高考数学必做客观题——立体几何

花敏

1 空间几何体的直观图与三视图

（ ）必做1 如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是___________.

图1

精妙解法 由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱. 棱柱的底面是等腰梯形，梯形的两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体的体积V= ×（2+8）×4×10=200.

极速突击 此类试题的突破点在于观察三视图，将其还原成几何体. 具体步骤为：第一步，把每个视图分解为基本图形（如三角形、长方形、圆等）；第二步，结合对应部分的三视图，想象对应部分的几何体；第三步，结合虚、实线，概括出组合体.

（ ）必做2 若某多面体的三视图（单位： cm）如图2所示， 则此多面体外接球的表面积是（ ）

A. 18π cm2 B. 24π cm2

C. 27π cm2 D. 36π cm2

精妙解法 先还原出该几何体的直观图形. 该题所表达的几何体是一个棱长为3的正方体截去一个正三棱锥剩下的部分（如图3所示），所以这个几何体的外接球与（母体）正方体的外接球是一致的. 正方体的体对角线就是球的一直径. 答案选C.

极速突击 在正方体ABCD-A1B1C1D1中（如图4所示），各棱长为a，一个考生应该具备下面几个知识点：

（1）正方体中有两个重要关系的截面，如截面A1C1B与截面AD1C，两个都是正三角形，且相互平行，都垂直于体对角线B1D，并且三等分B1D.

（2）正方体的体对角线长相等且交于一点，互相平分，交点为O，它到正方体八个顶点的距离相等，所以正方体的外接球（过正方体的八个顶点的球）的球心就是O，直径等于正方体的体对角线的长.

（3）正方体中如A1，C1，B，D四点构成一个正四面体，因此任何一个确定的正方体对应于一种大小确定的正四面体；反过来，任何一个正四面体，只能扩张为一个确定的正方体. 从而在解决正四面体的许多数量关系时可以考虑外延到正方体中进行思考（这种方法容易记忆），如正四面体的高就等于正方体的体对角线长的 ，正四面体相对棱之间的距离等于正方体的棱长，正四面体的外接球就是正方体的外接球等.

（4）正方体可以分解为所需要的若干几何体，反过来，许多几何体也可以扩展回归到正方体中进行考虑（包括正方体的棱长、对角线以及各种截面等问题）.

以上知识绝大多数都可以推广到长方体中去.

金刊提醒

三视图的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方正投影得到的，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线. 基本原则是“长对正、高平齐、宽相等”.

2 空间几何体的表面积与体积

（ ）必做1 如图1所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1-B1EDF的体积为__________.

图1

精妙解法 首先可以证明底面B1EDF是平行四边形，故四棱锥C1-B1EDF的体积是三棱锥C1-EDF的体积的2倍.

又因为V =V = · ·a·a= ，所以四棱锥C1- B1EDF的体积是 .

极速突击 本题若直接求点C1到底面B1EDF的距离会比较麻烦，而抓住底面是平行四边形，则可以把四棱锥C1-B1EDF的体积转化为三棱锥C1-EDF的体积的2倍，然后再利用等体积法转化为求三棱锥E-DFC的体积，而E点到平面DFC1的距离易求.

（ ）必做2 如图2所示，正四面体ABCD的外接球的体积为4 π，则正四面体ABCD的体积是_____.

精妙解法 法1：由已知 πR3=4 π，所以R= .

设AE为球的直径. 故AD⊥DE，AE⊥O1D.

设AD=a，所以O1D= · a= a，所以AO1= a，

O1E=2R-AO1=2 - a.

由射影定理知，O1D2=AO1·O1E，解得a=2 . 故V= · a2·AO1= .

法2：正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线长为球的直径.

由 πR3=4 π，所以R= ，所以正方体棱长为2，

所以AB=2 ，S△BCD= ·2 ·2 ·sin60°=2 .

点A到平面BCD的距离h= ·2R= ，所以VA-BCD= S△BCD·h= .

