线性代数课程学时设置及考试命题技巧研究

张 慧

(陕西科技大学理学院，陕西710021))

线性代数是工科院校学生必修的一门公共基础课，这门课的特点是：概念多、符号多、定理多、运算规律多，具有较强的抽象性与逻辑性，初学者都会感觉到难以掌握.因此，教师必须从教学方法、课程设置、复习考试等各个教学环节上狠下功夫，设法给予学生尽可能多的帮助，才能使学生在期末考试时过关，达到合格要求.

在全国一般工科院系数学教学中都采用同济大学数学系编写的《线性代数》教材(现在采用第五版，以下简称线代教材)，注重讲授前五章的内容：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型[1].

1 学时设置

一般工科学生初学线性代数，由于首先遇到的行列式运算和矩阵运算是多方位的，远比中学时的单向运算复杂得多，所以大部分学生都出现犹如坠入云里雾里的感觉，都会感到倾听能力差、接受信息困难而导致课堂效果差，这种情形在国内外皆然[2].

为了提高教学质量，合理安排教学时间也是重要的.线代教材第一版是在1981年发行，其前言中写明“前五章教学时数为34学时”，这是合理的.时跨30余年，该教材目前已出至第五版，内容变化不大，但是教育形势变化很大，特别是已从当年的精英教育变为当今的大众教育，逐年扩招导致的大学门槛降低，学生入学水平整体下降，入校后的浮躁、加之当今世界的丰富多彩，越来越多的学生抱怨传统教学课堂的单调乏趣(这种认识是片面的，甚至是错误的，这是由于没有学懂学通，而导致体会不到数学课程内在的统一性、连贯性、和谐美、理论价值，外在的实用性，……)等等，34学时已不能够使当代大部分学生很好的掌握线性代数这门基础课.增加10学时，多上些习题课，又不符合教育部的有关政策规定，那就只有减少内容了.减掉一些抽象的理论性很强的内容和难度太大的题目解答，比如关于矩阵秩的一些不等式的证明，关于向量组的线性相关性的一些证明题，等等，是比较好的对策.

线性代数课程学时分布也要科学.现在许多学校给线性代数课程计划学时为36—40学时，除去教学期间所巧遇的国家法定节假日，实际执行学时也就是36学时左右.有些学校将此课程安排为周学时2，从开学第一周一直上到期末，战线拉得很长.实践证明，这样做教学效果是比较差的，因为两次课中间间隔时间太长，等下一次上课时，上一次课讲得什么内容，有的学生都忘了，有的学生模糊不清，尽管教师强调“在上课之前1—2天，一定要将上一次课的内容复习一下，独立完成作业”，但是好多学生很难做到位，导致新旧内容衔接不好，数学链条断裂，这肯定就影响教学效果、影响教学质量了.

如果将这些学时平均分配在10周之内，即周学时为4，上午上课，并且每周的两次课中间间隔1—2天，用于完成线性代数课程的教学、考试、成绩评定等所有环节，那是最好的.

有的学校将线性代数课程安排在大一第一学期，有的学校安排在第二学期.笔者认为安排在第二学期好一些.因为第一学期，是新生由高中到大学的转型期，一下子就上高等数学、线性代数两门数学课，许多学生难以适应，压力太大，学不好.

2 考试命题技巧

由于线性代数是比较难掌握的一门基础课，所以很有必要进行一次期中考试，也可以称为诊断考试.期中考试题的难度大一些比较好，本意是借此给学生一些压力，此“压力”容易转化为“动力”而激励学生努力学习.经过期中考试，诊断一下学生在学习上存在什么问题、老师在教学上存在什么问题；筛选出班上最差的学生，10名左右，以便在后半学期对他们进行强化教学教育，使他们顺利过关，达到合格标准.期末考试的目的是检查学生一学期来对所学课程内容的掌握情况，界定是否达到合格，合到哪一格，优秀、良好、还是刚刚及格.同时为给学生是否能拿到毕业证提供有效依据.

考试题型不外乎：填空题、选择题、判断题、计算题、解答题、应用题、证明题、讨论题和开放题，这些也称为数学考试指令词，某些指令词之间没有严格的界限.闭卷考试常用前七种指令词，而后两种指令词常用于开卷考试中.

2.1 各题型所占比例

填空题、选择题、判断题一般都是由小题构成，每小题3分，占总分的30%左右，主要涉及一些概念容易模糊的题目、计算较简单但容易出错的的题目、具有一定的似真性和干扰性的题目，要用到逆向思维解决的题目，等等.

