高考数学必做创新题

章少川

1 运算定义型

（ ）必做1 定义平面向量的一种运算：a 塥b=a·bsin〈a，b〉，则下列命题：

①a 塥b=b 塥a；

②λ（a 塥b）=（λa） 塥b；

③（a+b） 塥c=（a 塥c）+（b 塥c）；

④若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a 塥b=x1y2-x2y1.

其中真命题是________（写出所有真命题的序号）.

精妙解法 由定义可知b 塥a=b·asin〈a，b〉=a 塥b，所以①正确.

②当λ<0时，〈λa，b〉=π-〈a，b〉，所以（λa） 塥b=λa·bsin〈λa，b〉= -λa·bsina，而λ（a 塥b）=λa·b·sin〈a，b〉，所以②不成立.

③因为a+b的长度不一定等于a+b，所以③不成立.

④（a 塥b）2=a2·b2sin2〈a，b〉=a2·b2（1-cos2〈a，b〉）=a2·b2-a2·b2cos2〈a，b〉=a2·b2-（a·b）2=（x +y ）（x +y ）-（x1x2+y1y2）2=（x1y2-x2y1）2，所以a 塥b=x1y2-x2y1，所以④成立.

所以真命题是①④.

（ ）必做2 在实数集R中定义一种运算“ 鄢”，对任意a，b∈R，a 鄢b为唯一确定的实数，且具有以下性质：

（1）对任意a∈R，a 鄢0=a；

（2）对任意a，b∈R，a 鄢b=ab+（a 鄢0）+（b 鄢0）.

关于函数f（x）=（ex） 鄢 的性质，有如下说法：

①函数f（x）的最小值为3；

②函数f（x）为偶函数；

③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0].

其中正确说法的个数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

精妙解法 由运算定义得f（x）=（ex） 鄢 =1+ex+ ≥1+2 =3，①正确；

f（-x）=1+e-x+ =1+ +ex=f（x），②正确；令f ′（x）=ex-e-x≥0，解得x≥0，

即单调递增区间为[0，+∞），③错误. 故选C.

2 概念定义型

（ ）必做1 设集合A 哿R，如果x0∈R满足：对任意a>0，都存在x∈A，使得0

①Z+∪Z-；

②R+∪R-；

③xx= ，n∈N 鄢；

④xx= ，n∈N 鄢，

以0为聚点的集合有__________（写出所有你认为正确的结论的序号）.

精妙解法 ①当a= 时，此时对任意的x∈Z+∪Z-，都有x-0=0或者x-0≥1，也就是说不可能0

②对于集合{xx≠0，x∈R}，对任意的a，都存在x= （实际上任意比a小的数都可以），使

0

③集合xx= ，n∈N 鄢中的元素是极限为0的数列，对于任意的a>0，存在n> ，使0

所以0是集合xx= ，n∈N 鄢的聚点.

④集合xx= ，n∈N 鄢的元素是极限为1的数列，除了第一项0外，其余的都至少比0大 ，所以在a< 时，不存在满足0

故答案为②③.

（ ）必做2 定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”. 现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：

①f（x）=2x；②f（x）=log x；③f（x）=x2；④f（x）=ln2x，

则其中是“等比函数”的f（x）的序号为____________.

精妙解法 若①f（x）=2x，则 = =2 ，不是常数，所以①不是“等比函数”；②若f（x）=log x， = ，不是常数，所以②不是“等比函数”；③若f（x）=x2， = = ，是常数，所以③是“等比函数”；④若f（x）=ln2x，则f（x）=xln2， = = ，是常数，所以④是“等比函数”. 综上， f（x）是“等比函数”的序号为③④.

（ ）必做3 对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”. 设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3.

（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N 鄢）.

（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-2x-3，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N 鄢）上的最大值与最小值.

（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由.

①f（2-n）与2-n+2（n∈N 鄢）；

②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）.

精妙解法 （1）由题意知f（2x）=f（x）+1恒成立，令x=2k（k∈N 鄢），可得f（2 ）=f（2k）+1，所以{f（2k）}是公差为1的等差数列，故f（2n）=f（20）+n. 又f（20）=3，故f（2n）=n+3. 摇

（2）当x∈[1，2）时， f（x）=k-2x-3，令x=1，可得f（1）=k-1=3，

解得k=4，即x∈[1，2）时， f（x）=4-2x-3，故f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]. 摇

又（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，故f（2x）=-2f（x）恒成立，

当x∈[2k-1，2k）（k∈N 鄢）时， ∈[1，2）， f（x）=-2f =4f =…=（-2）k-1f ，

故k为奇数时， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范围是[3×2k-1，2k+1]；

当k为偶数时， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范围是[-2k+1，-3×2k-1]. 摇

所以当n=1时， f（x）在[1，2n）上的最大值为4，最小值为3；

当n为不小于3的奇数时， f（x）在[1，2n）上的最大值为2n+1，最小值为 -2n；

当n为不小于2的偶数时， f（x）在[1，2n）上的最大值为2n，最小值为-2n+1.