极速突击 方法1设法寻求正四面体的棱长与球的半径之间的关系；方法2将正四面体ABCD置于正方体中.

金刊提醒

同学们应当熟练掌握空间几何体的表面积和体积公式，若所给几何体为柱、锥、台、球等简单几何体，可直接套用公式计算求解；若所给几何体的体积、表面积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补体法等方法进行求解，将不规则问题合理地转化为我们熟悉的几何体加以解决.

3 空间的平行关系

（ ）必做1 用a，b，c表示三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出下列命题：

①若a∥α，b∥α，则a∥b；

②若a∥c，c∥α，则a∥α；

③若α∥γ， β∥γ，则α∥β；

④若a∥α，a∥β，则α∥β.

其中真命题是______________.（填上所有真命题的序号）

精妙解法 ①a与b应该有三种位置关系，除平行外，还可能相交或异面. ②由c∥α，过c作一个平面和α交于直线l，则c∥l. 又因为a∥c，所以a∥l. 又因为a 埸α，l∈α，所以a∥α. ③作直线l，使l⊥γ，则由α∥γ， β∥γ，得l⊥α，l⊥β，故α∥β. ④α与β还可能相交. 故其中的真命题是②③.endprint

极速突击 高考试题中，常会考查判断一些结论在立体几何中是否成立的问题. 处理这种类型的问题，要求我们能熟练记住所有的公理、定理，以及一些常见的小结论. 如果命题正确，那么一定可以进行严格的证明；如果感觉命题错误，那么可以举反例来否定.

（ ）必做2 如图1，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点， N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，若已知MN∥平面B1BDD1，则M点的轨迹为__________.

精妙解法 首先考虑四边形EFGH及其内部的特殊点，发现HN∥BD，可得HN∥平面B1BDD1，GN，EN都与平面B1BDD1相交；再考虑FN∥平面B1BDD1是否成立，取B1D1的中点O1，可以证明四边形BO1FN为平行四边形，所以FN∥BO1，可得FN∥平面B1BDD1.

由两条相交直线HN和FN可以确定一个平面，记为α，则由面面平行的判定定理可得α∥平面B1BDD1，故α内的任何一条线都平行于平面B1BDD1. 又因为α∩平面EFGH=FH，所以M点的轨迹为线段FH.

极速突击 本题的突破点在于先研究特殊点，采用了从特殊到一般的思想方法. 知识点方面主要考查“线面平行”的判定，要证“线面平行”，只要证“线线平行”或“面面平行”. 一般地，我们习惯选择降维处理，即优先考虑用“线线平行”来推出“线面平行”，所以思维的落脚点应该在寻找“线线平行”上. 若有时寻找线线平行比较困难，我们也可以考虑通过“面面平行”来得到“线面平行”. 此外，本题还用到了面面平行的判定定理和面面平行的性质.

金刊提醒

在立体几何的“平行大家庭”中有三个成员： “线线平行”“线面平行”“面面平行”.同学们应该熟练掌握这三个成员之间的合理转化，要判定其中的一种关系应考虑从其他两种平行关系出发.

4 空间的垂直关系

（ ）必做1 已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，那么①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β. 由上述条件可推出的结论有_________. （请将你认为正确的结论的序号都填上）

精妙解法 因为α⊥γ，γ∩α=m，l 奂γ，l⊥m，所以l⊥α. 又因为l 奂β，所以α⊥β.

举反例：如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，记α为平面ADD1A1，γ为平面ABCD， β为平面ABC1D1，l为直线AB，满足已知条件，但m与β不垂直， β与γ也不垂直. 故由上述条件可推出的结论有②④.

图1

极速突击 本题主要考查了“线面垂直”的判定定理、“面面垂直”的判定和性质定理. 要证明“线面垂直”可以通过“线线垂直”或“面面垂直”转化得到，要证明“面面垂直”可通过“线面垂直”得到. 而已知“面面垂直”，又可以得到“线面垂直”. 同学们应该熟练掌握立体几何的“垂直大家庭”的三大成员——“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间的合理转化. 另外，在举反例时我们常可以借助实体模型，如正方体来进行排除验证.

