让推理绽放数学思考的魅力

王琴

【摘 要】 学习数学就是学习推理。具有一定的推理能力是学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。落实这一目标，不仅要明确什么是推理，更要剖析教材中蕴含的“数学推理”，还应从推理能力的形成过程和推理能力的主要类型两个视角来探索小学数学教学中培养推理能力的实施策略。

【关键词】 推理能力；数学思考；实施策略

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2014） 25-0088-04

在现实生活中，经常会遇到这样一些情况：有些人说话前言不搭后语，讲了半天别人也不明白他在说什么；有的人说话却条理清晰，使人听起来自然、明了。有的人处理复杂问题时茫然无措，不知从何下手，也不知道后续要做什么；而有的人则善于思考，环环紧扣，层层深化，把问题处理得有条不紊。

之所以出现这么大的差别，原因是多方面的，但更多的是数学思维素养的差别。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。从这个角度而言，推理能力决定了一个人的数学思维素养，进而影响着一个人的行为举止与做事风格。

由此，我们认为，学习数学的一项重要内容就是学习推理。具有一定的推理能力是学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。《数学课程标准（2011版）》将推理能力作为十大核心概念之一，也同样体现了推理对于数学素养形成的重要性。究竟什么是推理能力？在小学数学教学中如果培养学生的推理能力呢？

一、对数学推理的认识与理解

1. 何为推理。在日常生活、学习和工作中，人们经常要对各种各样的事物进行判断，判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等。判断是“对事物的情况有所断定的思维形式”。“由一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维形式”叫做推理。

《数学课程标准（2011版）》这样界定推理和推理能力：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

2. 小学数学中的推理。作为“数学思考”目标的一个组成部分，《数学课程标准（2011版）将第一学段的推理能力的目标设计为：在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想；第二学段的目标设计为：在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理地思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。

两个学段都提出了明确的目标要求，教材的编写也体现了这一要求。我们以六年级《分数乘整数》为例（如下图），简要剖析教材中蕴含的“数学推理”。

这个例题的教学既有合情推理的成分，也有演绎推理的内容。其中合情推理体现在教材借助直观，让学生通过操作——在图中涂色表示3朵绸花所用的米数，从而发现结果是—米。

接着引导学生根据问题通过列出算式，不管加法算式还是乘法算式都表示求3个—米。下面的层次（—×3的计算过程）则体现了很强的逻辑推理。首先根据乘法的意义，—×3表示3个—相加，因此得到第一步—×3=—+—+—；接着根据异分母分数的加法法则，算出—+—+—=—；然后计算分子3+3+3时则应用了乘法的意义，从而得到—=—。最后得到结果—米，呼应前面合情推理的结果，即直观操作得到的结果。

由此，我们认为深入分析教材中所蕴含的“数学推理”因子，才是落实“推理”目标的基础。如果教师不具这样的慧眼，就会丧失培养学生推理能力进而发展数学思考的契机。在深入解读教材的基础上，再结合数学推理能力的形成的特点及数学推理的主要类型实施有效教学，才能充分展现数学思考的魅力。

二、对数学推理的实践与思考

数学需要演绎推理，更需要合情推理，它们是既不相同又相辅相成的两种推理形式。推理能力的形成和提高，需要一个长期的、循序渐进的过程。在教学中可以从以下两方面入手落实推理能力的课程目标。

1. 从推理能力的形成过程的视角，应引导学生经历猜想验证的探索过程。《数学课程标准（2011版）》的“课程设计思路”部分指出：“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。”这句话至少包括三层含义：首先，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容；其次，他应贯穿于数学课堂教学的各个活动过程；最后，它也应贯穿于整个数学学习的环节。如果从推理能力形成的独特过程来看，实际教学中应着重引导学生经历猜想验证的探索过程。

（1）基于数学现实，提出初步猜想。数学家的创造性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理，是由猜想来发现的。猜想是人们根据一定的经验材料和已知事实对数学问题作出的推测性判断。数学猜想的提出一般从观察开始，观察是对数学现象或事实及其之间的关系的一种准确注视和记录。教学中，需要给学生提供必要的数学现象或事实，引发学生的猜想。

