一种基于小波包样本熵和流形学习的故障特征提取模型

向 丹，葛 爽

(1.广东技术师范学院 自动化学院，广州 510635;2.华南理工大学 机械与汽车工程学院，广州 510640)

利用振动信号对机械状态进行监测是机械故障诊断技术中的一种有效手段，而故障特征的提取是故障诊断的关键，关系到故障诊断的准确性和早期预报的可能性。因此，人们从各种角度提取振动信号的特征参数，包括时域、频域和时频域等，取得了一定的效果［1－2］。但由于机械故障信号的非线性、非平稳特性，使得传统的基于线性系统的特征提取方法不能有效提取故障的非线性特征。因此，人们开始探索非线性动力学参数的特征提取方法。

近年来，人们将熵的概念，包括样本熵、能量熵、奇异熵和近似熵等，作为特征参数提取的方法引入到故障诊断领域。YAN等［3］将近似熵概念引入到轴承状态监测上，并取得了很好的效果。Pincus［4］提出了近似熵的改进算法样本熵，并广泛用于生理信号处理上。赵志宏等［5］提出了一种基于经验模态分解与样本熵的轴承故障诊断方法。流形学习作为一种非线性的数据

维数约简方法，能有效地挖掘高维非线性数据内在几何分布特征，具有很好的非线性复杂信息处理能力，已被用于机械故障诊断的提取领域。粟茂林等［6］运用局部切空间排列算法对最优小波系统矩阵进行优化，有效地提取了引发故障的冲击成分。葛爽等［7］提出一种基于扩散映射与支持向量机的能量耗损信号分析，对于能量耗损信号分析非常有效。

虽然故障诊断理论和方法的研究取得了很大的进步，但对于不确定、非线性的复杂故障诊断问题，采用传统的统计和信号处理的特征提取方法的效果十分有限。基于此，本文提出了基于小波包样本熵和流形学习的故障特征提取模型，并通过试验验证该模型的有效性。

1 小波包变换与样本熵

1.1 小波包变换

根据多分辨率分析理论，定义小波包变换两个函数［8］。

其中φ(t)与φ(t)分别为尺度函数与小波函数。

在正交的情况下，函数wm(t)(m=0，1，2)分别为

式中，j为尺度参数，wj，m，n为小波包原子。与小波变换不同，小波包变换将信号的高频部分与低频部分分别进行分解。小波包分解的结构图如图1所示。

图1 3层小波包分解结构图Fig.1 3 layer wavelet packet decomposition structure diagram

图中S(K)表示原始信号，a表示低频，d表示高频，末尾数表示小波包分解的层数，即尺度数。

1.2 样本熵

设N个数据组成的时间序列为x(n)，样本熵的计算方法如下［4］:

(1)将时间序列按序号组成一个维数为m的向量;

(2)定义向量 Xm(i)与 Xm(j)之间的距离d［Xm(i)，Xm(j)］是两个对应元素中最大差值的绝对值，即

(3)统计Xm(i)与Xm(j)之间距离小于等于r的j(1≤j≤N －m，j≠i)的数目，记作 Bi。对于 1≤i≤N －m，定义

(4)增加维数到m+1，计算Xm+1(i)与Xm+1(j)小于等于r的距离的个数，记为Ai

定义:

(5)样本熵定义为

从样本熵定义可以看出，所求样本熵与m，r的取值有关，因此，确定m，r两个参数的选取对于样本熵的计算很重要。根据文献［9］的研究成果，当m=1或2，r=0.1－0.25 std(std为原始数据的标准差)时所得到的样本熵的统计特征比较合理，因此本研究取m=2，r=0.15 std。

