Fejer不等式的注记

程海来

(合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009)

1893年Hadamard提出了如下著名不等式[1]，即

定理1若f(x)为区间a,b上的凸函数，则有

(1)

国内外很多学者对此不等式做过研究和推广，如[2-5]等，其中Fejer得到了如下结果(可见[2]).

(2)

本文在较弱条件下得到了(2)的加强形式，亦即有如下的

(3)

证先证明左边不等式.由f(x)带Lagrange余项的Taylor公式，

(4)

于是有

(5)

(6)

由带积分余项的Taylor公式，

(7)

(7)式两边同乘以g(x)并对x从a到b积分，由对称性可知，

故有

(8)

再由(7)知

(9)

于是

(10)

8-10，得

(11)

由于

而F(4)t≥0，(x-t)3-(b-t)3≤0，(b-t)3≥0，所以

从而由(11)，有

(12)

由(6)，(12)知不等式(3)成立.

若在a,b上f″(x)≥0，则f(x)为a,b上的凸函数，在定理3的条件下，由(3)可知

故不等式(3)为(2)的加强形式.

特别在不等式(3)中取g(x)≡1，则有

推论设函数f(x)在a,b上有连续4阶导数且f(4)(x)≥0，则有

(13)

若在a,b上f″(x)≥0(此时f(x)为a,b上的凸函数)，易知不等式(13)为(1)的一个加强.

[参 考 文 献]

[1] Hadamard J.Etude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d’une fonction considérée par Riemann[J]. J Math. Pures Appl.58 (1893), 171.

[2] Fejér L. Uber die Fourierreihen, II[J]. Math. Naturwiss Anz. Ungar. Akad. Wiss,1906,21:369-390 (In Hungarian).

[3] Wang Zhong-li and Wang Xiang-hua. On an extention of Hadamard inequalities for convex functions[J]. Chin.Ann of Math,1982,3(5):567-570.

[4] 冯慈璜.关于关于凸函数的 Hadamard 不等式[J].数学年刊(中文版),1985,6 (A ):4,443-446.

[5] 于永新,刘证. 凸函数的几个Hadamard型不等式[J]. 数学的实践与认识, 2005，35(1):201-207.