一类椭圆边值问题紧有限差分方法的单调迭代算法

武文佳

(上海电机学院 数理教学部, 上海 201306)

一类椭圆边值问题紧有限差分方法的单调迭代算法

武文佳

(上海电机学院 数理教学部, 上海 201306)

对一类二维常系数半线性椭圆边值问题的四阶紧有限差分方法，建立了有效的单调迭代算法，给出相应的收敛性分析，并通过数值实验验证了理论分析的正确性。

半线性椭圆边值问题; 单调迭代算法; 收敛率

椭圆型偏微分方程的边值问题被广泛应用于物理、生物、工程等很多应用领域，对此类问题建立紧有限差分方法，并给出有效的单调迭代算法有着重要的理论意义和实际的应用价值[1-2]。近年来，对此类边值问题的四阶紧有限差分方法得到了广泛的关注和应用[3-10]。在以往的研究中，已经对一类常系数二维半线性椭圆边值问题建立了四阶紧有限差分格式[11]。由于问题本身的非线性，得到的有限差分方程组为线性代数方程组；对此类方程组，一个基本的问题就是建立有效的单调迭代算法。本文主要对文献[11]中的紧有限差分格式建立有效的单调迭代算法，并给出数值实验结果。

1 紧有限差分格式

本文研究如下的二维半线性椭圆边值问题：

(1)

式中，Ω⊂R2为矩形区域的组合，其边界平行于x轴或y轴；函数f(x,y,u)和φ(x,y)在定义域内充分光滑；函数f(·,·,u)关于u为非线性的、函数c(x,y)和d(x,y)为Ω上正的光滑函数。

引入中心差分算子替换方程中的微分算子，通过紧逼近截断误差项，文献[11]中已经建立了如下的四阶紧有限差分格式：

(2)

它等价于

(3)

式中：

其中，αi,j、βi,j、Ci,j、Di,j、γi,j分别为系数，即：

ci,j=c(xi,yj)，di,j=d(xi,yj)

且

(4)

式中，σ=hx/hy为步长比。

由式(4)可知，存在正的常数h*，使得对于所有的hx

(5)

(6)

同样，由式(4)可知，给定任意非负常数M，存在正常数h(M)，使得所有的hx

(7)

2 定义与引理

(8)

引理1假设式(6)成立，M为非负常数。若hx

(9)

证明根据式(9)，结合文献[12]206页中的定理1，显然可证引理的结论成立。

(10)

(11)

证明根据式(10)、(11)，结合定义2，类似引理1的证明过程，可证引理2结论成立。

3 单调迭代算法

(12)

用这些常数作为参数，本文给出如下Picard型线性单调迭代算法：

(13)

本文将证明式(13)具有单调收敛性。

(14)

证明证明过程与文献[11]中定理2的证明过程类似(只需将文献[11]中引理1用本文引理2替代)，此处略。

定理1给出了式(13)的单调收敛性，但是，显示收敛率还是未知的，以下给出保证序列几何收敛的充要条件。

(15)

定理2设定理1的条件和式(15)成立，且hx

(16)

且

(17)

根据式(15)，有

(18)

(19)

根据引理2可知(A-BM*)-1存在且非负，这说明向量Y=(A-BM*)-1E为正，其中，E为所有元素都是1的向量。令Yi为Y的第i个分量，定义D=diag(1/Yi),其中，1/Yi即为导出定理中的Xi,则有

D(A-BM*)D-1E=D(A-BM*)Y=DE>0

或

D(A+BM)D-1E>DB(M+M*)D-1E

由引理2可知(A+BM)-1非负，故有

D(A+BM)-1B(M+M*)D-1E

再根据M*≥-M可得

因此,由式(19)可知

这就证明了对于极大序列，式(16)成立。同理可证，对于极小序列，式(16)也成立。

式(16)表明，由式(13)得到的极大和极小序列至少为几何收敛的，收敛率ρ*由式(17)给出。

4 数值实验

现将上述单调迭代算法应用于实际应用中的模型问题，来说明四阶紧有限差分方法的精度和本文提出的单调迭代算法的有效性。

考虑如下人口增长模型中常见的问题：

(20)

式中，Ω=(0,1)×(0,1)；k为正常数；函数ζ(x,y)和φ(x,y)为已知的，使得

u(x,y)=sin(4πx)sin(πy)

为模型问题式(20)的精确解。

选取k=1.5，用本文提出的单调迭代算法式(13)计算紧有限差分方程组，其中迭代终止的准则为

图1 极大序列和极小序列在点(0.5,0.5)处的单调收敛性Fig.1 Monotone convergence of maximal andminimal sequences at (0.5,0.5)

为说明数值解的四阶精度，选择hx=hy=h。表1给出了取不同h时数值解的L∞-误差errorL∞(h)和阶数orderL∞(h)，其中ε=10-13。L∞-误差和阶数计算如下：

其中，u表示原问题的精确解。

计算结果如表1所示。由数值结果可知，数值解具有四阶精度，这与理论分析相吻合，同时说明了本文提出的单调迭代算法的有效性。

表1 数值解的L∞-误差和阶数Tab.1 L∞-error and order of computed solution

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Monotone Iterative Algorithm of Compact Finite Difference Methodfor a Class of Elliptic Boundary Value Problems

WUWenjia

(Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

An effective monotone iterative algorithm is proposed for the fourth-order compact finite difference scheme of a class of two dimensional semi-linear elliptic boundary value problems. We analyze convergence rate of this iterative algorithm, give numerical results to show effectiveness of the algorithm.

semi-linear elliptic boundary value problem; monotone iterative algorithm; convergence rate

2014 - 06 - 16

上海高校青年教师培养资助计划项目资助(ZZSDJ13020)

武文佳(1985-),女，讲师，博士，主要研究方向为偏微分方程数值解，Email： wuwj@sdju.edu.cn

2095 - 0020(2014)05 -0283 - 05

O 241.82

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