（ ）必做2 如图2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. 在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，则 的值为_________.

图2

精妙解法 因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且交于AC，所以AA1⊥平面AA1C1C，AA1⊥AC，所以AA1⊥平面ABC. 又AB2+AC2=BC2，所以∠A=90°.

以A为原点，AC为x轴、AB为y轴，建立空间直角坐标系如图3所示，则B（0，3，0），C1（4，0，4）.

设D（x，y，z）是直线BC1上一点，且 =λ ，则有（x，y-3，z）=λ（4，-3，4），解得x=4λ，y=3-3λ，z=4λ，所以 =（4λ，3-3λ，4λ）， =（0，3，-4）.

又因为AD⊥A1B，所以0+3（3-3λ）-16λ=0，解得λ= ，即 的值为 .

图3

极速突击 本题的突破点在于先由已知条件——面面垂直和长度关系，得到“空间直三面角”，启发我们可以建立空间直角坐标系解决问题.

金刊提醒

立体几何中，我们研究点、线、面的位置关系，不仅要熟练掌握“平行大家庭”和“垂直大家庭”的各成员之间的相互转化，还要注意这两大家庭之间的密切联系. 如：若a⊥α，b⊥α，则a∥b；若l⊥α，l⊥β，则α∥β等.

金刊提醒

若立体几何的题目中出现一些垂直关系，则我们一般优先考虑“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间的相互转化.但有时转化不明显或有困难，而题目中又有明显的可以建系的条件，往往可以考虑建立空间直角坐标系来解决.

5 空间的角

（ ）必做1 如图1，过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA=BA，则下列结论中正确的是___________. （填上所有正确命题的序号）

①BD⊥PC；

②BC与PD所成的角等于AD与PB所成的角；

③PB与平面PAC所成的角等于PD与平面PAC所成的角；

④平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小为45°.

图1

精妙解法 设AC与BD交于点O，易证BD⊥平面PAC，故BD⊥PC，所以①正确.

图2

因为BC∥AD，所以∠PDA是异面直线BC与PD所成的角，为45°；易知AD与PB所成的角为90°，故②错误.

因为BD⊥平面PAC，所以PB与平面PAC所成的角为∠BPO，PD与平面PAC所成的角为∠DPO. 又因为PB=PD，点O为BD的中点，所以∠BPO=∠DPO，故③正确.endprint

易证CD∥平面PAB，设平面PCD∩平面PAB=PE，可得PE∥CD，易证PA⊥PE，PD⊥PE，故∠APD为平面ABP和平面CDP所成的二面角的平面角. 又因为△PAD为等腰直角三角形，所以∠APD=45°，④正确.

故结论中正确的是①③④.

极速突击 本题主要考查空间中的角，采用了“几何法”求解，将其转化为平面角来处理. 其一般步骤为： 一找、二证、三算. 即首先找到或作出空间角对应的平面角，其次要进行证明，最后一般放在三角形中求解.

（ ）必做2 如图3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且异面直线AD与CC1所成的角为45°，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为__________.

图3

图4

精妙解法 法1：取AC的中点E，A1C1的中点E1，连结BE，B1E1，EE1，则可证BE⊥平面AA1C1C. 在矩形BEE1B1中作DH∥BE，则可证得DH⊥平面AA1C1C. 连结AH，∠DAH是AD与平面AA1C1C所成的角.

因为异面直线AD与CC1所成的角为45°，所以∠ADB=45°，所以在Rt△ABD中，BD=AB=1， AD= .

又因为DH=BE= ，在Rt△DHA中，sin∠DAH= = .