2 流形学习与局部切空间排列

2.1 流形学习

流形学习法是一种基于微分几何与拓扑学的非线性高维数据处理方法，采用该方法能将高位数据在保持其主特征的基础上降低数据维数。假定给定数据集X={Xi，i=1，…，n}，Xi∈RD为独立同分布的，M 为嵌入在D维欧氏空间中的d维流形，定义嵌入映射f∶M⊂Rd→RD，其中D≫d，流形学习的任务就是在给定的观测数据X的前提下，获取其低维流形表达式Y={Yi，i=1，…，n}∈RD，构造出从高维空间到低维空间的非线性映射 f(·)［10］。

2.2 局部切空间排列

局部切空间排列(LTSA)算法通过逼近每一样本点的切空间来构建低维流形的局部几何结构，观测数据点在局部切空间的投影获取局部低维坐标，然后通过仿射变换得到全局坐标。给定一个样本点集{x1，x2，…，xn}，xi∈Rm，LTSA 的具体算法如下［11－13］:

第一步，寻找每个样本点的领域，不妨设xi={xi1，xi2，…，xik］为样本点xi包括自身在内的最近的K个邻域点所构成的矩阵。

第二步，局部线性投影。LTSA计算一个d维的仿射子空间来逼近Xi中的点，即:

其中 Θ =［θ1，…，θk］且 Q 的列数为 d，记=xilk为邻域矩阵 xi的中心点，Qi∑vi为中心化邻域矩阵Xi－=的奇异值分解，即 Qi，Vi分别为对应于最大的d个奇异值的左右奇异向量所构成的矩阵。这样很容易求出式(12)的最优解为:

从而可以得到局部坐标系统为:

第三步，将所有这些有交叠的局部坐标Θi=［θ(i)1，…)］排列起来以得到一个全局坐标系统T=［τ1，…，τN］。

LTSA能较好的恢复出流形等距的低维空间子集，而且LTSA并不要求这个低维空间子集是凸的，也就是说，LTSA方法对于带有空洞的流形，也具有很好的适用性。

3 基于小波包样本熵与流形学习的特征提取模型

由于利用原始信号的样本熵只能在一个尺度域进行分析，无法准确区分机械运行状况，利用小波包分析的多分辨率特性，将小波包分解与样本熵结合起来在多个尺度对原始信号进行特征的提取，然后利用流形学习的非线性复杂信息处理能力进一步提取高维数据的低维特征，该模型不仅增大了故障诊断率，而且降低了特征数据的复杂度，从而增强了故障模式别的分类性能。该特征提取模型如图2所示，具体步骤如下:

(1)信号分解:利用DB2小波对信号进行3层小波包多分辨率分解。

(2)信号重构:对经过分解得到的8个频带的序列进行重构，得到8个小波包重构信号，每个重构信号分别包含了原始信号各个不同频段的信息。

(3)计算小波包样本熵特征向量:由式(9)分别计算8个小波包样本熵，构成一个8维的特征向量:

(4)特征值的归一化处理。

(5)流形学习进一步特征提取:利用局部切空间排列对初提取的小波包样本熵特征向量进行低维流形特征的提取。

4 试验与结果分析

4.1 试验数据采集

本文的试验研究是在轴承振动试验台进行完成的，试验对象为JZQ－250型变速箱的滚动轴承，通过人为制造一些滚动轴承微小故障(故障直径都约为0.2 mm)来模拟真实故障进行试验和数据的采集。图3为滚动轴承故障诊断试验台。

图2 故障特征提取模型Fig.2 Fault feature extraction model

图3 轴承振动试验台Fig.3 Bearing vibration test bench

在齿轮箱滚动轴承的试验中，电机的转速为1 750 r/min，采用了正常滚动轴承和具有内圈故障、外圈故障和滚动体故障的滚动轴承，分别进行振动信号的采集。数据采集卡选用的是研华PCI－1711数据采集卡，5通道振动数据同步采集，采样频率为12 kHz。

4.2 特征提取分析

小波包特征熵特征提取方法基本思路是在某一分解尺度上将信号在不同的频带内分解，分别提取不同频带内的分解系数作为相应的特征向量。图4为试验轴承内圈故障信号的第3层小波包分解结果。每个频带的频率范围为750 Hz。