教师先引导学生观察四个算式，从而发现：每道算式都是把积与其中的一个因数比较。另一个因数有的比1大，有的比1小。题目要求不计算就比较大小，可以先猜测积的大小可能与另一个因数有关。究竟有什么样的关系？再举例验证。

再如， “三角形面积计算”第一个例题（如上图）。教学时先让学生用公式或数方格算出图中每个平行四边形的面积，再让学生直观判断每个涂色三角形的面积。使学生在判断以及表达判断理由的过程中初步认识到：平行四边形可以分成两个完全一样的三角形。由此，启发学生进一步思考：是不是所有的平行四边形都能分成两个完全一样的三角形呢？让学生通过动手操作验证此前的初步认识。在此基础上，提出：如果给你两个完全一样的三角形，你一定能拼成平行四边形吗？让学生在操作中进一步明确：用两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。这一系列的操作活动是在不断形成猜想、不断验证猜想的过程中完成的。同时，这个猜想又是后面验证三角形面积计算公式的经验基础。endprint

（2）基于丰富例证，展开验证过程。在基于既定的数学事实或已有的数学经验提出某个数学猜想以后，一般会举例进行验证，由于受思维发展水平和所掌握的知识限制，学生通常无力进行严格的数学证明，也不需要进行严密的演绎推理论证。这就要求在举例验证时应提供足够多的特例，范围要足够广；验证的特例要有典型性和代表性。这样才能借助丰富的例证使得结论具有“更大”的可靠性和说服力。

例如教学“三角形内角和”时，主要让学生由特殊到一般，通过自己的探索活动认识与掌握三角形内角和是180°。教材28页例题（如上图）分两个层次：首先安排学生计算三角尺3个内角的和， 在特殊的直角三角形内角和的探索中，发现都是180°这一奇妙现象，并引发出联想：其他三角形的内角和是否也都是180°？由此产生学习的愿望。接着用实验的方法验证、确认三角形内角和的结论：引导学生小组合作，用三个不同类的三角形（锐角三角形、直角三角形和钝角三角形）分别折一折，通过实验获得直接认识，验证自己的猜想，从而确认三角形的三个内角的和是180°这里从三角形的三类出发，通过丰富而全面的例证探索这一规律具有一般性。

（3）基于数学表达，展现有序思维。语言是思维的外壳，内部的思维条理性可以通过外部的数学语言表达呈现出来，数学语言表达能力的提高可以推动思维的条理性。在数学教学中，可以引导学生用准确的数学语言表述推理的过程、概括总结推理的结果，从而发展数学思维的严谨性和有序性。

师：第一题怎么知道商的十位上是8？

生1：除数是8，就想8的乘法口诀：几八六十多。只有八八六十四符合的。

师：商的十位只能是8吗？（生迟疑思考）

生2：不能是9，因为如果商9的话，第一步的积就是72，比被除数的前两位大了。

生3：如果是7的话，积就是56，比被除数的前两位小，说明也是可以的。

师：有道理吗？（有）照这样想，是不是比8小数的都行？

生4：6不行。六八四十八，如果被除数的十位是0，余数就是12比8大了。更不能是5，4，3，2，1。

师：也就是说这一题的商的十位只能是几？我们是根据什么来判断出来的？

在教学第二题的时候，重点引导学生说清推理的过程：可能是几，为什么是这几个数？不能是几，为什么不能是这些数？

算式谜是培养学生推理能力的较好素材。其中充满了猜想、验证和逻辑推理。其核心就是“可能是几，为什么是这几个数？不能是几，为什么不能是这些数？”上述教学环节就紧扣这个核心有序展开，从而让学生借助数学表达呈现自己的有序思维。

2. 从推理能力的主要类型的视角，应引导学生积累丰富的推理活动经验。面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或者类比，提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假，并进一步修正或者否定此猜想。因此，从推理能力的主要类型看，主要有归纳推理、类比推理、反例反驳和演绎证明四种。对应地，前两种属于合情推理，后两者属于演绎推理。教学中，我们都要借助相应的素材加以训练和指导，从而让学生积累丰富的推理活动经验。

