面积法在数学解题中的应用

姚婉若

所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手段完成几何中的推理过程的方法.用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于接受和掌握.可以用来证明线段的数量关系、图形的分割、求线段的比和面积等.在数学解题过程中，面积法有着广泛的应用.

应用面积法解题的理论依据：①等积定理：两个全等图形的面积相等；等底等高的两个三角形的面积相等；整个图形的面积等于其各部分面积之和.②面积比定理：两个三角形面积之比等于它们的底、高之积的比；等底（高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比；相似三角形（多边形）面积之比等于它们对应边的平方比.

在中学阶段，面积法是数学学习中一种常用的解题方法，并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点.现分类举例如下，希望同学们在今后的做题中有所启发.

一、利用等面积解决有关图形面积的分割

例：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.

（1）三角形有？摇 ？摇条面积等分线，平行四边形有？摇 ？摇条面积等分线.

（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线.

（3）如图②所示，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S■

图① 图②

分析：（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线，所以有3条；对于平行四边形，只要过它的两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，所以应该有无数条.

（2）由（1）知，过矩形的两条对角线的交点的直线都可以把矩形的面积分成2个相等的部分，所以图①中过两个矩形的对角线的交点的直线就是该图形的一条面积等分线.

（3）能.过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE.那么可以得到“△ABC和△AEC的公共边AC上的高相等”，进一步得到S■=S■，然后由“割补法”可以求得S■=S■+S■=S■+S■=S■，所以要画出四边形ABCD的面积等分线就转化为画出△AED的面积等分线.

解答：（1）三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线.

（2）如下图①所示：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分，即OO′为这个图形的一条面积等分线.

（3）如下图②所示.能，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE.

∵BE∥AC

∴根据同底等高可得S■=S■

∴S■=S■+S■=S■+S■=S■

∴面积等分线是△AED中DE边上的中线

∵S■>S■

所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线.

图① 图②

二、利用等面积解决有关图形面积的计算

例：如图，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积.

分析：本题关键在于证得CD∥AB后就可根据“同底等高”得到S■=S■，然后由“割补法”得到S■=S■.

解：连接OC，OD，CD，

∵C、D是半圆三等分点

∴∠AOC=∠DOB=∠COD=60°

又OC=OD

∴△OCD是等边三角形，

∴∠CDO=60°

∴∠CDO=∠DOB=60°

∴CD∥AB

∴根据同底等高可得S■=S■

∴S■=S■=■=■

∴S■=S■

点评：等面积法是数学解题中应用十分广泛的一种重要方法，它所起的往往是解题过程中的过渡作用，这一思想要仔细体会.

三、利用等面积计算线段的长度

有的几何问题，虽然没有直接涉及面积，但若灵活地运用面积知识解答，则往往会出奇制胜，事半功倍.

例：如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6、8，AE⊥BC，则AE的长是多少？

解：由菱形的性质可得AC⊥BD，OA=■AC=3，OB=■BD=4

在Rt△AOB中，AB=■=■=5

∴BC=AB=5

S■=■·BC·AE=■·AC·OB

∴5AE=6×4

∴AE=■

四、利用面积的可分性解题

用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体性等于部分之和，建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题.

例：如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，求出FM+FN的长.

图（1）

解：如图（1），过E点作EH⊥BC，垂足为H，连接BF

∵在Rt△BEH中BE=BC=3，∠EBH=45°

∴EH=■

∵S■+S■=S■

∴■BE×FN+■BC×FM=■BC×EH

∵BE=BC

∴FN+FM=EH=■

例：求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值.

已知：△ABC中，AB=BC=AC，D是形内任一点，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F，G是垂足.求证：DE+DF+DG是一个定值.

证明：连接DA，DB，DC，设△ABC的边长为a，高为h

∵S■=S■+S■+S■

∴■ah=■a（DE+DF+DG）

∴DE+DF+DG=h

∵等边三角形的高h是一个定值

∴DE+DF+DG是一个定值

五、利用面积的可比性解题

这里指的是等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的面积比等于其对应底的比.

