填空题八法任逍遥

填空题八法任逍遥

乐山外国语学校 (614000)林明成

填空题是高考数学客观题之一，作为一种固定的考试形式出现在各地高考试题中. 由于填空题设计的跨度大，覆盖面广，形式灵活多变，能力要求较高，因而历年高考中，这类题型得分较低. 解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解法要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意. 本文介绍常规填空题的八种解法.

一、直接法

直接从题设出发，利用定义、定理、性质、公式等，通过推理、变形、运算得出结论，这是填空题的基本方法.

例1设函数f(x)=ex+x-a(a∈R，e为自然对数的底数).若存在b∈［0,1］使f(f(b))=b成立，则a的取值范围为 .

解函数f(x)在［0,1］上单调递增.

若f(x)>x，则f(f(x))>x；若f(x)

因此由题意得，方程ex+x-a=x2在［0,1］上有解, 即a=ex+x-x2在［0,1］上有解,设g(x)=ex+x-x2, 则a的范围就是g(x)在［0,1］上的值域.

因为g′(x)=ex+1-2x在［0,1］上恒正，所以g(x)在［0,1］上单调递增,

所以g(x)在［0,1］上的值域为［1,e］，故a的取值范围为［1,e］.

类题演练1锐角△ABC，若B=2A，则ba的取值范围是 .

二、特值法

特殊值中的“值”，并不仅仅指数值，而是状态、参数的意思. 当题目暗示答案是一个定值时，我们可取一些特殊数值，或一些特殊位置，或特殊图形来确定这个定值．对于解答题而言，特例常常只提供论证的方向，而对填空题而言却是答案.

图1例2如图1，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线交直线AB、AC于不同两点M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n的值为 .

解令M与B，N与C重合,

所以m=1,n=1, 所以m+n=2.

类题演练2设坐标原点为O，过焦点的直线与抛物线y2=2x交于A、B两点，则OA·OB=.

三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果.

例3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间［0,2］上是增函数. 若方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根x1,x2,x3,x4, 则x1+x2+x3+x4= .

解因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x), 所以f(4-x)=f(x),

所以函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0.

由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),

所以函数是以8为周期的周期函数,

又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数,

所以f(x)在区间［-2,0］上也是增函数.

图2那么方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1

如图2, 由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4.

所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

类题演练3已知函数f(x)=ln(ex+a)(e是自然对数的底数，a为常数）是实数集R上的奇函数，若函数g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有两个零点，则实数m的取值范围是 .

四、等价转化法

从题设出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的问题等价转化为简单的、熟悉的、具体的、容易解决的问题，即将所给问题等价转化为另一种容易理解的语言或易求解的形式.

例4已知曲线C∶y=xlnx+1恒在直线l∶y=kx的上方，则实数k的取值范围为 .

解xlnx+1>kx恒成立，即k

类题演练4关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在区间［1,5］上恒成立，则实数k的取值范围为.

五、整体处理法

把需要解决的问题看作一个整体，分析问题的整体形式、整体结构、整体功能或作种种整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的.

例5若f(x)=2cosxcos(30°-x)，则f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=.

解析f(x)+f(60°-x)

=2cosxcos(30°-x)+2cos(60°-x)cos(x-30°)=2×

cos［(x-30°)+30°］+cos［(x-30°)-30°］cos(x-30°)=23.

所以f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=593.

类题演练5 三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面面积分别为6，4，3，则该三棱锥的外接球的表面积为 .

六、类比法

抓住相同或相似的属性，进行推广、迁移、发散等等.

例6在等差数列{an}中，若a10=0, 则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19,n∈N*)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式成立.

解在等差数列{an}前19项中，其中间一项a10=0,因此an+1与a19-n，an+2与a18-n，…，a19与a1互为相反数,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.相似地，在等比数列{bn}的前17项中，其中间一项b9=1,因此bn+1与b17-n，bn+2与b16-n，…，b17与b1互为倒数,不难得到等式b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).

类题演练6若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=a1+a2+…+ann(n∈N*)，则{bn}也为等差数列.类比上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列，且cn>0，数列{dn}满足dn= , 则数列{dn}也为等比数列.

七、构造法

依据题设所提供的信息，有目的地去构造函数、数列、方程、不等式、模型等使问题获解．

例7数3可以用四种方法表示为1个或几个正数之和，如3,1+2,2+1,1+1+1.问10表示为1个或几个正数之和的方法有 种.

