高考数学必做客观题——计数原理

陶友根

1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

（ ）必做1 一个小朋友有5支不同颜色的水彩笔，老师要求用这5支笔给图中的四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，那么小朋友有______种不同的涂色方案.

图1

精妙解法 先分为两类：

第一类，当D与A不同色，则可分为四步完成.第一步，涂A有5种方法；第二步，涂D有4种方法；第三步，涂C有3种方法；第四步，涂B有3种方法. 由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种方法.

第二类，当D与A同色，分三步完成，第一步，涂A和D有5种方法；第二步，涂B有4种方法；第三步，涂C有4种方法. 由分步乘法计数原理，共有5×4×4=80（种）.

所以共有180+80=260种不同的方案.

极速突击 首先确定“完成一件事”的“事”是什么，再判断是“分类”还是“分步”，从而确定用“加法”还是“乘法”进行计数. 染色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，像本题中A，D颜色是否相同对其他区域的涂色有影响.

误点警示 本题容易出现如下错解. 分四步完成：第一步，涂A有5种，第二步，涂B有4种，第三步，涂C有4种，第四步，涂D有3种，所以共有5×4×4×3=240种.错误的原因在于没有考虑到A，D是否同色对B，C区域的影响.

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重视两个原理的灵活运用，并注意以下几点：

（1）认真审题，分析题目的条件、结论，特别是要理解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情的含义和标准是什么.

（2）明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还是既要“分类”又要“分步”，并搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么. 分类要做到不重不漏.

2 排列问题

（ ）必做1 由4，5，6，7，8，9组成没有重复数字且4，8都不与6相邻的六位奇数的个数是__________.

精妙解法 插空法，先排5，7，9，共有A 种方法，

①若4，6，8都不相邻，则有A 种方法；

②若4，8相邻，则有A A 种方法.

所以共有A （A +A A ）=108种.

极速突击 元素不相邻问题用“插空法”，元素相邻问题用“捆绑法”.

误点警示 本题容易将“4，8都不与6相邻”理解为“4，6，8都不相邻”，从而错解为A ·A =36种.

（ ）必做2 某学校安排7位行政领导值班（每轮7天），每天安排1人，每人值班1天，若7位领导中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在第一天，丁不排在最后一天，则不同的安排方案共有（ ）

A. 504种 B. 960种

C. 1008种 D. 1108种

精妙解法 若丙排在第一天，共有A ·A =240种；若丁排最后一天，共有A ·A =240种；若丙排第一天且丁排最后一天共有A ·A =48种；若不考虑丙、丁的条件限制，共有A ·A =1440种. 所以共有1440-240-240+48=1008种. 故选C.

极速突击 当直接分类情况较多时，我们常常从反面入手，注意特殊元素先考虑，分类务必“不重不漏”.

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排队问题的常用方法：特殊元素优先安排，特殊位置优先解决，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，直接法复杂则用间接法.

3 组合问题

（ ）必做1 在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形没有公共边的三角形有（ ）

A. 24个 B. 48个

C. 16个 D. 8个

精妙解法 连接正八边形的三个顶点构成三角形的个数为C ，其中有两条公共边的三角形有8个，有一条公共边的三角形有C ×C ，所以共有C -8-C ×C =16个. 故选C.

极速突击 正难则反，合理分类.对于否定性词语“没有”“不”等问题，常常从反面切入.

（ ）必做2 数学研究学习小组共有13名学生，其中男生8人，女生5人，从这13人里选出3个人准备做报告. 在选出的3个人中，至少要有1名女生，一共有__________种选法.

精妙解法 法1：由题意，按选出女生的人数可分三类情况.

第一类，选1名女生，2名男生，有C ·C 种选法；

第二类，选2名女生，1名男生，有C ·C 种选法；

第三类，选3名女生，男生不选，有C 种选法.

故共有C ·C +C ·C +C =230种选法.

法2：如果没有限制条件，则有C 种选法，而不符合条件，即选出的全是男生（一名女生也没有）的选法是C 种. 因此，至少要有1名女生的不同选法有C -C =230种.