（1）借助实例，积累归纳推理经验。归纳是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。它是一种由特殊到一般的推理过程，小学中的许多推理都属于这种类型。

例如“平年和闰年”一课，“四年一闰”的规律探索主要引导观察年历表、采用不完全归纳法的推理方法。先是借助年历卡，观察发现2004年2月的天数和2005年2月的天数是不同的，并告诉学生“2月只有28天的这一年是平年；有29天的这一年是闰年。”接着出示“2001～2014年的2月”的月历卡，引导学生对照每年的2月份的天数判断这一年是平年还是闰年。教师根据学生汇报板书：平、平、平、闰、平、平、平、闰、平、平、平、闰、平、平。在此基础上引导学生观察板书说说自己的发现：“四年一闰”。教师再适时介绍“世纪年”的平闰判断方法和依据。学生在探究“四年一闰”的规律时尽管不知道使用了“不完全归纳法”的推理方式，但是学生较为完整地经历了观察、归纳的过程，积累了不完全归纳的推理经验。

（2）借助比较，积累类比推理经验。类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。它是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性。

在做第3题时（如上图），先出示第一组并组织学生算前比较：比一比这两道题，它们有什么相同的地方和不同的地方？学生发现：它们的被除数相同，除数不同。接着引发思考：这是大家很容易看到的，也是表面的。谁能根据这个表面的现象想到大家看不到的不同呢？学生深入比较后发现：它们的商不一样：一个是两位数，一个是三位数。这时教师板书“商的位数不同”并再次组织比较：怎么判断出商是两位数还是三位数呢？商是两位数的除法与商是三位数的除法在计算过程中有什么相同和不同呢？

三位数除以一位数，根据商的特点可以分为两类：商是三位数和商是两位数。上面的教学就是通过类比两类除法算式的相同点和不同点，在同中求异和异中求同两个层次的类比中，学生不仅掌握了商的位数的判断方法，而且进一步完善了三位数除以一位数的计算方法，还积累了类比推理的活动经验。

（3）借助举例，积累反例反驳经验。反驳是运用已经知道是真实的判断，去证明某个判断是虚假的思维过程。反驳是一种特殊形式的证明，属于演绎推理的一种。反驳同证明一样，是维护真理、发展真理不可或缺的手段。在小学数学教学中，可以引导学生“举反例来说明道理”的方法初步积累反例反驳的推理经验。

例如 “商里有0的除法”一课，为了引导学生探究“商里有0的除法的特点”，教师先出示两道题：864÷8和483÷4。学生估算商的位数后笔算。得出商后组织学生观察、比较、讨论、举例、验证。教学到这里，教师并没有停止教学，而是话锋一转：“请思考这样的说法对不对：被除数中有0，商里就一定有0。”学生异口同声：错。教师顺势引导：怎样说明这种说法是错的呢？举什么样的例子？学生讨论后一致认为：举被除数中有0，但是商里没有0的。接着再引发思考：要举几个例子？（一个就够了）。最后教师点拨：是啊，在判断一种说法是否正确的时候，我们只要找到一个不符合这种说法的例子，就能够说明这个说法是错的。这种方法就是举反例，是我们数学中很常用的一种方法。

这个片段，教师主要引导学生观察发现、举例验证。前一半都是举正例，证明自己的猜测正确。后一半则引导学生举反例来说明“被除数中有0，商里就一定有0”命题的错误。学生经历了举反例的过程，就能积累“反例反驳”的推理经验。在后续的学习中，需要广泛应用反例反驳的推理形式。例如“所有的偶数都是合数”、“所有的假分数都大于1”，等等。学生只有不断地积累反例反驳的活动经验，才能逐步形成反例反驳的推理能力。

（4）借助转化，积累演绎推理经验。演绎推理是以一个一般性判断为前提，推出一个作为结论的个别的或特殊的判断的推理方法，即由一般到特殊的推理方法。小学阶段涉及到纯粹的演绎推理很少，但不是说没有演绎推理的成分。

参考文献：

[1] 教育部.《义务教育数学课程标准（2011版）》[M].北京：北京师范大学出版社，2012，6.