法2：取AC的中点E，连结BE，则BE⊥AC，如图5，建立空间直角坐标系B-xyz，则A ， ，0，D（0，0，1），则 =- ，- ，1.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，所以BE⊥平面AA1C1C. 所以 = ，0，0为平面AA1C1C的一个法向量，所以cos〈 ， 〉= - .

设AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα=cos〈 ， 〉= .

极速突击 本题采用两种方法求解，方法1为“几何法”，可按照“一找、二证、三算”的步骤进行，这里的难点是找到过点D且与平面AA1C1C垂直的线段；方法2为“向量法”，先建立合适的空间直角坐标系，再求解“斜线与平面法向量所成角的余弦值”，最后由“斜线与平面法向量所成角的余弦值的绝对值”等于“斜线与平面所成角的正弦值”得出答案.

误点警示 同学们要正确理解“斜线与平面法向量所成的角”和“斜线与平面所成的角”的关系，不要误以为它们是相等的.

金刊提醒

求异面直线所成的角，一般可以采用平移的方法，将其转化为两条相交直线所成的锐角或直角，然后在某个三角形中进行求解；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法进行求解.

求直线与平面所成的角有两种方法：①几何法，即转化为斜线与其在平面内的射影所成的角，然后在直角三角形中求解；②向量法，设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sinθ=cos〈m，n〉.

求二面角有两种方法：①几何法，即先作出二面角的平面角，然后在三角形中求解；②向量法，应注意法向量的方向，或直接从图形中观察出其是钝二面角还是锐二面角，再利用向量夹角与平面角的互补关系而得.

6 空间的距离

（ ）必做1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线BD与B1C的距离为___________.

精妙解法 法1：如图1，由B1C∥A1D，可得B1C∥平面A1BD，故异面直线BD与B1C的距离即为点C到平面A1BD的距离. 由等体积变换V =V 易得C到平面A1BD的距离为 .

图1

法2：建立如图2所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0），B （0，0，1）. 若设与直线BD，B，C都垂直的向量为n=（x，y，z），则 ·n=x+y=0， ·n=x-z=0. 设x=1，得y=-1，z=1，所以n=（1，-1，1）.

图2

所以异面直线BD与B1C的距离d= cos〈 ，n〉= = = .

极速突击 求两条异面直线间的距离时，一般先考虑能否直接找到它们的公垂线段，若容易找到，则作出公垂线段后再求其长度；若直接找公垂线段比较困难，则可以考虑转化为直线到平面的距离，或者点到平面的距离求解；也可以考虑建系，采用向量的方法求解.

金刊提醒

运用向量法求解点A到平面α的距离时，可以采用如下的方法：建立适当的空间直角坐标系→确定点A的坐标→在平面α内取一点B→求出向量 →求出平面α的一个法向量n→利用公式求出点A到平面α的距离. 运用几何法求点A到平面α的距离时，可以使用等体积变换，也可以找一个过点A的平面与平面α垂直，利用面面垂直的性质定理直接作出点A到平面α的垂线段. 线面距离、面面距离都可以转化成点面距离，当题目中的距离难以找出来时，应采用空间向量进行求解，避免耗时过多.endprint

易证CD∥平面PAB，设平面PCD∩平面PAB=PE，可得PE∥CD，易证PA⊥PE，PD⊥PE，故∠APD为平面ABP和平面CDP所成的二面角的平面角. 又因为△PAD为等腰直角三角形，所以∠APD=45°，④正确.

故结论中正确的是①③④.

极速突击 本题主要考查空间中的角，采用了“几何法”求解，将其转化为平面角来处理. 其一般步骤为： 一找、二证、三算. 即首先找到或作出空间角对应的平面角，其次要进行证明，最后一般放在三角形中求解.

（ ）必做2 如图3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且异面直线AD与CC1所成的角为45°，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为__________.

图3

图4

精妙解法 法1：取AC的中点E，A1C1的中点E1，连结BE，B1E1，EE1，则可证BE⊥平面AA1C1C. 在矩形BEE1B1中作DH∥BE，则可证得DH⊥平面AA1C1C. 连结AH，∠DAH是AD与平面AA1C1C所成的角.