由图4可知，出现故障的齿轮箱在旋转过程中会产生周期性冲击的激振力，同时激发不同的频率成分，其振动信号为非平稳的复杂调制信号，细节信号中基本都出现了明显的有规律的冲击信号。对小波包分解重构的8个细节信号分别求出m=2时的样本值，图5是滚动轴承四种不同状态信号的小波包样本熵值的分布图。

由图5可以看出，滚动轴承不同状态下小波包样本熵值是不同的，不同频段样本熵值的大小反映了该频段信号分布的确定性。表1为不同频段小波包样本熵的平均值，可以看出，正常滚动轴承的小波包熵值大于其他3种工作状态的熵值，这是因为在正常状态下，振动信号的样本分布相对平均和不确定。当出现内圈或外圈或滚动体故障时，在相应的频带内会出现相应的共振频率，此时，在这个频带内的样本值将会增大，样本分布的不确定性减少，从而使得小波包熵值减少。由于滚动体故障样本集中更为严重，所以其小波包样本值最小。

图4 内圈故障信号及其小波包分析Fig.4 Fault signal of inner race and its wavelet packet analysis

图5 各频带小波包样本熵值分布图Fig.5 Wavelet packet sample entropy distribution map of each band

表1 各频带小波包样本熵平均值Tab.1 Average value of each band wavelet packet sample entropy

因此，可以通过小波包对振动信号进行不同频段的分解和重构，得到包含不同的频段信息的样本熵，将之作为故障特征向量(此为特征提取第一阶段)，再用流形学习进一步提取低维的故障特征(此为特征提取第二阶段)。由于不同的流形学习法对不同数据的特征提取效果不同，作为比较，本文将用一种典型的非线性流形学习(LTSA)和一种典型的线性流形学习(PCA)对提取的小波包样本熵进行降维。针对滚动轴承四种不同工作状态信号，每个状态信号取1 024个点作为一个样本，采用db2小波包对信号进行3层次分解，分别提取第3层各节点的样本熵作为特征向量，得到8维的列向量，再将8维的特征向量用流形学习法降到3维。图6为LTSA和PCA降维的效果图，邻域参数K=7，目标维数为3。

图6 该模型的特征提取效果图Fig.6 Features extraction effect map of this model

由图6可以看出，对于提取的小波包样本熵特征数据，LTSA比PCA的特征提取效果更好，从图6(a)可以看出，滚动轴承故障的四种状态特征已经基本完全分开，证明了该模型具有很好的特征提取效果。为了量化分类效果，将两个阶段提取的特征用SVM进行分类。四种状态信号先各提取10个样本作为训练样本，然后再各提取10个样本作为测试样本。将训练样本输入到SVM进行训练，SVM算法分类设置为多分类，核函数选择径向基核函数，表2给出了特征提取两个阶段基于SVM的故障状态识别结果。

表2 支持向量机识别结果Tab.2 Support vector machine recognition results

第一阶段特征SVM训练所花时间为6.3 s，第二阶段中用LTSA提取的特征SVM训练所花时间为2.02 s，而用PCA提取的特征SVM训练所花时间为3.3 s。在第一阶段，由于小波包分解频带中含有大量信息在特征空间中产生各种重叠，使得后面分类器(SVM)训练时间加长，并且降低了特征的分辨率，所以其故障识别率不是很好。而第二阶段提取的特征的故障识别率达到100%，训练时间比第一阶段短，对于相似故障，文献［5］提出的特征提取方法其故障识别率只有95.33%，本文提出的特征提取方法识别效果明显好于文献［5］提出的方法。从而证明了该特征提取模型具有很好的故障模式分类性能。