解将10个1写成一行，它们之间留有9个间隙，在这些间隙处或者什么都不填，或者填上“+”号.例如3的四种表示方法：3,1+2,2+1,1+1+1,对应111,1+11,11+1,1+1+1.显然“10的表示方法”与“9个间隙处填或不填加号的方法”之间一一对应,所以10表示为1个或几个正数之和的方法有29=512(种).

类题演练7组织一个球队共10人,他们从3所中学中组成,若每个学校至少2人, 则名额分配方案有种.

八、动态探究法

用运动变化的观点，通过翻折、展开、旋转、投影等方法探究.

图3例8如图3，正三棱锥S-ABC的底面边长为2a,E、F、G、H分别是SA、SB、BC、AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围为.

解由题设知，四边形EFGH为矩形,SEFGH=EF×FG=12a×SC.设△ABC的中心为O，则点S在过点O且垂直于平面ABC的直线上运动, 又CO=233a，所以SC的取值范围为(233a,+∞),故EFGH的面积的取值范围为(33a2,+∞).

类题演练8钝角三角形ABC，三内角成等差数列，则最长边与最短边的比的取值范围是 .

类题演练答案:

1.(2,3) 2.-343.(-∞,e2+1e)4.(-∞,6］5. 29π

6.dn=nc1c2…cn(n∈N*)

7.158.(2,+∞)(收稿日期：2013-06-28)

填空题八法任逍遥

乐山外国语学校 (614000)林明成

填空题是高考数学客观题之一，作为一种固定的考试形式出现在各地高考试题中. 由于填空题设计的跨度大，覆盖面广，形式灵活多变，能力要求较高，因而历年高考中，这类题型得分较低. 解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解法要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意. 本文介绍常规填空题的八种解法.

一、直接法

直接从题设出发，利用定义、定理、性质、公式等，通过推理、变形、运算得出结论，这是填空题的基本方法.

例1设函数f(x)=ex+x-a(a∈R，e为自然对数的底数).若存在b∈［0,1］使f(f(b))=b成立，则a的取值范围为 .

解函数f(x)在［0,1］上单调递增.

若f(x)>x，则f(f(x))>x；若f(x)

因此由题意得，方程ex+x-a=x2在［0,1］上有解, 即a=ex+x-x2在［0,1］上有解,设g(x)=ex+x-x2, 则a的范围就是g(x)在［0,1］上的值域.

因为g′(x)=ex+1-2x在［0,1］上恒正，所以g(x)在［0,1］上单调递增,

所以g(x)在［0,1］上的值域为［1,e］，故a的取值范围为［1,e］.

类题演练1锐角△ABC，若B=2A，则ba的取值范围是 .

二、特值法

特殊值中的“值”，并不仅仅指数值，而是状态、参数的意思. 当题目暗示答案是一个定值时，我们可取一些特殊数值，或一些特殊位置，或特殊图形来确定这个定值．对于解答题而言，特例常常只提供论证的方向，而对填空题而言却是答案.

图1例2如图1，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线交直线AB、AC于不同两点M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n的值为 .

解令M与B，N与C重合,

所以m=1,n=1, 所以m+n=2.

类题演练2设坐标原点为O，过焦点的直线与抛物线y2=2x交于A、B两点，则OA·OB=.

三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果.

例3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间［0,2］上是增函数. 若方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根x1,x2,x3,x4, 则x1+x2+x3+x4= .

解因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x), 所以f(4-x)=f(x),

所以函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0.

由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),

所以函数是以8为周期的周期函数,

又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数,

所以f(x)在区间［-2,0］上也是增函数.

图2那么方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1

如图2, 由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4.

所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

类题演练3已知函数f(x)=ln(ex+a)(e是自然对数的底数，a为常数）是实数集R上的奇函数，若函数g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有两个零点，则实数m的取值范围是 .

四、等价转化法

从题设出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的问题等价转化为简单的、熟悉的、具体的、容易解决的问题，即将所给问题等价转化为另一种容易理解的语言或易求解的形式.

例4已知曲线C∶y=xlnx+1恒在直线l∶y=kx的上方，则实数k的取值范围为 .

解xlnx+1>kx恒成立，即k

类题演练4关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在区间［1,5］上恒成立，则实数k的取值范围为.