例：在△ABC中，已知AD平分∠BAC，

求证：■=■.

分析：这道题看起来很一般，然而证起来却有点难，

如果用“面积法”就较容易得证.

解：如下图

∵△ABD与△ACD中，

BD边上的高与CD边上的高是同高

∴■=■

过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F

又∵AD平分∠BAC

∴DE=DF

∴■=■=■

∴■=■

例：如图，已知在△ABC中，点D在BC边上，BD∶CD=2∶1，E为AD的中点，连接BE并延长交AC于F，求AF∶FC.

分析：这道题要利用三角形的面积公式或面积关系，把线段的比转化为面积的比.

解：∵△EDC和△BED是等高三角形

∴■=■=2

设S■=x，则S■=2x

∵△EDC和△BED是等高三角形

E为AD的中点

∴S■=S■=2x

同理可得S■=S■=x

设S■=x，则S■=x-y，S■=2x+（x-y）=3x-y

S■=2x+x+y=3x+y

∵△ABF和△CBF是等高三角形

∴■=■=■

同理可得■=■=■

∴■=■

化简得x=■y

∴■=■=■

从上面的例题可以看出面积法是数学解题中应用十分广泛的一种重要方法，面积与面积、面积与线段的互相转化是面积法解题的重要手段.灵活运用知识点，巧妙应用面积法往往能化难为易，化繁为简.

所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手段完成几何中的推理过程的方法.用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于接受和掌握.可以用来证明线段的数量关系、图形的分割、求线段的比和面积等.在数学解题过程中，面积法有着广泛的应用.

应用面积法解题的理论依据：①等积定理：两个全等图形的面积相等；等底等高的两个三角形的面积相等；整个图形的面积等于其各部分面积之和.②面积比定理：两个三角形面积之比等于它们的底、高之积的比；等底（高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比；相似三角形（多边形）面积之比等于它们对应边的平方比.

在中学阶段，面积法是数学学习中一种常用的解题方法，并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点.现分类举例如下，希望同学们在今后的做题中有所启发.

一、利用等面积解决有关图形面积的分割

例：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.

（1）三角形有？摇 ？摇条面积等分线，平行四边形有？摇 ？摇条面积等分线.

（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线.

（3）如图②所示，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S■

图① 图②

分析：（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线，所以有3条；对于平行四边形，只要过它的两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，所以应该有无数条.

（2）由（1）知，过矩形的两条对角线的交点的直线都可以把矩形的面积分成2个相等的部分，所以图①中过两个矩形的对角线的交点的直线就是该图形的一条面积等分线.

（3）能.过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE.那么可以得到“△ABC和△AEC的公共边AC上的高相等”，进一步得到S■=S■，然后由“割补法”可以求得S■=S■+S■=S■+S■=S■，所以要画出四边形ABCD的面积等分线就转化为画出△AED的面积等分线.

解答：（1）三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线.

（2）如下图①所示：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分，即OO′为这个图形的一条面积等分线.

（3）如下图②所示.能，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE.

∵BE∥AC

∴根据同底等高可得S■=S■

∴S■=S■+S■=S■+S■=S■

∴面积等分线是△AED中DE边上的中线

∵S■>S■

所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线.

图① 图②

二、利用等面积解决有关图形面积的计算

例：如图，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积.

分析：本题关键在于证得CD∥AB后就可根据“同底等高”得到S■=S■，然后由“割补法”得到S■=S■.

解：连接OC，OD，CD，

∵C、D是半圆三等分点

∴∠AOC=∠DOB=∠COD=60°

又OC=OD

∴△OCD是等边三角形，

∴∠CDO=60°

∴∠CDO=∠DOB=60°

∴CD∥AB

∴根据同底等高可得S■=S■

∴S■=S■=■=■

∴S■=S■

点评：等面积法是数学解题中应用十分广泛的一种重要方法，它所起的往往是解题过程中的过渡作用，这一思想要仔细体会.

三、利用等面积计算线段的长度

有的几何问题，虽然没有直接涉及面积，但若灵活地运用面积知识解答，则往往会出奇制胜，事半功倍.