因为异面直线AD与CC1所成的角为45°，所以∠ADB=45°，所以在Rt△ABD中，BD=AB=1， AD= .

又因为DH=BE= ，在Rt△DHA中，sin∠DAH= = .

法2：取AC的中点E，连结BE，则BE⊥AC，如图5，建立空间直角坐标系B-xyz，则A ， ，0，D（0，0，1），则 =- ，- ，1.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，所以BE⊥平面AA1C1C. 所以 = ，0，0为平面AA1C1C的一个法向量，所以cos〈 ， 〉= - .

设AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα=cos〈 ， 〉= .

极速突击 本题采用两种方法求解，方法1为“几何法”，可按照“一找、二证、三算”的步骤进行，这里的难点是找到过点D且与平面AA1C1C垂直的线段；方法2为“向量法”，先建立合适的空间直角坐标系，再求解“斜线与平面法向量所成角的余弦值”，最后由“斜线与平面法向量所成角的余弦值的绝对值”等于“斜线与平面所成角的正弦值”得出答案.

误点警示 同学们要正确理解“斜线与平面法向量所成的角”和“斜线与平面所成的角”的关系，不要误以为它们是相等的.

金刊提醒

求异面直线所成的角，一般可以采用平移的方法，将其转化为两条相交直线所成的锐角或直角，然后在某个三角形中进行求解；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法进行求解.

求直线与平面所成的角有两种方法：①几何法，即转化为斜线与其在平面内的射影所成的角，然后在直角三角形中求解；②向量法，设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sinθ=cos〈m，n〉.

求二面角有两种方法：①几何法，即先作出二面角的平面角，然后在三角形中求解；②向量法，应注意法向量的方向，或直接从图形中观察出其是钝二面角还是锐二面角，再利用向量夹角与平面角的互补关系而得.

6 空间的距离

（ ）必做1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线BD与B1C的距离为___________.

精妙解法 法1：如图1，由B1C∥A1D，可得B1C∥平面A1BD，故异面直线BD与B1C的距离即为点C到平面A1BD的距离. 由等体积变换V =V 易得C到平面A1BD的距离为 .

图1

法2：建立如图2所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0），B （0，0，1）. 若设与直线BD，B，C都垂直的向量为n=（x，y，z），则 ·n=x+y=0， ·n=x-z=0. 设x=1，得y=-1，z=1，所以n=（1，-1，1）.

图2

所以异面直线BD与B1C的距离d= cos〈 ，n〉= = = .

极速突击 求两条异面直线间的距离时，一般先考虑能否直接找到它们的公垂线段，若容易找到，则作出公垂线段后再求其长度；若直接找公垂线段比较困难，则可以考虑转化为直线到平面的距离，或者点到平面的距离求解；也可以考虑建系，采用向量的方法求解.

金刊提醒

运用向量法求解点A到平面α的距离时，可以采用如下的方法：建立适当的空间直角坐标系→确定点A的坐标→在平面α内取一点B→求出向量 →求出平面α的一个法向量n→利用公式求出点A到平面α的距离. 运用几何法求点A到平面α的距离时，可以使用等体积变换，也可以找一个过点A的平面与平面α垂直，利用面面垂直的性质定理直接作出点A到平面α的垂线段. 线面距离、面面距离都可以转化成点面距离，当题目中的距离难以找出来时，应采用空间向量进行求解，避免耗时过多.endprint

易证CD∥平面PAB，设平面PCD∩平面PAB=PE，可得PE∥CD，易证PA⊥PE，PD⊥PE，故∠APD为平面ABP和平面CDP所成的二面角的平面角. 又因为△PAD为等腰直角三角形，所以∠APD=45°，④正确.

故结论中正确的是①③④.

极速突击 本题主要考查空间中的角，采用了“几何法”求解，将其转化为平面角来处理. 其一般步骤为： 一找、二证、三算. 即首先找到或作出空间角对应的平面角，其次要进行证明，最后一般放在三角形中求解.

