数 R分别为98．61%、98．17%、97．04%，而标准线性固体模型 A，C才 93．4%、93．16%、C种材料较好96．02%；由此可见burger模型更加符合止水材料本构模型。

4．3 止水材料寿命数值计算（增加小节）

我国目前水利水电开发中，大多数都是200 m级以上的超高坝，某些坝型中的底孔闸门承受水头最大，而在高坝中多以充压伸缩式水封作为止水，图8是某新型伸缩式水封断面；由于水封各个位置变形和工作应力不一样，材料采用分区布置，水封封头采用硬度为75度的高强度，高硬度橡胶材料B；支臂与支体需要弹性良好，满足水封伸缩要求，采用硬度为45的材料C；翼头要有良好的伸缩性和较高的硬度，采用硬度为65的材料A；椭圆形为充气囊，其变形比较大，材料采用C；止水工作时，由加压系统向气囊内部加压，由气囊膨胀推动止水封头向上运动，与止水钢板接触，随着气压的增加，接触应力越来越大，当接触应力大于水库水压时，水压无法穿透接触位置，从而达到止水。水封止水后，长期处于高应力作用下，橡胶材料将表现出黏弹性。

黏弹性材料的应力响应包括弹性部分和粘性部分，在载荷作用下弹性部分是即时响应的，即材料的超弹性，而粘性部分随着时间的增加，表现的越来越明显，剪切模量和体积模量要发生变化。为此有限元计算中剪切模量和体积模量采用prony级数展开，其为单调减函数：

式中，G∞和Gi是剪切模量，K∞和Ki是体积模量和是各Prony级数分量的松弛时间，nG，nk为maxwell元件个数，三参数元件个数nG＝1和nk＝1，四参数元件个数nG＝2和nk＝2。

4．3．1 有限元模型：

由于止水装置是沿泄水通道周边布置的，其长度方向远大于止水横截面尺寸，主要荷载平行于横截面，且沿轴线变化很小，可简化为平面应变问题；采用有限元软件ansys进行计算，计算单元采用适合大变形与黏弹性的plane183平面单元，并采用u－p混合公式。由于存在接触，定义13组接触对，并考虑摩擦。实际中，为了便于气囊泄压后，止水回退容易，止水水封与外侧压板接触部分表面都要涂F4复合材料，减小摩擦，摩擦因数取0．2，止水与其他钢板接触部位摩擦因数采用0．5。由于存在摩擦区域较大，求解器采用非对称求解器，并关闭自适应下降。止水钢板弹性模量取0．21×1012Pa，泊松比取 0．3。

4．3．2 荷载历程

止水所受荷载分为三个过程①止水元件安装：0时刻，给压板施加向下位移荷载，直到与底板接触压紧，并压缩止水翼头②止水元件止水：安装完毕后，0 h－2 h内，给气囊逐渐充气至2 MPa，同时作用库水荷载。由于水封在变形过程中，与压板和止水钢板的接触位置是不断变化的，库水荷载作用区域也是变化的；在数值计算中，每施加一个增量荷载，通过定义单元表提取水封封头接触单元接触应力，如果其大于库水荷载，该点水压就不能穿透，具体通过*for循环来来实现；这里考虑特大洪水的洪峰时期最不利工况，水库水位在50 h内由防洪限制水位升至最高水位。③止水后期：时间历程为50 h－1 000 h，当库水水位达到最高水位以后，外部荷载达到稳定，材料表现出黏弹性。计算以上三个过程止水与止水钢板间接触应力变化。

4．3．3 算例：

现以某超高坝为例，该坝底孔闸门最大设计水头205 m。橡胶材料超弹本构都采用最优模型Mooney 9参数，黏弹性本构分别采用三参数和burgers模型，对比止水采用两种本构时，在长期时间内，止水封头表面最大接触应力的变化情况。计算结果如图9、10为止水最终接触应力整体分布，图11两种黏弹性本构计算封头最大接触应力随时间变化。

图8 新型伸缩式水封Fig．8 The new inflatable water seal section

图9 四参数接触应力分布Fig．9 The contact stress distribution on head adopting four parameters

图10 三参数接触应力分布Fig．10 The contact stress distribution on head adopting three parameters

图11 止水封头最大接触应力变化Fig．11 The maximum contact stress change on head of water seal

在由图11可以看出，两曲线都有相似的规律，在0－1 h内，安装好的止水封头，在气囊的作用下与止水钢板接触，达到最大接触应力；1－25 h内，随着水库水位上升，某些位置接触应力小于水库水压，接触缝隙被水压穿透，同时材料的黏弹性也体现出来，接触应力逐渐下降；但是25－50 h内接触应力有所回升，这是由于随着水位的上升，水荷载增加到较大值，封头向右有几何移动和较大变形，封头接触面积减小，导致接触应力增加，其增加的接触应力大于由黏弹性造成接触应力下降的值，所以总体上表现为增加，并在t＝50 h时停止增加。50 h后随着库水水位达到最高水位，荷载边界条件趋于稳定，随着时间增加，材料的黏弹性表现得更加明显，接触应力逐渐下降；但在t＝400 h时变化不明显，到t＝1 000 h后接触应力完全稳定；三参数最终计算的接触应力2．25 MPa，而四参数计算的接触应力为2．03 MPa，由于库水最大荷载为2．05 MPa，由三参数计算出接触应力始终大于水库水压；表明止水永远不会发生应力松弛失效；而四参数计算表明在t＝450 h止水接触应力为2．05 MPa等于库水水压，处于临界状态，将发生松弛失效。两种本构计算的最终接触应力相差22 m水头，这在实际工程中是不能忽略的。

该大坝实际运行资料记录中，发生过特大洪水，库水位在较短时间内达到最大设计水位时，一段时间后，底孔闸门周边出现大量漏水情况，导致关闭检修闸门。这与采用burger模型预测结果相吻合，而运用三参数模型计算表明止水永不发生应力松弛失效，如果将其运用到初步设计中，会夸大止水材料的止水效果，造成比较严重后果。同时也说明了初步设计中采用合理黏弹性本构模型预测材料蠕变规律是合理的。由此可以看出，标准线性固体模型预测不同材料的止水材料不可行，而采用burger模型更能接近实际，建议在实际设计中采用burger模型。

5 结 论

（1）基于闸门止水初步设计阶段，橡胶材料超弹性本构模型及其参数的合理选择对数值计算结果有决定性作用，对通用的止水橡胶材料进行了单双轴拉伸和纯剪切的基础实验。

（2）针对实际止水设计中，往往受实验条件限制，不能全部进行三种基础实验，实验项目数据不全；对不同数据情况，系统的从本构模型和实验数据的相关性以及本构模型对数值计算结果的稳定性影响两方面进行了对比，给出了不同情况下的最优本构模型，为实际生产提供参考。

（3）闸门止水长期处于高应力状态，材料会表现出黏弹性性质，对材料的黏弹性本构模型进行了对比和分析，数值计算表明无论在材料实验数据与本构模型的相关性方面，还是在预测止水材料松弛失效方面，burger模型均优于标准线性固体模型，修正了以往多年采用标准线性固体模型的不合理的做法，为实际生产设计提供了合理参考。

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