5 结论

基于小波包、样本熵和流形学习理论，提出了一种新的故障特征提取模型，首先选择容错性好的样本熵作为特征参数，通过对振动信号进行基于db2小波的小波包分解，提取信号的小波包样本熵作为特征向量，然后利用流形学习进一步提取低维特征。试验结果表明，基于小波包样本熵和流形学习的故障特征提取模型不仅提高了特征分辨率，而且简化了特征数据，增强了故障模式识别的分类性。

［1］于德介，程军圣，成琼.基于复小波变换相位谱的齿轮故障诊断［J］.振动、测试与诊断，2004，24(4):275－277.YU De-jie，CHENG Jun-sheng，CHENG qiong.Gear fault diagnosis of complex wavelet transform based on phase spectrum［J］. JournalofVibration， Measurement ＆Diagnosis，2009，29(2):201 －204.

［2］鞠萍华，秦树人，秦毅，等.多分辨EMD方法与频域平均在齿轮早期故障诊断中的研究［J］.振动与冲击，2009，28(5):97－101.JU Ping-hua，QIN shu-ren，QIN Yi，et al.Study of the average in the early fault diagnosis of gear multiresolution and frequency domain EMD method［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(5):97 －101.

［3］Yan R Q，Gao R X.Approximate entropy as a diagnostic tool for machine health monitoring［J］.Mechancial Systems and Signal Processing，2007，21(2):824 －839.

［4］Pincus S M.Approximate entropy(ApEn)as a complexity measure［J］.Chaos，1995，5(1):110 －117.

［5］赵志宏，杨绍普.一种基于样本熵的轴承故障诊断方法［J］.振动与冲击，2012，31(6):136－140.ZHAO Zhi-hong，YANG Shao-pu.A bearing fault diagnosis method based on sample entropy［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(6):136 －140.

［6］粟茂林，梁霖，王孙安，等.基于连续小波系数非线性流形学习的冲击特征提取方法［J］.振动与冲击，2012，31(1):106－111.LI Mao-Lin，LIANG Lin，WANG Sun-an，et al.Mechanical impact feature extraction method based on nonlinear manifold learning of continuous wavelet coefficients［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(1):106 －111.

［7］葛爽，谢小鹏，黄博，等.基于能量耗损的故障诊断信号分析方法［J］.润滑与密封，2012，37(8):7－10.GE Shuang，XIE Xiao-peng，HUANG Bo，et al.New algorithm for manifold-learning-based energy dissipation signal analysis［J］.Lubrication Engineering，2012，37(8):7 －10.

［8］Nikolaou N G，Antoniadis I A.Rolling element bearing fault diagnosis using wavelet packets［J］.NDT ＆ E International，2002，35(3):197－205.

［9］Pincus S M.Assessing serial irregularity and its implications for health［J］.Annals of the New York Academy of Sciences，2002，954:245－267.

［10］Silva V D，Tenenbaum J B.Global versus local methods in monlinear dimensionality reduction［J］.Advances in Neural Information Processing Systems，2002:705 －712.

［11］张熠卓，徐光华，梁霖，等.利用增量式非线性流形学习的状态监测方法［J］.西安交通大学学报.2011，45(1):64－68.ZHANG Yi-zhuo，XU Guang-hua，LIANG Lin，etal.Condition monitoring method for mechanical equipments based on incremental nonlinear manifold learning［J］.Journal of Xi＇an Jiao Tong University.2011，45(1):64 －68.

［12］ZHANG Zhen-yue，ZHA Hong-yuan.Principal manifolds and nonlineardimension reduction via localtangentspace alignment［J］.SIAM Journal on Scientific Computing，2005，26(1)313－338.

［13］梁霖，徐光华，栗茂林，等.冲击故障特征提取的非线性流形学习方法［J］.西安交通大学学报，2009，43(11):95－99.LIANG Lin，XU Guang-hua，LI Mao-lin，et al.Nonlinear manifold learning method ofmechanlcalimpulse faults extraction［J］.Journal of Xi＇an Jiao Tong University，2009，43(11):95－99.