五、整体处理法

把需要解决的问题看作一个整体，分析问题的整体形式、整体结构、整体功能或作种种整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的.

例5若f(x)=2cosxcos(30°-x)，则f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=.

解析f(x)+f(60°-x)

=2cosxcos(30°-x)+2cos(60°-x)cos(x-30°)=2×

cos［(x-30°)+30°］+cos［(x-30°)-30°］cos(x-30°)=23.

所以f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=593.

类题演练5 三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面面积分别为6，4，3，则该三棱锥的外接球的表面积为 .

六、类比法

抓住相同或相似的属性，进行推广、迁移、发散等等.

例6在等差数列{an}中，若a10=0, 则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19,n∈N*)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式成立.

解在等差数列{an}前19项中，其中间一项a10=0,因此an+1与a19-n，an+2与a18-n，…，a19与a1互为相反数,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.相似地，在等比数列{bn}的前17项中，其中间一项b9=1,因此bn+1与b17-n，bn+2与b16-n，…，b17与b1互为倒数,不难得到等式b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).

类题演练6若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=a1+a2+…+ann(n∈N*)，则{bn}也为等差数列.类比上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列，且cn>0，数列{dn}满足dn= , 则数列{dn}也为等比数列.

七、构造法

依据题设所提供的信息，有目的地去构造函数、数列、方程、不等式、模型等使问题获解．

例7数3可以用四种方法表示为1个或几个正数之和，如3,1+2,2+1,1+1+1.问10表示为1个或几个正数之和的方法有 种.

解将10个1写成一行，它们之间留有9个间隙，在这些间隙处或者什么都不填，或者填上“+”号.例如3的四种表示方法：3,1+2,2+1,1+1+1,对应111,1+11,11+1,1+1+1.显然“10的表示方法”与“9个间隙处填或不填加号的方法”之间一一对应,所以10表示为1个或几个正数之和的方法有29=512(种).

类题演练7组织一个球队共10人,他们从3所中学中组成,若每个学校至少2人, 则名额分配方案有种.

八、动态探究法

用运动变化的观点，通过翻折、展开、旋转、投影等方法探究.

图3例8如图3，正三棱锥S-ABC的底面边长为2a,E、F、G、H分别是SA、SB、BC、AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围为.

解由题设知，四边形EFGH为矩形,SEFGH=EF×FG=12a×SC.设△ABC的中心为O，则点S在过点O且垂直于平面ABC的直线上运动, 又CO=233a，所以SC的取值范围为(233a,+∞),故EFGH的面积的取值范围为(33a2,+∞).

类题演练8钝角三角形ABC，三内角成等差数列，则最长边与最短边的比的取值范围是 .

类题演练答案:

1.(2,3) 2.-343.(-∞,e2+1e)4.(-∞,6］5. 29π

6.dn=nc1c2…cn(n∈N*)

7.158.(2,+∞)(收稿日期：2013-06-28)

填空题八法任逍遥

乐山外国语学校 (614000)林明成

填空题是高考数学客观题之一，作为一种固定的考试形式出现在各地高考试题中. 由于填空题设计的跨度大，覆盖面广，形式灵活多变，能力要求较高，因而历年高考中，这类题型得分较低. 解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解法要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意. 本文介绍常规填空题的八种解法.

一、直接法

直接从题设出发，利用定义、定理、性质、公式等，通过推理、变形、运算得出结论，这是填空题的基本方法.

例1设函数f(x)=ex+x-a(a∈R，e为自然对数的底数).若存在b∈［0,1］使f(f(b))=b成立，则a的取值范围为 .

解函数f(x)在［0,1］上单调递增.

若f(x)>x，则f(f(x))>x；若f(x)

因此由题意得，方程ex+x-a=x2在［0,1］上有解, 即a=ex+x-x2在［0,1］上有解,设g(x)=ex+x-x2, 则a的范围就是g(x)在［0,1］上的值域.

因为g′(x)=ex+1-2x在［0,1］上恒正，所以g(x)在［0,1］上单调递增,

所以g(x)在［0,1］上的值域为［1,e］，故a的取值范围为［1,e］.

类题演练1锐角△ABC，若B=2A，则ba的取值范围是 .

二、特值法

特殊值中的“值”，并不仅仅指数值，而是状态、参数的意思. 当题目暗示答案是一个定值时，我们可取一些特殊数值，或一些特殊位置，或特殊图形来确定这个定值．对于解答题而言，特例常常只提供论证的方向，而对填空题而言却是答案.