[2] 辞海编纂委员会.《辞海》（1999年版）[M].上海： 上海辞书出版社.1999，521.

[3] 辞海编纂委员会.《辞海》（1999年版）[M].上海： 上海辞书出版社.1999，1987.

[4] 教育部.《义务教育数学课程标准（2011版）》[M].北京：北京师范大学出版社，2012，6.

[5] [美]G.波利亚著.李心灿，王心爽，李志尧译.《数学与猜想（第二卷）——合情推理模式》[M].北京：科学出版社，2001，176.

[6] 顾泠沅，朱成杰编.《数学思想方法》[M].北京：中国广播电视大学出版社，2004，88.endprint

（2）基于丰富例证，展开验证过程。在基于既定的数学事实或已有的数学经验提出某个数学猜想以后，一般会举例进行验证，由于受思维发展水平和所掌握的知识限制，学生通常无力进行严格的数学证明，也不需要进行严密的演绎推理论证。这就要求在举例验证时应提供足够多的特例，范围要足够广；验证的特例要有典型性和代表性。这样才能借助丰富的例证使得结论具有“更大”的可靠性和说服力。

例如教学“三角形内角和”时，主要让学生由特殊到一般，通过自己的探索活动认识与掌握三角形内角和是180°。教材28页例题（如上图）分两个层次：首先安排学生计算三角尺3个内角的和， 在特殊的直角三角形内角和的探索中，发现都是180°这一奇妙现象，并引发出联想：其他三角形的内角和是否也都是180°？由此产生学习的愿望。接着用实验的方法验证、确认三角形内角和的结论：引导学生小组合作，用三个不同类的三角形（锐角三角形、直角三角形和钝角三角形）分别折一折，通过实验获得直接认识，验证自己的猜想，从而确认三角形的三个内角的和是180°这里从三角形的三类出发，通过丰富而全面的例证探索这一规律具有一般性。

（3）基于数学表达，展现有序思维。语言是思维的外壳，内部的思维条理性可以通过外部的数学语言表达呈现出来，数学语言表达能力的提高可以推动思维的条理性。在数学教学中，可以引导学生用准确的数学语言表述推理的过程、概括总结推理的结果，从而发展数学思维的严谨性和有序性。

师：第一题怎么知道商的十位上是8？

生1：除数是8，就想8的乘法口诀：几八六十多。只有八八六十四符合的。

师：商的十位只能是8吗？（生迟疑思考）

生2：不能是9，因为如果商9的话，第一步的积就是72，比被除数的前两位大了。

生3：如果是7的话，积就是56，比被除数的前两位小，说明也是可以的。

师：有道理吗？（有）照这样想，是不是比8小数的都行？

生4：6不行。六八四十八，如果被除数的十位是0，余数就是12比8大了。更不能是5，4，3，2，1。

师：也就是说这一题的商的十位只能是几？我们是根据什么来判断出来的？

在教学第二题的时候，重点引导学生说清推理的过程：可能是几，为什么是这几个数？不能是几，为什么不能是这些数？

算式谜是培养学生推理能力的较好素材。其中充满了猜想、验证和逻辑推理。其核心就是“可能是几，为什么是这几个数？不能是几，为什么不能是这些数？”上述教学环节就紧扣这个核心有序展开，从而让学生借助数学表达呈现自己的有序思维。

2. 从推理能力的主要类型的视角，应引导学生积累丰富的推理活动经验。面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或者类比，提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假，并进一步修正或者否定此猜想。因此，从推理能力的主要类型看，主要有归纳推理、类比推理、反例反驳和演绎证明四种。对应地，前两种属于合情推理，后两者属于演绎推理。教学中，我们都要借助相应的素材加以训练和指导，从而让学生积累丰富的推理活动经验。

（1）借助实例，积累归纳推理经验。归纳是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。它是一种由特殊到一般的推理过程，小学中的许多推理都属于这种类型。