计算题等一般占55%左右，证明题可以较好的检验学生的逻辑思维能力，一般占15%左右.

2.2 拆大题为小题

计算题中每小题最好不要超过10分. 对于利用相似变换，将矩阵对角化这样的大型题目，即包含知识点较多的题目，最好将其拆分成2—3个小题，以免源于大型题目本身计算前后紧密的关联性，使得学生在答题时，仅仅由于开始犯了的小错误而导致后面的大错误，失分较多.因为开始计算错了，后面的题解可能就与正确答案大相径庭了.但是后面所涉及的知识点(正是教师要考的知识点)，学生掌握了，解题方法是对的，这种情况下，教师怎么给评分，给分多少就看阅卷老师自己了，随意性较大，也有不给分的，不给分也是对的，因为题目做错了，就应该不给分，但是这肯定影响学生的成绩，甚至使学生因此而挂科.从考试就是考知识点，只要卷面上能反映出所考的知识点，学生掌握了，就可以得分的意义上来讲，还是给分好一些.下面举例说明(所举例子都是某校期末试题)：

例1(16分题) 设矩阵

(i)(6分)当k为何值时，矩阵A可以相似对角化？

(ii)(10分)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵.

解(i)时，必须计算一个带有参数k,λ的三阶行列式，容易出错(按说计算三阶行列式，是最基本的知识点，不该出错，但实际上可多学生就是算错了).如果算错了，得出错误的k,λ值，就给下面解(ii)时埋下隐患，接着解(ii)的方法即便是再对，结果都是错的.

例2(16分题) 设矩阵

(i)(12分)求矩阵A的特征值与特征向量；

(ii)(2分)问矩阵A是否能对角化？并说明理由；

(iii)(2分)如果矩阵A能对角化，就写出相似变换矩阵P，使得P-1AP为对角阵.

这道题中，第(ii)个问题的解决既可以从解第(i)个问题的过程中撷取依据，得出答案；又可以另辟路径(完全不受第(i)个问题的解题过程及结论的影响)来回答：由于A是实对称矩阵，所以能对角化.这相对于例1来说，好一些；第(iii)个问题的解决虽然要用到第(i)个问题的结果，但是不做进一步的运算，因此无论学生把第(i)个问题答得怎么样，只要掌握了写相似变换矩阵P和对应的对角阵的方法，都会得到1—2分.

当然，如果将第(i)个问题拆分成两个问题来考学生就更好了.因为第(i)个问题就是考两个知识点：一是求三阶方阵的特征值，二是求三阶方阵的特征值所对应的特征向量，只要达到目的就行了.所以可以考虑这样出题：

①(4分题)给出一个三阶方阵B，求B的特征值.注意只要B≠A就行.这样既考了求三阶方阵的特征值这个知识点，又可以避免出现由于求错了矩阵的特征值而导致求错特征向量的“一错再错”连续失分.

②(12分题)已知矩阵A的特征值是λ1=-1，λ2=0，λ3=9，

(i)(8分)求矩阵A的全部的特征向量；

(ii)(2分)问矩阵A是否能对角化？并说明理由；

(iii)(2分)如果矩阵A能对角化，就写出相似变换矩阵P，使得P-1AP为对角阵.

2.3 考虑周全避免遗漏

命题教师不仅要对试题反复检查，仔细解答，在解答中再体会：选题是否合适，试题份量、难易程度、各知识点包容程度等等是否合适，若不尽人意就给予改进.切忌出现错题、病题，并给出试题所有正确解法.

此题有两种解法.无论是哪一种解法，首先都要写出“因为AB=A+B，所以AB-B=A，即(A-E)B=A. 写到此，是正确的，可得2分，标准答案是这么规定的.但是往往有学生在此写出B(A-E)=A，由于标准答案上没有显示这样写是正确的，便被阅卷老师扣了2分(这里指只按标准答案改卷的教师)，这是学生和教师共同粗心大意所导致的结果.学生是忘记了矩阵的乘积不符合交换律，教师是没有考虑周全，没有想到在本题中有(A-E)B=B(A-E). 也就是说，由AB-B=A到B(A-E)=A，表面上看是错误的，应该扣分. 实际上B(A-E)=A这个等式是正确的，扣分又不合适，两难呀，为了避免这种“难”，只要改动原题中矩阵A的某些元素就可以了，关键是命题教师在命题时要意识到(A-E)B=B(A-E).