（3）由（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，可知f（2x）≥2f（x）-2恒成立，即f（x）≤ f（2x）+1恒成立.

令x= （k∈N 鄢），可得f ≤ f +1，

即f -2≤ f -2对一切k∈N 鄢恒成立，

所以f -2≤ f -2≤ f -2≤…≤ [f（1）-2]= ，故f（2-n）≤2-n+2（n∈N 鄢）. 摇

若x∈（0，1]，则必存在n∈N 鄢，使得x∈ ， ，由于f（x）是增函数，故f（x）≤f ≤ +2.

又2x+2>2× +2= +2，故有f（x）<2x+2.

3 类比归纳型

（ ）必做1 若集合A1，A2，…，An满足A1∪A2∪…∪An=A，则称A1，A2，…，An为集合A的一种拆分.已知：

①当A1∪A2={a1，a2，a3}时，有33种拆分；

②当A1∪A2∪A3={a1，a2，a3，a4}时，有74种拆分；

③当A1∪A2∪A3∪A4={a1，a2，a3，a4，a5}时，有155种拆分；

……

由以上结论，推测出一般结论：

当A1∪A2∪…∪An={a1，a2，a3，…，an+1}，有_________种拆分.

精妙解法 因为当有2个集合时，33=（4-1）2+1=（22-1）2+1；当有3个集合时，74=（8-1）3+1=（23-1）3+1；当有4个集合时，155=（16-1）4+1=（24-1）4+1；由此可以归纳当有n个集合时，有（2n-1）n+1种拆分.

（ ）必做2 已知函数f（x）=2x，0≤x≤ ，2-2x，

把满足f （x）=x（x∈[0，1]）的x的个数称为函数f（x）的“n-周期点”，则f（x）的2-周期点是__________；n-周期点是__________.

精妙解法 当x∈0， 时， f （x）=2x=x，解得x=0. 当x∈ ，1时， f （x）=2-2x=x，解得x= . 所以f（x）的“1-周期点”的个数为2.当x∈0， 时， f （x）=2x， f （x）=4x=x，解得x=0；当x∈ ， 时， f （x）=2x， f （x）=2-4x=x，解得x= . 当x∈ ， 时， f （x）=2-2x， f （x）=-2+4x=x，解得x= ；当x∈ ，1时， f （x）=2-2x， f （x）=4-4x=x，解得x= . 所以f（x）的“2-周期点”为22=4个. 以此类推， f（x）的“n-周期点”的个数为2n个.

（ ）必做3 已知正项等比数列{an}中有 = ，则在等差数列{bn}中，类似的结论有___________.

精妙解法 根据等比性质可知 = = = ， = = . 所以在等差数列中，有 = .

（ ）必做4 若点P0（x0，y0）在椭圆 + =1（a>b>0）外，过点P0作该椭圆的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为 + =1. 那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为_________.

精妙解法 运用类比推理的方法，对于双曲线，可以得到一个正确的命题为：若点P0（x0，y0）在双曲线 - =1（a>0，b>0）外，过点P0作该双曲线的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1.

其正确性可证明如下：

设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P0（x0，y0），则过点P1，P2的切线的方程分别为： - =1， - =1.

因为P0（x0，y0）在这两条切线上，故有 - =1， - =1，这说明P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在直线 - =1上，故得切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1.

（ ）必做5 在数学解题中，常会碰到形如“ ”的结构，这时可类比正切的和角公式. 设a，b是非零实数，且满足 =tan ，则 等于（ ）

A. 4 B. C. 2 D.

精妙解法 将条件左式变形，得 = ，联想两角和的正切公式，设tanα= ，

则有tan +α= =tan ，则 +α=kπ+ ，解得α=kπ+ （k∈Z），于是 =tankπ+ = ，选D.