例如“平年和闰年”一课，“四年一闰”的规律探索主要引导观察年历表、采用不完全归纳法的推理方法。先是借助年历卡，观察发现2004年2月的天数和2005年2月的天数是不同的，并告诉学生“2月只有28天的这一年是平年；有29天的这一年是闰年。”接着出示“2001～2014年的2月”的月历卡，引导学生对照每年的2月份的天数判断这一年是平年还是闰年。教师根据学生汇报板书：平、平、平、闰、平、平、平、闰、平、平、平、闰、平、平。在此基础上引导学生观察板书说说自己的发现：“四年一闰”。教师再适时介绍“世纪年”的平闰判断方法和依据。学生在探究“四年一闰”的规律时尽管不知道使用了“不完全归纳法”的推理方式，但是学生较为完整地经历了观察、归纳的过程，积累了不完全归纳的推理经验。

（2）借助比较，积累类比推理经验。类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。它是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性。

在做第3题时（如上图），先出示第一组并组织学生算前比较：比一比这两道题，它们有什么相同的地方和不同的地方？学生发现：它们的被除数相同，除数不同。接着引发思考：这是大家很容易看到的，也是表面的。谁能根据这个表面的现象想到大家看不到的不同呢？学生深入比较后发现：它们的商不一样：一个是两位数，一个是三位数。这时教师板书“商的位数不同”并再次组织比较：怎么判断出商是两位数还是三位数呢？商是两位数的除法与商是三位数的除法在计算过程中有什么相同和不同呢？

三位数除以一位数，根据商的特点可以分为两类：商是三位数和商是两位数。上面的教学就是通过类比两类除法算式的相同点和不同点，在同中求异和异中求同两个层次的类比中，学生不仅掌握了商的位数的判断方法，而且进一步完善了三位数除以一位数的计算方法，还积累了类比推理的活动经验。

（3）借助举例，积累反例反驳经验。反驳是运用已经知道是真实的判断，去证明某个判断是虚假的思维过程。反驳是一种特殊形式的证明，属于演绎推理的一种。反驳同证明一样，是维护真理、发展真理不可或缺的手段。在小学数学教学中，可以引导学生“举反例来说明道理”的方法初步积累反例反驳的推理经验。

例如 “商里有0的除法”一课，为了引导学生探究“商里有0的除法的特点”，教师先出示两道题：864÷8和483÷4。学生估算商的位数后笔算。得出商后组织学生观察、比较、讨论、举例、验证。教学到这里，教师并没有停止教学，而是话锋一转：“请思考这样的说法对不对：被除数中有0，商里就一定有0。”学生异口同声：错。教师顺势引导：怎样说明这种说法是错的呢？举什么样的例子？学生讨论后一致认为：举被除数中有0，但是商里没有0的。接着再引发思考：要举几个例子？（一个就够了）。最后教师点拨：是啊，在判断一种说法是否正确的时候，我们只要找到一个不符合这种说法的例子，就能够说明这个说法是错的。这种方法就是举反例，是我们数学中很常用的一种方法。

这个片段，教师主要引导学生观察发现、举例验证。前一半都是举正例，证明自己的猜测正确。后一半则引导学生举反例来说明“被除数中有0，商里就一定有0”命题的错误。学生经历了举反例的过程，就能积累“反例反驳”的推理经验。在后续的学习中，需要广泛应用反例反驳的推理形式。例如“所有的偶数都是合数”、“所有的假分数都大于1”，等等。学生只有不断地积累反例反驳的活动经验，才能逐步形成反例反驳的推理能力。

（4）借助转化，积累演绎推理经验。演绎推理是以一个一般性判断为前提，推出一个作为结论的个别的或特殊的判断的推理方法，即由一般到特殊的推理方法。小学阶段涉及到纯粹的演绎推理很少，但不是说没有演绎推理的成分。

参考文献：

[1] 教育部.《义务教育数学课程标准（2011版）》[M].北京：北京师范大学出版社，2012，6.

[2] 辞海编纂委员会.《辞海》（1999年版）[M].上海： 上海辞书出版社.1999，521.

[3] 辞海编纂委员会.《辞海》（1999年版）[M].上海： 上海辞书出版社.1999，1987.

[4] 教育部.《义务教育数学课程标准（2011版）》[M].北京：北京师范大学出版社，2012，6.