至于完整的题解过程，就不在此展现了.

2.4 巧设参数，考察学生的应变能力

求解纯数字系数的线性方程组，是一个综合性比较强的试题，求解过程会涉及到计算行列式，矩阵的初等行变换，判断矩阵的秩等知识点；求解带有参数的线性方程组，综合性就更强了.例如当a,b(a,b∈)为何值时，线性方程组

有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.

解这题的一般步骤为：① 写出增广矩阵B，并利用矩阵的初等行变换将其化为行最简型矩阵，记为C；② 观察矩阵C可知当a≠1时，系数矩阵和增广矩阵的秩都等于4，等于未知量的个数，此时线性方程组有唯一解；当a=1且b≠-1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，两者不相等，线性方程组无解；当a=1且b=-1时，系数矩阵和增广矩阵的秩都等于3，小于未知量的个数，此时线性方程组有无穷多解；③ 写岀与矩阵C相应的线性方程组，再将a=1,b=-1代入，进行整理，得到与原线性方程组同解的方程组

(1)

改写成矩阵形式

这便是所求通解[3].

注 手写方程组(1)时，就不必将系数1和为0的项写出来，这里写只是为了整齐.

这个题目，由于巧妙地设计了参数a,b，而使学生在答题时不得不对参数a,b进行讨论，从而在一道试题中可以考察到线性方程组求解理论的所有知识点，且没有繁琐的低级数字计算，最后的答案也整齐简单.因此，这是一道很好的试题.当然，命题教师不可能每次都原题照搬，只要能借鉴这道题目的美妙和谐，悟出一些门道，繁衍出更好的试题便是进步.

2.5 出一道附加题

附加题，也称之为机动题，地位处于正式试题之后，该题较其前面的正式试题难度要大一些，技巧性要高一些，但是赋分不多，最多赋予6分. 这6分是额外的，也就是说，卷面总分为(100+6)分.附加题赋分不能太多，以免吸引一般学生的注意力而影响完成前面正式试题的解答. 附加题是用来检验学生是否拔尖的题目，是给一部分水平高的学生在考试中能够充分发挥和展示其能力而创造的一个机会，同时也不影响另外一部分学生的成绩.这一点，教师最好在考试之前就给学生讲清楚，以免占用有效考试时间.

2.6 检查试题版样

印试卷是试题出笼的最后一个环节，命题教师不可忽视.因为常会发生计算机对数学符号识别错误，而印刷工人又不懂线性代数，导致几千份试卷印出来了，甚至都送到考场去了，才发现有多处错误的问题.因此，在批量印刷试题之前，命题教师或专业人员一定要对试题版样进行仔细校对，以免引起大麻烦[4].

由于学生的成绩高低主要由期末考试决定，期末试卷的命题设计便非常重要.一套质量高的线性代数考试试题是一个有机的整体，不能是零散的单个试题的机械堆砌，是需要认真思考和精心打造的，既要凸显学生在能力和投入上的差别，激励优秀人才，又要让不及格率控制在一个适当的指标之下，也要在整体上尽量避免知识点、计算方法与计算技巧的重复，把握好难度系数分布和试题区分度[5].还要从整体上考虑：是否命题涵盖主要教学内容，是否可以测量到学生不同层次的能力状况，是否与本校的级别相配，等等[6,7].

线性代数命题技巧不止这些，应该不断探索和总结，以便给出精品试题奠定基础.

[参 考 文 献]

[1] 同济大学数学系. 线性代数[M]. 5版. 北京. 高等教育出版社，2010.

[2] 刘敏捷. 大学生倾听能力的缺失及其提高对策[J]. 数学教育学报，2012，21(2)：95—98.

[3] 张小向，陈建龙. 线性代数学习指导[M]. 北京. 科学出版社，2010.

[4] 张慧，侯再恩，等. 对高等数学课教考分离的研究[J]. 价值工程，2011，30(7)：163—164.

[5] 龙飞，肖劲松. 高等数学考试命题科学性问题探讨[J]. 实践与探索，2012，26(9)：304.

[6] 谢启鸿. 浅谈高等代数命题中的若干技巧[J]. 大学数学，2013，29(3)：127—130.

[7] 王映学，段宝军，等. 大学考试命题质量的质性研究[J]. 河西学院学报，2012, 28(1)：114—120.