例：如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6、8，AE⊥BC，则AE的长是多少？

解：由菱形的性质可得AC⊥BD，OA=■AC=3，OB=■BD=4

在Rt△AOB中，AB=■=■=5

∴BC=AB=5

S■=■·BC·AE=■·AC·OB

∴5AE=6×4

∴AE=■

四、利用面积的可分性解题

用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体性等于部分之和，建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题.

例：如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，求出FM+FN的长.

图（1）

解：如图（1），过E点作EH⊥BC，垂足为H，连接BF

∵在Rt△BEH中BE=BC=3，∠EBH=45°

∴EH=■

∵S■+S■=S■

∴■BE×FN+■BC×FM=■BC×EH

∵BE=BC

∴FN+FM=EH=■

例：求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值.

已知：△ABC中，AB=BC=AC，D是形内任一点，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F，G是垂足.求证：DE+DF+DG是一个定值.

证明：连接DA，DB，DC，设△ABC的边长为a，高为h

∵S■=S■+S■+S■

∴■ah=■a（DE+DF+DG）

∴DE+DF+DG=h

∵等边三角形的高h是一个定值

∴DE+DF+DG是一个定值

五、利用面积的可比性解题

这里指的是等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的面积比等于其对应底的比.

例：在△ABC中，已知AD平分∠BAC，

求证：■=■.

分析：这道题看起来很一般，然而证起来却有点难，

如果用“面积法”就较容易得证.

解：如下图

∵△ABD与△ACD中，

BD边上的高与CD边上的高是同高

∴■=■

过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F

又∵AD平分∠BAC

∴DE=DF

∴■=■=■

∴■=■

例：如图，已知在△ABC中，点D在BC边上，BD∶CD=2∶1，E为AD的中点，连接BE并延长交AC于F，求AF∶FC.

分析：这道题要利用三角形的面积公式或面积关系，把线段的比转化为面积的比.

解：∵△EDC和△BED是等高三角形

∴■=■=2

设S■=x，则S■=2x

∵△EDC和△BED是等高三角形

E为AD的中点

∴S■=S■=2x

同理可得S■=S■=x

设S■=x，则S■=x-y，S■=2x+（x-y）=3x-y

S■=2x+x+y=3x+y

∵△ABF和△CBF是等高三角形

∴■=■=■

同理可得■=■=■

∴■=■

化简得x=■y

∴■=■=■

从上面的例题可以看出面积法是数学解题中应用十分广泛的一种重要方法，面积与面积、面积与线段的互相转化是面积法解题的重要手段.灵活运用知识点，巧妙应用面积法往往能化难为易，化繁为简.

所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手段完成几何中的推理过程的方法.用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于接受和掌握.可以用来证明线段的数量关系、图形的分割、求线段的比和面积等.在数学解题过程中，面积法有着广泛的应用.

应用面积法解题的理论依据：①等积定理：两个全等图形的面积相等；等底等高的两个三角形的面积相等；整个图形的面积等于其各部分面积之和.②面积比定理：两个三角形面积之比等于它们的底、高之积的比；等底（高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比；相似三角形（多边形）面积之比等于它们对应边的平方比.

在中学阶段，面积法是数学学习中一种常用的解题方法，并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点.现分类举例如下，希望同学们在今后的做题中有所启发.

一、利用等面积解决有关图形面积的分割

例：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.

（1）三角形有？摇 ？摇条面积等分线，平行四边形有？摇 ？摇条面积等分线.

（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线.

（3）如图②所示，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S■

图① 图②

分析：（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线，所以有3条；对于平行四边形，只要过它的两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，所以应该有无数条.

（2）由（1）知，过矩形的两条对角线的交点的直线都可以把矩形的面积分成2个相等的部分，所以图①中过两个矩形的对角线的交点的直线就是该图形的一条面积等分线.