（ ）必做2 如图3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且异面直线AD与CC1所成的角为45°，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为__________.

图3

图4

精妙解法 法1：取AC的中点E，A1C1的中点E1，连结BE，B1E1，EE1，则可证BE⊥平面AA1C1C. 在矩形BEE1B1中作DH∥BE，则可证得DH⊥平面AA1C1C. 连结AH，∠DAH是AD与平面AA1C1C所成的角.

因为异面直线AD与CC1所成的角为45°，所以∠ADB=45°，所以在Rt△ABD中，BD=AB=1， AD= .

又因为DH=BE= ，在Rt△DHA中，sin∠DAH= = .

法2：取AC的中点E，连结BE，则BE⊥AC，如图5，建立空间直角坐标系B-xyz，则A ， ，0，D（0，0，1），则 =- ，- ，1.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，所以BE⊥平面AA1C1C. 所以 = ，0，0为平面AA1C1C的一个法向量，所以cos〈 ， 〉= - .

设AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα=cos〈 ， 〉= .

极速突击 本题采用两种方法求解，方法1为“几何法”，可按照“一找、二证、三算”的步骤进行，这里的难点是找到过点D且与平面AA1C1C垂直的线段；方法2为“向量法”，先建立合适的空间直角坐标系，再求解“斜线与平面法向量所成角的余弦值”，最后由“斜线与平面法向量所成角的余弦值的绝对值”等于“斜线与平面所成角的正弦值”得出答案.

误点警示 同学们要正确理解“斜线与平面法向量所成的角”和“斜线与平面所成的角”的关系，不要误以为它们是相等的.

金刊提醒

求异面直线所成的角，一般可以采用平移的方法，将其转化为两条相交直线所成的锐角或直角，然后在某个三角形中进行求解；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法进行求解.

求直线与平面所成的角有两种方法：①几何法，即转化为斜线与其在平面内的射影所成的角，然后在直角三角形中求解；②向量法，设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sinθ=cos〈m，n〉.

求二面角有两种方法：①几何法，即先作出二面角的平面角，然后在三角形中求解；②向量法，应注意法向量的方向，或直接从图形中观察出其是钝二面角还是锐二面角，再利用向量夹角与平面角的互补关系而得.

6 空间的距离

（ ）必做1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线BD与B1C的距离为___________.

精妙解法 法1：如图1，由B1C∥A1D，可得B1C∥平面A1BD，故异面直线BD与B1C的距离即为点C到平面A1BD的距离. 由等体积变换V =V 易得C到平面A1BD的距离为 .

图1

法2：建立如图2所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0），B （0，0，1）. 若设与直线BD，B，C都垂直的向量为n=（x，y，z），则 ·n=x+y=0， ·n=x-z=0. 设x=1，得y=-1，z=1，所以n=（1，-1，1）.

图2

所以异面直线BD与B1C的距离d= cos〈 ，n〉= = = .

极速突击 求两条异面直线间的距离时，一般先考虑能否直接找到它们的公垂线段，若容易找到，则作出公垂线段后再求其长度；若直接找公垂线段比较困难，则可以考虑转化为直线到平面的距离，或者点到平面的距离求解；也可以考虑建系，采用向量的方法求解.

金刊提醒

运用向量法求解点A到平面α的距离时，可以采用如下的方法：建立适当的空间直角坐标系→确定点A的坐标→在平面α内取一点B→求出向量 →求出平面α的一个法向量n→利用公式求出点A到平面α的距离. 运用几何法求点A到平面α的距离时，可以使用等体积变换，也可以找一个过点A的平面与平面α垂直，利用面面垂直的性质定理直接作出点A到平面α的垂线段. 线面距离、面面距离都可以转化成点面距离，当题目中的距离难以找出来时，应采用空间向量进行求解，避免耗时过多.endprint