极速突击 对元素有“至少”或“至多”限制的组合应用题，用直接法和间接法都可以，直接法根据条件分类列举，有时会分类过多；间接法用“没有限定条件”的总数减去“不符合条件”的种数，以免造成重复.

误点警示 常出现以下错解：先选1名女生，有C 种方法；再从剩下的12个人中选出2名，有C 种方法，所以共有C C =330种不同的选法.

错因是上述解法中有重复计数.不妨设g1，g2，…，g5表示5名女生，b1，b2，…，b8表示8名男生.

（1）先选1名女生是g1，然后任选的2人是g2，b1；

（2）先选1名女生是g2，然后任选的2人是g1，b1. 显然这是与（1）相同的选法.endprint

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有限制条件的组合应用题：

（1）“含”与“不含”问题，其解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.

（2）“至多”与“至少”问题通常采用排除法，也可以用直接法.

（3）在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.

4 排列与组合综合应用

（ ）必做1 把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张观看《泰囧》的电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得两张票的必须是连号，那么不同的分法种数是________种.

精妙解法 如图2，第一步，把六张票分成4组；

第二步，把这4组票分给甲、乙、丙、丁4个人，有A 种.

由分步计数原理得，不同的分法有6A =144种.

极速突击 排列组合问题，一定要先判定是否有序，有序则排列，否则是组合问题. 分配类问题，一般遵循“先分堆再分配”原则.

（ ）必做2 2013成都财富全球论坛组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，则不同的派给方案共有（ ）

A. 25种 B. 150种

C. 240种 D. 360种

精妙解法 五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，分为两类，第一类为有一样3人做，另2样各一人：C A =60；第二类为有两样各2人做，另一样1人做： C C A =90，总共有60+90=150种分派方法，故选B.

极速突击 在分堆问题中，要特别注意“均分”，不要错误地考虑顺序. 选派问题，一般遵循“先选后派”的原则，以免出现重复计算和思维混乱.

误点警示 常出现以下错解：（1）A （C +A ）=540种，错因是先分配3人，再分配剩下2人，造成重复计算.

（2）C A +C C A ，错因是第二类中，没有注意到分组2+2+1中隐藏着均分问题.

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解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：

（1）特殊元素优先安排的策略；

（2）合理分类和准确分步的策略；

（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；

（4）正难则反、等价转化的策略；

（5）相邻问题捆绑处理的策略；

（6）不相邻问题插空处理的策略；

（7）定序问题除法处理的策略；

（8）分排问题直排处理的策略；

（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；

（10）构造模型的策略.

5 二项式定理

（ ）必做1 若x- 6展开式的常数项为60，则常数a的值为________，此常数项对应的二项式系数是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r（- ）rx-2r=C （- ）rx6-3r，令r=2得x- 6的常数项为C a，所以令C a=60，即15a=60，解得a=4. 常数项对应的二项式系数为C =15.

极速突击 用好二项式定理的通项公式，注意区别系数和二项式系数.

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二项式定理的通项公式Tk+1=C an-kbk，它是（a+b）n的展开式的第k+1项，这里k=0，1，…，n. 它反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数. 解题时注意方程思想的应用.endprint

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有限制条件的组合应用题：

（1）“含”与“不含”问题，其解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.

（2）“至多”与“至少”问题通常采用排除法，也可以用直接法.

（3）在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.

4 排列与组合综合应用

（ ）必做1 把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张观看《泰囧》的电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得两张票的必须是连号，那么不同的分法种数是________种.

精妙解法 如图2，第一步，把六张票分成4组；

第二步，把这4组票分给甲、乙、丙、丁4个人，有A 种.

由分步计数原理得，不同的分法有6A =144种.

极速突击 排列组合问题，一定要先判定是否有序，有序则排列，否则是组合问题. 分配类问题，一般遵循“先分堆再分配”原则.