[5] [美]G.波利亚著.李心灿，王心爽，李志尧译.《数学与猜想（第二卷）——合情推理模式》[M].北京：科学出版社，2001，176.

[6] 顾泠沅，朱成杰编.《数学思想方法》[M].北京：中国广播电视大学出版社，2004，88.endprint

（2）基于丰富例证，展开验证过程。在基于既定的数学事实或已有的数学经验提出某个数学猜想以后，一般会举例进行验证，由于受思维发展水平和所掌握的知识限制，学生通常无力进行严格的数学证明，也不需要进行严密的演绎推理论证。这就要求在举例验证时应提供足够多的特例，范围要足够广；验证的特例要有典型性和代表性。这样才能借助丰富的例证使得结论具有“更大”的可靠性和说服力。

例如教学“三角形内角和”时，主要让学生由特殊到一般，通过自己的探索活动认识与掌握三角形内角和是180°。教材28页例题（如上图）分两个层次：首先安排学生计算三角尺3个内角的和， 在特殊的直角三角形内角和的探索中，发现都是180°这一奇妙现象，并引发出联想：其他三角形的内角和是否也都是180°？由此产生学习的愿望。接着用实验的方法验证、确认三角形内角和的结论：引导学生小组合作，用三个不同类的三角形（锐角三角形、直角三角形和钝角三角形）分别折一折，通过实验获得直接认识，验证自己的猜想，从而确认三角形的三个内角的和是180°这里从三角形的三类出发，通过丰富而全面的例证探索这一规律具有一般性。

（3）基于数学表达，展现有序思维。语言是思维的外壳，内部的思维条理性可以通过外部的数学语言表达呈现出来，数学语言表达能力的提高可以推动思维的条理性。在数学教学中，可以引导学生用准确的数学语言表述推理的过程、概括总结推理的结果，从而发展数学思维的严谨性和有序性。

师：第一题怎么知道商的十位上是8？

生1：除数是8，就想8的乘法口诀：几八六十多。只有八八六十四符合的。

师：商的十位只能是8吗？（生迟疑思考）

生2：不能是9，因为如果商9的话，第一步的积就是72，比被除数的前两位大了。

生3：如果是7的话，积就是56，比被除数的前两位小，说明也是可以的。

师：有道理吗？（有）照这样想，是不是比8小数的都行？

生4：6不行。六八四十八，如果被除数的十位是0，余数就是12比8大了。更不能是5，4，3，2，1。

师：也就是说这一题的商的十位只能是几？我们是根据什么来判断出来的？

在教学第二题的时候，重点引导学生说清推理的过程：可能是几，为什么是这几个数？不能是几，为什么不能是这些数？

算式谜是培养学生推理能力的较好素材。其中充满了猜想、验证和逻辑推理。其核心就是“可能是几，为什么是这几个数？不能是几，为什么不能是这些数？”上述教学环节就紧扣这个核心有序展开，从而让学生借助数学表达呈现自己的有序思维。

2. 从推理能力的主要类型的视角，应引导学生积累丰富的推理活动经验。面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或者类比，提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假，并进一步修正或者否定此猜想。因此，从推理能力的主要类型看，主要有归纳推理、类比推理、反例反驳和演绎证明四种。对应地，前两种属于合情推理，后两者属于演绎推理。教学中，我们都要借助相应的素材加以训练和指导，从而让学生积累丰富的推理活动经验。

（1）借助实例，积累归纳推理经验。归纳是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。它是一种由特殊到一般的推理过程，小学中的许多推理都属于这种类型。

例如“平年和闰年”一课，“四年一闰”的规律探索主要引导观察年历表、采用不完全归纳法的推理方法。先是借助年历卡，观察发现2004年2月的天数和2005年2月的天数是不同的，并告诉学生“2月只有28天的这一年是平年；有29天的这一年是闰年。”接着出示“2001～2014年的2月”的月历卡，引导学生对照每年的2月份的天数判断这一年是平年还是闰年。教师根据学生汇报板书：平、平、平、闰、平、平、平、闰、平、平、平、闰、平、平。在此基础上引导学生观察板书说说自己的发现：“四年一闰”。教师再适时介绍“世纪年”的平闰判断方法和依据。学生在探究“四年一闰”的规律时尽管不知道使用了“不完全归纳法”的推理方式，但是学生较为完整地经历了观察、归纳的过程，积累了不完全归纳的推理经验。