图1例2如图1，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线交直线AB、AC于不同两点M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n的值为 .

解令M与B，N与C重合,

所以m=1,n=1, 所以m+n=2.

类题演练2设坐标原点为O，过焦点的直线与抛物线y2=2x交于A、B两点，则OA·OB=.

三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果.

例3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间［0,2］上是增函数. 若方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根x1,x2,x3,x4, 则x1+x2+x3+x4= .

解因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x), 所以f(4-x)=f(x),

所以函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0.

由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),

所以函数是以8为周期的周期函数,

又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数,

所以f(x)在区间［-2,0］上也是增函数.

图2那么方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1

如图2, 由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4.

所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

类题演练3已知函数f(x)=ln(ex+a)(e是自然对数的底数，a为常数）是实数集R上的奇函数，若函数g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有两个零点，则实数m的取值范围是 .

四、等价转化法

从题设出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的问题等价转化为简单的、熟悉的、具体的、容易解决的问题，即将所给问题等价转化为另一种容易理解的语言或易求解的形式.

例4已知曲线C∶y=xlnx+1恒在直线l∶y=kx的上方，则实数k的取值范围为 .

解xlnx+1>kx恒成立，即k

类题演练4关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在区间［1,5］上恒成立，则实数k的取值范围为.

五、整体处理法

把需要解决的问题看作一个整体，分析问题的整体形式、整体结构、整体功能或作种种整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的.

例5若f(x)=2cosxcos(30°-x)，则f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=.

解析f(x)+f(60°-x)

=2cosxcos(30°-x)+2cos(60°-x)cos(x-30°)=2×

cos［(x-30°)+30°］+cos［(x-30°)-30°］cos(x-30°)=23.

所以f(1°)+f(2°)+f(3°)+…+f(59°)=593.

类题演练5 三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面面积分别为6，4，3，则该三棱锥的外接球的表面积为 .

六、类比法

抓住相同或相似的属性，进行推广、迁移、发散等等.

例6在等差数列{an}中，若a10=0, 则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19,n∈N*)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式成立.

解在等差数列{an}前19项中，其中间一项a10=0,因此an+1与a19-n，an+2与a18-n，…，a19与a1互为相反数,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.相似地，在等比数列{bn}的前17项中，其中间一项b9=1,因此bn+1与b17-n，bn+2与b16-n，…，b17与b1互为倒数,不难得到等式b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).

类题演练6若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=a1+a2+…+ann(n∈N*)，则{bn}也为等差数列.类比上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列，且cn>0，数列{dn}满足dn= , 则数列{dn}也为等比数列.

七、构造法

依据题设所提供的信息，有目的地去构造函数、数列、方程、不等式、模型等使问题获解．

例7数3可以用四种方法表示为1个或几个正数之和，如3,1+2,2+1,1+1+1.问10表示为1个或几个正数之和的方法有 种.

解将10个1写成一行，它们之间留有9个间隙，在这些间隙处或者什么都不填，或者填上“+”号.例如3的四种表示方法：3,1+2,2+1,1+1+1,对应111,1+11,11+1,1+1+1.显然“10的表示方法”与“9个间隙处填或不填加号的方法”之间一一对应,所以10表示为1个或几个正数之和的方法有29=512(种).

类题演练7组织一个球队共10人,他们从3所中学中组成,若每个学校至少2人, 则名额分配方案有种.

八、动态探究法

用运动变化的观点，通过翻折、展开、旋转、投影等方法探究.

图3例8如图3，正三棱锥S-ABC的底面边长为2a,E、F、G、H分别是SA、SB、BC、AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围为.

解由题设知，四边形EFGH为矩形,SEFGH=EF×FG=12a×SC.设△ABC的中心为O，则点S在过点O且垂直于平面ABC的直线上运动, 又CO=233a，所以SC的取值范围为(233a,+∞),故EFGH的面积的取值范围为(33a2,+∞).

类题演练8钝角三角形ABC，三内角成等差数列，则最长边与最短边的比的取值范围是 .

类题演练答案:

1.(2,3) 2.-343.(-∞,e2+1e)4.(-∞,6］5. 29π

6.dn=nc1c2…cn(n∈N*)

7.158.(2,+∞)(收稿日期：2013-06-28)