高考数学必做解答题——三角函数与三角恒等变换

张雪峰

1 三角函数的概念

（ ）必做1 如图1，以Ox为始边作角α与β（0<β<α<π），它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为- ， .

图1

（1）求 的值；

（2）若 · =0，求sin（α+β）.

破解思路 （1）先根据三角函数的定义求出sinα，cosα，代入求三角函数式子的值.

（2）根据 · =0可得 ⊥ ，再结合β的取值范围求出sinβ，cosβ的值，则sin（α+β）可求.

精妙解法 （1）由三角函数的定义得cosα=- ，sinα= ，

所以原式= = =2cos2α=2×- = .

（2）因为 · =0，所以 ⊥ ，所以α-β= ，所以β=α- .

所以sinβ=sinα- =-cosα= ，cosβ=cosα- =sinα= .

从而可得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ= × +- × = .

极速突击 （1）三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，便可求该角的正弦值、余弦值、正切值.

（2）同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件.

2 三角函数的图象与性质

（ ）必做1 已知函数f（x）=sinωxcosωx+ cos2ωx- （ω>0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）图象的任意两条对称轴，且x1-x2的最小值为 .

（1）求f（x）的表达式；

（2）将函数f（x）的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0在区间0， 上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围.？摇

破解思路 利用二倍角公式与和差公式可以对三角函数的解析式进行化简，利用两相邻对称轴的距离得到周期来求出ω. 在进行三角函数图象变换时按照先平移再伸缩的步骤进行，得到新的函数y=g（x），由其与y=-k在0， 上的交点为一个，得到k的取值范围.

精妙解法 （1）f（x）= sin2ωx+ · - = sin2ωx+ cos2ωx=sin2ωx+ .

由题意知，函数f（x）的最小正周期T=2× = ，T= = = ，所以ω=2. 所以f（x）=sin4x+ .

（2）将f（x）的图象向右平移 个单位后，得到f（x）=sin4x- 的图象；再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到f（x）=sin2x- 的图象.

所以g（x）=sin2x- .

令2x- =t，因为0≤x≤ ，所以- ≤t≤ .

g（x）+k=0在区间0， 上有且只有一个实数解，即函数g（t）=sint与y=-k在区间- ， 上有且只有一个交点.

如图1，由正弦函数的图象可知 - ≤-k< 或-k=1.

图1

所以-

极速突击 本题的突破点就是能正确地化简函数解析式，对和差公式、二倍角公式能够熟练运用. 确定函数y=g（x）的解析式后，本题解法中利用了两个数学思想——整体思想（设2x- =t，将2x- 视为一个整体）和数形结合思想，将原问题转化为g（t）=sint与y=-k在区间- ， 上有且只有一个交点的实数k的取值范围.

误点警示 在进行图象变换时一定要注意是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，两者平移的单位是不一样的.在利用函数的图象解题时这里是转化为y=-k，注意有一个负号，并且在三角函数图象的最高点处也是一个交点，此处容易遗漏.

（ ）必做2 如图2是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8米，圆上最低点与地面的距离为0.8米，且每60秒转动一圈. 图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面间的距离为h.

图2

（1）求h与θ之间的函数关系式；

（2）设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该缆车首次到达最高点时所用的时间.

破解思路 （1）当θ> 时可以把h分成三段求解，用同样的方法求θ∈0， ， ， π， π，2π时的高度h，可以发现不管θ为多少时h与θ之间的函数关系式是一样的. （2）在第（1）问的基础上求h与t之间的函数关系式就是把θ用t来表示，根据角速度可得. 缆车首次到达最高点时所用的时间就是求三角函数取最大值时t的值.

精妙解法 （1）过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M（如图2）.

当θ> 时，∠BOM=θ- ，h=OA+BM+0.8=5.6+4.8sinθ- ；当0≤θ≤ 时，h=OA+0.8-OM=5.6-4.8sin -θ=5.6+4.8sinθ- . 当 ≤θ< π或 π≤θ<2π时，上式也成立.

所以h与θ（θ∈[0，+∞））之间的函数关系式为h=5.6+4.8sinθ- .

（2）点A在圆上转动的角速度是 弧度/秒，所以t秒转过的弧度数为 t，所以h=5.6+4.8sin t- ，t∈[0，+∞）.

首次到达最高点时， h=10.4米，即sin t- =1， t- = ，即t=30秒时，该缆车首次到达最高点.

极速突击 本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为y=sinx，y=cosx等函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法. 用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者用数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质.

金刊提醒

处理三角函数图象问题，首先应弄清A，ω，φ的功能. 同学们应当掌握根据相应的三角函数解析式绘出相应曲线草图并给出相应曲线特征的方法.

3 三角函数的和差倍角运算

（ ）必做1 已知函数f（x）=2cos cos -sin .

（1）设θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面积为 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式对函数解析式进行化简，合为一个三角函数；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范围的限制. （2）在△ABC中根据第（1）问求出的角θ的值就是角C的值，应用面积公式能够得到两边a，b的一个关系式，再结合余弦定理可列出a，b的第二个关系式，从而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因为θ∈- ， ，所以θ= - 或 .