（2）借助比较，积累类比推理经验。类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。它是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性。

在做第3题时（如上图），先出示第一组并组织学生算前比较：比一比这两道题，它们有什么相同的地方和不同的地方？学生发现：它们的被除数相同，除数不同。接着引发思考：这是大家很容易看到的，也是表面的。谁能根据这个表面的现象想到大家看不到的不同呢？学生深入比较后发现：它们的商不一样：一个是两位数，一个是三位数。这时教师板书“商的位数不同”并再次组织比较：怎么判断出商是两位数还是三位数呢？商是两位数的除法与商是三位数的除法在计算过程中有什么相同和不同呢？

三位数除以一位数，根据商的特点可以分为两类：商是三位数和商是两位数。上面的教学就是通过类比两类除法算式的相同点和不同点，在同中求异和异中求同两个层次的类比中，学生不仅掌握了商的位数的判断方法，而且进一步完善了三位数除以一位数的计算方法，还积累了类比推理的活动经验。

（3）借助举例，积累反例反驳经验。反驳是运用已经知道是真实的判断，去证明某个判断是虚假的思维过程。反驳是一种特殊形式的证明，属于演绎推理的一种。反驳同证明一样，是维护真理、发展真理不可或缺的手段。在小学数学教学中，可以引导学生“举反例来说明道理”的方法初步积累反例反驳的推理经验。

例如 “商里有0的除法”一课，为了引导学生探究“商里有0的除法的特点”，教师先出示两道题：864÷8和483÷4。学生估算商的位数后笔算。得出商后组织学生观察、比较、讨论、举例、验证。教学到这里，教师并没有停止教学，而是话锋一转：“请思考这样的说法对不对：被除数中有0，商里就一定有0。”学生异口同声：错。教师顺势引导：怎样说明这种说法是错的呢？举什么样的例子？学生讨论后一致认为：举被除数中有0，但是商里没有0的。接着再引发思考：要举几个例子？（一个就够了）。最后教师点拨：是啊，在判断一种说法是否正确的时候，我们只要找到一个不符合这种说法的例子，就能够说明这个说法是错的。这种方法就是举反例，是我们数学中很常用的一种方法。

这个片段，教师主要引导学生观察发现、举例验证。前一半都是举正例，证明自己的猜测正确。后一半则引导学生举反例来说明“被除数中有0，商里就一定有0”命题的错误。学生经历了举反例的过程，就能积累“反例反驳”的推理经验。在后续的学习中，需要广泛应用反例反驳的推理形式。例如“所有的偶数都是合数”、“所有的假分数都大于1”，等等。学生只有不断地积累反例反驳的活动经验，才能逐步形成反例反驳的推理能力。

（4）借助转化，积累演绎推理经验。演绎推理是以一个一般性判断为前提，推出一个作为结论的个别的或特殊的判断的推理方法，即由一般到特殊的推理方法。小学阶段涉及到纯粹的演绎推理很少，但不是说没有演绎推理的成分。

参考文献：

[1] 教育部.《义务教育数学课程标准（2011版）》[M].北京：北京师范大学出版社，2012，6.

[2] 辞海编纂委员会.《辞海》（1999年版）[M].上海： 上海辞书出版社.1999，521.

[3] 辞海编纂委员会.《辞海》（1999年版）[M].上海： 上海辞书出版社.1999，1987.

[4] 教育部.《义务教育数学课程标准（2011版）》[M].北京：北京师范大学出版社，2012，6.

[5] [美]G.波利亚著.李心灿，王心爽，李志尧译.《数学与猜想（第二卷）——合情推理模式》[M].北京：科学出版社，2001，176.

[6] 顾泠沅，朱成杰编.《数学思想方法》[M].北京：中国广播电视大学出版社，2004，88.endprint