（3）能.过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE.那么可以得到“△ABC和△AEC的公共边AC上的高相等”，进一步得到S■=S■，然后由“割补法”可以求得S■=S■+S■=S■+S■=S■，所以要画出四边形ABCD的面积等分线就转化为画出△AED的面积等分线.

解答：（1）三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线.

（2）如下图①所示：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分，即OO′为这个图形的一条面积等分线.

（3）如下图②所示.能，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE.

∵BE∥AC

∴根据同底等高可得S■=S■

∴S■=S■+S■=S■+S■=S■

∴面积等分线是△AED中DE边上的中线

∵S■>S■

所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线.

图① 图②

二、利用等面积解决有关图形面积的计算

例：如图，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积.

分析：本题关键在于证得CD∥AB后就可根据“同底等高”得到S■=S■，然后由“割补法”得到S■=S■.

解：连接OC，OD，CD，

∵C、D是半圆三等分点

∴∠AOC=∠DOB=∠COD=60°

又OC=OD

∴△OCD是等边三角形，

∴∠CDO=60°

∴∠CDO=∠DOB=60°

∴CD∥AB

∴根据同底等高可得S■=S■

∴S■=S■=■=■

∴S■=S■

点评：等面积法是数学解题中应用十分广泛的一种重要方法，它所起的往往是解题过程中的过渡作用，这一思想要仔细体会.

三、利用等面积计算线段的长度

有的几何问题，虽然没有直接涉及面积，但若灵活地运用面积知识解答，则往往会出奇制胜，事半功倍.

例：如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6、8，AE⊥BC，则AE的长是多少？

解：由菱形的性质可得AC⊥BD，OA=■AC=3，OB=■BD=4

在Rt△AOB中，AB=■=■=5

∴BC=AB=5

S■=■·BC·AE=■·AC·OB

∴5AE=6×4

∴AE=■

四、利用面积的可分性解题

用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体性等于部分之和，建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题.

例：如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，求出FM+FN的长.

图（1）

解：如图（1），过E点作EH⊥BC，垂足为H，连接BF

∵在Rt△BEH中BE=BC=3，∠EBH=45°

∴EH=■

∵S■+S■=S■

∴■BE×FN+■BC×FM=■BC×EH

∵BE=BC

∴FN+FM=EH=■

例：求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值.

已知：△ABC中，AB=BC=AC，D是形内任一点，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F，G是垂足.求证：DE+DF+DG是一个定值.

证明：连接DA，DB，DC，设△ABC的边长为a，高为h

∵S■=S■+S■+S■

∴■ah=■a（DE+DF+DG）

∴DE+DF+DG=h

∵等边三角形的高h是一个定值

∴DE+DF+DG是一个定值

五、利用面积的可比性解题

这里指的是等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的面积比等于其对应底的比.

例：在△ABC中，已知AD平分∠BAC，

求证：■=■.

分析：这道题看起来很一般，然而证起来却有点难，

如果用“面积法”就较容易得证.

解：如下图

∵△ABD与△ACD中，

BD边上的高与CD边上的高是同高

∴■=■

过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F

又∵AD平分∠BAC

∴DE=DF

∴■=■=■

∴■=■

例：如图，已知在△ABC中，点D在BC边上，BD∶CD=2∶1，E为AD的中点，连接BE并延长交AC于F，求AF∶FC.

分析：这道题要利用三角形的面积公式或面积关系，把线段的比转化为面积的比.

解：∵△EDC和△BED是等高三角形

∴■=■=2

设S■=x，则S■=2x

∵△EDC和△BED是等高三角形

E为AD的中点

∴S■=S■=2x

同理可得S■=S■=x

设S■=x，则S■=x-y，S■=2x+（x-y）=3x-y

S■=2x+x+y=3x+y

∵△ABF和△CBF是等高三角形

∴■=■=■

同理可得■=■=■

∴■=■

化简得x=■y

∴■=■=■

从上面的例题可以看出面积法是数学解题中应用十分广泛的一种重要方法，面积与面积、面积与线段的互相转化是面积法解题的重要手段.灵活运用知识点，巧妙应用面积法往往能化难为易，化繁为简.