解得k=4，即x∈[1，2）时， f（x）=4-2x-3，故f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]. 摇

又（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，故f（2x）=-2f（x）恒成立，

当x∈[2k-1，2k）（k∈N 鄢）时， ∈[1，2）， f（x）=-2f =4f =…=（-2）k-1f ，

故k为奇数时， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范围是[3×2k-1，2k+1]；

当k为偶数时， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范围是[-2k+1，-3×2k-1]. 摇

所以当n=1时， f（x）在[1，2n）上的最大值为4，最小值为3；

当n为不小于3的奇数时， f（x）在[1，2n）上的最大值为2n+1，最小值为 -2n；

当n为不小于2的偶数时， f（x）在[1，2n）上的最大值为2n，最小值为-2n+1.

（3）由（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，可知f（2x）≥2f（x）-2恒成立，即f（x）≤ f（2x）+1恒成立.

令x= （k∈N 鄢），可得f ≤ f +1，

即f -2≤ f -2对一切k∈N 鄢恒成立，

所以f -2≤ f -2≤ f -2≤…≤ [f（1）-2]= ，故f（2-n）≤2-n+2（n∈N 鄢）. 摇

若x∈（0，1]，则必存在n∈N 鄢，使得x∈ ， ，由于f（x）是增函数，故f（x）≤f ≤ +2.

又2x+2>2× +2= +2，故有f（x）<2x+2.

3 类比归纳型

（ ）必做1 若集合A1，A2，…，An满足A1∪A2∪…∪An=A，则称A1，A2，…，An为集合A的一种拆分.已知：

①当A1∪A2={a1，a2，a3}时，有33种拆分；

②当A1∪A2∪A3={a1，a2，a3，a4}时，有74种拆分；

③当A1∪A2∪A3∪A4={a1，a2，a3，a4，a5}时，有155种拆分；

……

由以上结论，推测出一般结论：

当A1∪A2∪…∪An={a1，a2，a3，…，an+1}，有_________种拆分.

精妙解法 因为当有2个集合时，33=（4-1）2+1=（22-1）2+1；当有3个集合时，74=（8-1）3+1=（23-1）3+1；当有4个集合时，155=（16-1）4+1=（24-1）4+1；由此可以归纳当有n个集合时，有（2n-1）n+1种拆分.

（ ）必做2 已知函数f（x）=2x，0≤x≤ ，2-2x，

把满足f （x）=x（x∈[0，1]）的x的个数称为函数f（x）的“n-周期点”，则f（x）的2-周期点是__________；n-周期点是__________.

精妙解法 当x∈0， 时， f （x）=2x=x，解得x=0. 当x∈ ，1时， f （x）=2-2x=x，解得x= . 所以f（x）的“1-周期点”的个数为2.当x∈0， 时， f （x）=2x， f （x）=4x=x，解得x=0；当x∈ ， 时， f （x）=2x， f （x）=2-4x=x，解得x= . 当x∈ ， 时， f （x）=2-2x， f （x）=-2+4x=x，解得x= ；当x∈ ，1时， f （x）=2-2x， f （x）=4-4x=x，解得x= . 所以f（x）的“2-周期点”为22=4个. 以此类推， f（x）的“n-周期点”的个数为2n个.

（ ）必做3 已知正项等比数列{an}中有 = ，则在等差数列{bn}中，类似的结论有___________.

精妙解法 根据等比性质可知 = = = ， = = . 所以在等差数列中，有 = .

（ ）必做4 若点P0（x0，y0）在椭圆 + =1（a>b>0）外，过点P0作该椭圆的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为 + =1. 那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为_________.

精妙解法 运用类比推理的方法，对于双曲线，可以得到一个正确的命题为：若点P0（x0，y0）在双曲线 - =1（a>0，b>0）外，过点P0作该双曲线的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1.

其正确性可证明如下：

设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P0（x0，y0），则过点P1，P2的切线的方程分别为： - =1， - =1.

因为P0（x0，y0）在这两条切线上，故有 - =1， - =1，这说明P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在直线 - =1上，故得切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1.

（ ）必做5 在数学解题中，常会碰到形如“ ”的结构，这时可类比正切的和角公式. 设a，b是非零实数，且满足 =tan ，则 等于（ ）

A. 4 B. C. 2 D.

精妙解法 将条件左式变形，得 = ，联想两角和的正切公式，设tanα= ，

则有tan +α= =tan ，则 +α=kπ+ ，解得α=kπ+ （k∈Z），于是 =tankπ+ = ，选D.