（2）因为C∈（0，π），由（1）知，C= . 又因为△ABC的面积为 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，设内角A，B的对边分别是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

极速突击 该题的两个问题都是求三角函数的有关值，所以要求我们能根据公式知道要求什么，必须求什么.能熟练运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系、次数关系、三角函数名等. 抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，从而联想到相应的公式，找到解题的切入点. 对公式的逆用式和变形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函数在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式对函数解析式进行化简，合并成一个三角函数，把得到的角看成一个整体求出其取值范围，再求整个三角函数的值的范围.根据给出的一个角的函数值可以求出角C的大小，对已知条件进行化简把其中的两个角转化为用一个角来表示即可求出一个三角函数值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因为- ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函数f（x）在- ， 上的值域为[0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因为0

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因为2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因为B= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

极速突击 求值问题的基本类型：①给角求值；②给值求值；③给式求值；④求函数式的最值或值域；⑤化简求值.三角函数中的求值问题通常要寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；注意由切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法解决.

金刊提醒

三角函数的图象与性质的问题基本都是与三角函数的恒等变换结合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之间的关系，解题的方向是将异角化同角或者将异角的和（差）看做单角（如将α+β看做一个角），从而简化问题，更轻松解决问题.

三角函数的求值、化简与证明的难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式；其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、化简与证明的方法. 突破这两个难点的关键是：①要熟练灵活运用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式以及降幂公式和辅助角公式；②要把握三角函数的求值、化简与证明的常用技巧，如常值代换技巧，特别是“1”的代换；项的分拆与角的配凑技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦（切））；引入辅助角技巧等.

金刊提醒

处理三角函数图象问题，首先应弄清A，ω，φ的功能. 同学们应当掌握根据相应的三角函数解析式绘出相应曲线草图并给出相应曲线特征的方法.

3 三角函数的和差倍角运算

（ ）必做1 已知函数f（x）=2cos cos -sin .

（1）设θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面积为 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式对函数解析式进行化简，合为一个三角函数；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范围的限制. （2）在△ABC中根据第（1）问求出的角θ的值就是角C的值，应用面积公式能够得到两边a，b的一个关系式，再结合余弦定理可列出a，b的第二个关系式，从而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因为θ∈- ， ，所以θ= - 或 .

（2）因为C∈（0，π），由（1）知，C= . 又因为△ABC的面积为 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，设内角A，B的对边分别是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

极速突击 该题的两个问题都是求三角函数的有关值，所以要求我们能根据公式知道要求什么，必须求什么.能熟练运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系、次数关系、三角函数名等. 抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，从而联想到相应的公式，找到解题的切入点. 对公式的逆用式和变形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函数在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式对函数解析式进行化简，合并成一个三角函数，把得到的角看成一个整体求出其取值范围，再求整个三角函数的值的范围.根据给出的一个角的函数值可以求出角C的大小，对已知条件进行化简把其中的两个角转化为用一个角来表示即可求出一个三角函数值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因为- ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函数f（x）在- ， 上的值域为[0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因为0

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因为2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因为B= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

极速突击 求值问题的基本类型：①给角求值；②给值求值；③给式求值；④求函数式的最值或值域；⑤化简求值.三角函数中的求值问题通常要寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；注意由切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法解决.

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三角函数的图象与性质的问题基本都是与三角函数的恒等变换结合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之间的关系，解题的方向是将异角化同角或者将异角的和（差）看做单角（如将α+β看做一个角），从而简化问题，更轻松解决问题.

三角函数的求值、化简与证明的难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式；其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、化简与证明的方法. 突破这两个难点的关键是：①要熟练灵活运用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式以及降幂公式和辅助角公式；②要把握三角函数的求值、化简与证明的常用技巧，如常值代换技巧，特别是“1”的代换；项的分拆与角的配凑技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦（切））；引入辅助角技巧等.

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处理三角函数图象问题，首先应弄清A，ω，φ的功能. 同学们应当掌握根据相应的三角函数解析式绘出相应曲线草图并给出相应曲线特征的方法.

3 三角函数的和差倍角运算

（ ）必做1 已知函数f（x）=2cos cos -sin .

（1）设θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面积为 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式对函数解析式进行化简，合为一个三角函数；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范围的限制. （2）在△ABC中根据第（1）问求出的角θ的值就是角C的值，应用面积公式能够得到两边a，b的一个关系式，再结合余弦定理可列出a，b的第二个关系式，从而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因为θ∈- ， ，所以θ= - 或 .

（2）因为C∈（0，π），由（1）知，C= . 又因为△ABC的面积为 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，设内角A，B的对边分别是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

极速突击 该题的两个问题都是求三角函数的有关值，所以要求我们能根据公式知道要求什么，必须求什么.能熟练运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系、次数关系、三角函数名等. 抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，从而联想到相应的公式，找到解题的切入点. 对公式的逆用式和变形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函数在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式对函数解析式进行化简，合并成一个三角函数，把得到的角看成一个整体求出其取值范围，再求整个三角函数的值的范围.根据给出的一个角的函数值可以求出角C的大小，对已知条件进行化简把其中的两个角转化为用一个角来表示即可求出一个三角函数值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因为- ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函数f（x）在- ， 上的值域为[0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因为0

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因为2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因为B= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

极速突击 求值问题的基本类型：①给角求值；②给值求值；③给式求值；④求函数式的最值或值域；⑤化简求值.三角函数中的求值问题通常要寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；注意由切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法解决.

金刊提醒

三角函数的图象与性质的问题基本都是与三角函数的恒等变换结合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之间的关系，解题的方向是将异角化同角或者将异角的和（差）看做单角（如将α+β看做一个角），从而简化问题，更轻松解决问题.

三角函数的求值、化简与证明的难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式；其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、化简与证明的方法. 突破这两个难点的关键是：①要熟练灵活运用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式以及降幂公式和辅助角公式；②要把握三角函数的求值、化简与证明的常用技巧，如常值代换技巧，特别是“1”的代换；项的分拆与角的配凑技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦（切））；引入辅助角技巧等.