广义Burgers方程的对称分类及其约化
2014-09-17贾丽平郑丽霞
贾丽平 郑丽霞
(内蒙古工业大学理学院，呼和浩特 010051)
广义Burgers方程的对称分类及其约化
贾丽平 郑丽霞†
(内蒙古工业大学理学院，呼和浩特 010051)
利用李群方法对广义Burgers方程ut+f(x，t)(ux－uxx)=0的对称分类及其约化作具体讨论，其中f是关于自变量x，u的光滑函数，得到了f(x，t)的八种分类对称及相应的约化方程．该结果对于广义Burgers方程精确解的研究有重要意义．
李对称， 无穷小生成元， 广义Burgers方程， 李群方法， 对称分类
引言
1948年，欧美学者Johannes Burgers首先用模型
来描述流体中的湍流．人们对此方程的研究不断深入，它也就成了描述对流－耗散流之间相互影响的最原始模型．这个方程就被人们以Johannes Burgers的名字命名为“Burgers方程”，这里u=u(x，t)．广义的Burgers方程模式是一个重要的和普遍的非线性模式．本文考虑广义Burgers方程
其中f是关于自变量x，u的光滑函数．
前人用不同的方法对Burgers方程和广义Burgers方程诸多讨论．文献［1，2，3，4，5］利用优化系统和李代数方法等对非粘性Burgers方程作具体的讨论;文献［6，7，8，9］对广义 Burgers方程和 Burgers方程作具体讨论．本文主要是应用文献［10］的方法对(1)式进行对称分类及其约化，得到了f(x，u)的八种分类对称及相应的约化方程．
1 广义Burgers方程的对称分类
设方程(1)拥有的对称无穷小生成元为:
利用PDE的不变性的无穷小准则，有
其中u满足(1)，由(2)式解得确定方程组并化解得
假设fu≠0，(9)可写为:
将(10)分为两种情况:
讨论上述的第一种情况
其中c为非零常数．
在(12)中，我们得到f关于x，u的函数
k1为任意常数．则(11)变为
将(14)代入(4)～(9)，解方程组得
其中ci，i=1，2，3，是任意常数．
所以方程(1)的Lie对称生成元为
则方程(1)有3个有限维对称
当(13)成立时，(11)可写为
因(7)得 φuu=0，所以设g(u)=e1u+e2，(e1≠0，e2为任意常数)，即
其中ci，i=1，2，3，是任意常数．
讨论上述的第二种情况
在情况二中，我们将它分为十六种情况进行讨论，其中部分情况不符合条件，对符合条件的做具体分析．分类具体如下(主要是在(10)中进行分类)
综上:符合条件的只有六种情况，我们只对如上六种情况进行分析，分别对方程求其对称(计算方法同上)．
表1 两种情况的所有对称分类结果Table 1 All the symmetry classification results of two cases
经过以上两种情况的讨论，计算出两种情况的所有对称结果如表1．
这里c，l是不相等的非零常数，k1，k2为任意常数．
2 广义Burgers方程的对称约化
讨论上述的第一种情况
计算(15)对称向量X1对应的方程约化，它的特征方程为
得不变量t=θ，u= －cx+q，其中 θ，q为任意常数．令q=h(θ)，则u= －cx+h(t)，将u代入(1)，h(t)满足
计算(15)对称向量对应的方程约化，它的特征方程为
根据如上的计算方法对剩余七种进行计算，对情况わ、ぷ的所有分类的部分对称对应的约化方程具体如下(表2)．
表2 两种情况中部分对称对应的约化方程Table 2 Partially symmetrical corresponding reduced equation in two cases
其中对称向量X3对应的约化方程与情况④，⑥中对称向量X2，X1的计算过程类似．
3 总结
本文主要是用李群方法对如上广义Burgers方程的系数函数进行分类，得到其对应的对称及约化方程，这些结果，有利于我们进一步研究方程的精确解．对称分类问题是该领域的难点问题，由于此方程的系数函数中含有两个自变量，计算过程相对简单，对于系数函数含有多个自变量的未知函数的方程的对称分类分类问题，还有待于我们进一步研究．
1 Nadjafikhah M．Classification of similarity solutions for inviscid burgers’equation．Advances in Applied Clifford Algebras，2010，20:71 ～77
2 Nadjafikhah M．Lie symmetries of inviscid burgers equation．Advances in Applied Clifford Algebras，2009，19:101～112
3 Ouhadan A，El Kinani E H．Lie symmetries of the equation ut(x，t)+g(u)ux(x，t)=0．Advances in Applied Clifford Algebras，2007，17(1):95 ～106
4 Nadjafikhah M．Lie symmetries of inviscid burgers equa－tion．Advances in Applied Clifford Algebras，2009，19(1):101～112
5 Sarrico C O R．Distributional products and global solutions for nonconservative inviscid Burgers equation．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2003，281:641 ～656
6 Liu H，Li J，Zhang Q．Lie symmetry analysis and exact explicit solutions for general Burgers’equation．Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，228:1 ～9
7 Yan Z Y．A transformation with symbolic computation and abundant new soliton－like solutions for the(1+2)－dimensional generalized Burgers equation．Journal of Physics A:Mathematical and General，2002，35:9923 –9930
8 Smaoui N，Mekka M．The generalized Burgers equation with and without a time delay．Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis，2004，1:73～96
9 Wood L W．An exact solution for Burgers equation．Communications in Numerical Methods in Engineering，2006，22:797～798
10 Nadjafikhah M，Bakhshandeh C R，Mahdipour S A．A symmetry classification for a class of(2+1)nonlinear wave equation．Nonlinear Analysis，2009，71(11):5164～5169
† Corresponding author E－mail:18647157859@163．com
SYMMETRY CLASSIFICATIONS AND REDUCTIONS FOR GENERALIZED BURGERS EQUATION
Jia Liping Zheng Lixia†
(College of Science，Inner Mongolia University of Technology，Hohhot010051，China)
Symmetry classifications and reductions for generalized Burgers equationut+f(x，t)(ux－uxx)=0 were discussed specifically by using Lie group method，wherefis the smooth function ofx，u．And we obtained eight categories classified symmetry and the corresponding reduced equation off(x，t)．The results provide reference for the exact solutions of the generalized Burgers equation study．
Lie symmetry， infinitesimal generator， generalized Burgers equation， Lie group methods，symmetry classification
5 July 2013，
21 August 2013．
10．6052/1672－6553－2013－092
2013－07－05 收到第 1 稿，2013－08－21 收到修改稿．
E－mail:18647157859@163．com