解得k=4，即x∈[1，2）时， f（x）=4-2x-3，故f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]. 摇

又（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，故f（2x）=-2f（x）恒成立，

当x∈[2k-1，2k）（k∈N 鄢）时， ∈[1，2）， f（x）=-2f =4f =…=（-2）k-1f ，

故k为奇数时， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范围是[3×2k-1，2k+1]；

当k为偶数时， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范围是[-2k+1，-3×2k-1]. 摇

所以当n=1时， f（x）在[1，2n）上的最大值为4，最小值为3；

当n为不小于3的奇数时， f（x）在[1，2n）上的最大值为2n+1，最小值为 -2n；

当n为不小于2的偶数时， f（x）在[1，2n）上的最大值为2n，最小值为-2n+1.

（3）由（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，可知f（2x）≥2f（x）-2恒成立，即f（x）≤ f（2x）+1恒成立.

令x= （k∈N 鄢），可得f ≤ f +1，

即f -2≤ f -2对一切k∈N 鄢恒成立，

所以f -2≤ f -2≤ f -2≤…≤ [f（1）-2]= ，故f（2-n）≤2-n+2（n∈N 鄢）. 摇

若x∈（0，1]，则必存在n∈N 鄢，使得x∈ ， ，由于f（x）是增函数，故f（x）≤f ≤ +2.

又2x+2>2× +2= +2，故有f（x）<2x+2.

3 类比归纳型

（ ）必做1 若集合A1，A2，…，An满足A1∪A2∪…∪An=A，则称A1，A2，…，An为集合A的一种拆分.已知：

①当A1∪A2={a1，a2，a3}时，有33种拆分；

②当A1∪A2∪A3={a1，a2，a3，a4}时，有74种拆分；

③当A1∪A2∪A3∪A4={a1，a2，a3，a4，a5}时，有155种拆分；

……

由以上结论，推测出一般结论：

当A1∪A2∪…∪An={a1，a2，a3，…，an+1}，有_________种拆分.

精妙解法 因为当有2个集合时，33=（4-1）2+1=（22-1）2+1；当有3个集合时，74=（8-1）3+1=（23-1）3+1；当有4个集合时，155=（16-1）4+1=（24-1）4+1；由此可以归纳当有n个集合时，有（2n-1）n+1种拆分.

（ ）必做2 已知函数f（x）=2x，0≤x≤ ，2-2x，

把满足f （x）=x（x∈[0，1]）的x的个数称为函数f（x）的“n-周期点”，则f（x）的2-周期点是__________；n-周期点是__________.

精妙解法 当x∈0， 时， f （x）=2x=x，解得x=0. 当x∈ ，1时， f （x）=2-2x=x，解得x= . 所以f（x）的“1-周期点”的个数为2.当x∈0， 时， f （x）=2x， f （x）=4x=x，解得x=0；当x∈ ， 时， f （x）=2x， f （x）=2-4x=x，解得x= . 当x∈ ， 时， f （x）=2-2x， f （x）=-2+4x=x，解得x= ；当x∈ ，1时， f （x）=2-2x， f （x）=4-4x=x，解得x= . 所以f（x）的“2-周期点”为22=4个. 以此类推， f（x）的“n-周期点”的个数为2n个.

（ ）必做3 已知正项等比数列{an}中有 = ，则在等差数列{bn}中，类似的结论有___________.

精妙解法 根据等比性质可知 = = = ， = = . 所以在等差数列中，有 = .

（ ）必做4 若点P0（x0，y0）在椭圆 + =1（a>b>0）外，过点P0作该椭圆的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为 + =1. 那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为_________.

精妙解法 运用类比推理的方法，对于双曲线，可以得到一个正确的命题为：若点P0（x0，y0）在双曲线 - =1（a>0，b>0）外，过点P0作该双曲线的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1.

其正确性可证明如下：

设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P0（x0，y0），则过点P1，P2的切线的方程分别为： - =1， - =1.

因为P0（x0，y0）在这两条切线上，故有 - =1， - =1，这说明P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在直线 - =1上，故得切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1.

（ ）必做5 在数学解题中，常会碰到形如“ ”的结构，这时可类比正切的和角公式. 设a，b是非零实数，且满足 =tan ，则 等于（ ）

A. 4 B. C. 2 D.

精妙解法 将条件左式变形，得 = ，联想两角和的正切公式，设tanα= ，

则有tan +α= =tan ，则 +α=kπ+ ，解得α=kπ+ （k∈Z），于是 =tankπ+ = ，选D.