（ ）必做2 2013成都财富全球论坛组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，则不同的派给方案共有（ ）

A. 25种 B. 150种

C. 240种 D. 360种

精妙解法 五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，分为两类，第一类为有一样3人做，另2样各一人：C A =60；第二类为有两样各2人做，另一样1人做： C C A =90，总共有60+90=150种分派方法，故选B.

极速突击 在分堆问题中，要特别注意“均分”，不要错误地考虑顺序. 选派问题，一般遵循“先选后派”的原则，以免出现重复计算和思维混乱.

误点警示 常出现以下错解：（1）A （C +A ）=540种，错因是先分配3人，再分配剩下2人，造成重复计算.

（2）C A +C C A ，错因是第二类中，没有注意到分组2+2+1中隐藏着均分问题.

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解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：

（1）特殊元素优先安排的策略；

（2）合理分类和准确分步的策略；

（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；

（4）正难则反、等价转化的策略；

（5）相邻问题捆绑处理的策略；

（6）不相邻问题插空处理的策略；

（7）定序问题除法处理的策略；

（8）分排问题直排处理的策略；

（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；

（10）构造模型的策略.

5 二项式定理

（ ）必做1 若x- 6展开式的常数项为60，则常数a的值为________，此常数项对应的二项式系数是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r（- ）rx-2r=C （- ）rx6-3r，令r=2得x- 6的常数项为C a，所以令C a=60，即15a=60，解得a=4. 常数项对应的二项式系数为C =15.

极速突击 用好二项式定理的通项公式，注意区别系数和二项式系数.

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二项式定理的通项公式Tk+1=C an-kbk，它是（a+b）n的展开式的第k+1项，这里k=0，1，…，n. 它反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数. 解题时注意方程思想的应用.endprint

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有限制条件的组合应用题：

（1）“含”与“不含”问题，其解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.

（2）“至多”与“至少”问题通常采用排除法，也可以用直接法.

（3）在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.

4 排列与组合综合应用

（ ）必做1 把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张观看《泰囧》的电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得两张票的必须是连号，那么不同的分法种数是________种.

精妙解法 如图2，第一步，把六张票分成4组；

第二步，把这4组票分给甲、乙、丙、丁4个人，有A 种.

由分步计数原理得，不同的分法有6A =144种.

极速突击 排列组合问题，一定要先判定是否有序，有序则排列，否则是组合问题. 分配类问题，一般遵循“先分堆再分配”原则.

（ ）必做2 2013成都财富全球论坛组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，则不同的派给方案共有（ ）

A. 25种 B. 150种

C. 240种 D. 360种

精妙解法 五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，分为两类，第一类为有一样3人做，另2样各一人：C A =60；第二类为有两样各2人做，另一样1人做： C C A =90，总共有60+90=150种分派方法，故选B.

极速突击 在分堆问题中，要特别注意“均分”，不要错误地考虑顺序. 选派问题，一般遵循“先选后派”的原则，以免出现重复计算和思维混乱.

误点警示 常出现以下错解：（1）A （C +A ）=540种，错因是先分配3人，再分配剩下2人，造成重复计算.

（2）C A +C C A ，错因是第二类中，没有注意到分组2+2+1中隐藏着均分问题.

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解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：

（1）特殊元素优先安排的策略；

（2）合理分类和准确分步的策略；

（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；

（4）正难则反、等价转化的策略；

（5）相邻问题捆绑处理的策略；

（6）不相邻问题插空处理的策略；

（7）定序问题除法处理的策略；

（8）分排问题直排处理的策略；

（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；

（10）构造模型的策略.

5 二项式定理

（ ）必做1 若x- 6展开式的常数项为60，则常数a的值为________，此常数项对应的二项式系数是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r（- ）rx-2r=C （- ）rx6-3r，令r=2得x- 6的常数项为C a，所以令C a=60，即15a=60，解得a=4. 常数项对应的二项式系数为C =15.

极速突击 用好二项式定理的通项公式，注意区别系数和二项式系数.

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二项式定理的通项公式Tk+1=C an-kbk，它是（a+b）n的展开式的第k+1项，这里k=0，1，…，n. 它反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数. 解题时注意方程思想的应用.endprint