例说数学模型的构造

例说数学模型的构造

四川师大附中(610066)姚友春

构造法是通过对问题的观察、分析和改造，恰当地构造新的数学模型，利用数学模型的相关知识解决数学问题的方法.本文通过数例介绍数学模型的构造，旨在抛砖引玉.

一、构造二次函数模型

例1设a、b、c为实数，4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则正确.

A.b2≤acB.b2>ac

C.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0

分析在解题时易受题设条件的干扰，企图从已知不等式出发，4b<4a+c①,2b<-(a+c)②,①×②不等式的方向无法确定，思维受阻.但观察到题目结论提供的选择支，不难想到二次方程的判别式，从而启发我们构造二次函数.

令f(x)=ax2+2bx+c,∴f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0.

若a≠0，Δ=4b2-4ac>0b2>ac

若a=0，则b≠0，∴b2>ac

综上所述，答案选B.

二、构造数列模型

例2若实数a,b,x,y满足方程组ax+by=3,ax2+by2=7,ax3+by3=16,ax4+by4=42,求ax5+by5.

分析且慢做题，本题字母多，字母的次数高，容易阻碍思维的进程.但观察到条件和结论提供的方程组结构，容易联想到数列的通项，故设Tn=axn+byn,(n∈N*).

∴Tn=axn-1(x+y)-yaxn-1+byn-1(x+y)-xbyn-1=(x+y)Tn-1-xyTn-2(n≥3)

又已知T1=3,T2=7,T3=16,T4=42.

∴T3=(x+y)T2-xyT1

T4=(x+y)T3-xyT2x+y=-14

xy=-38

∴T5=ax5+by5=-14×42+38×16=20

三、构造三角函数模型

例3实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2,则1Smax+1Smin的值为.

分析由条件S=x2+y2,构造x=Scosθ,y=ssinθ.由4x2-5xy+4y2=5.得4S-5Ssinθcosθ=5,S=54-5sinθcosθ

1S=4-5sinθcosθ5=8-5sin2θ10,

1Smax+1Smin=85.

四、构造向量模型

例4设a,b,c,x,y,z∈R,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,求a+b+cx+y+z的值.

分析由a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36的结构联想到向量的模，由ax+by+cz=30的结构联想到向量的数量积，故设m=(a,b,c),n=(x,y,z),则|m|=5,|n|=6,且有m·n=ax+by+cz=30=|m|·|n|,∴m与n方向相同.令m=λn,其中λ>0，λ=|m||n|=56,∴ax=by=cz=56.

∴a+b+cx+y+z=56.

五、构造线性规划模型

例5若直线l:ax+y+2=0与线段AB有公共点，其中A（-2,3),B(3,2)，求a的取值范围.

解由ax+y+2=0y=-ax-2,∴直线l过点（0，-2）,作图分析可知A、B两点必位于直线l两侧或直线过其中一点，∴(-2a+3+2)(3a+2+2)≤0,∴a≤-43或a≥52.

点评此题若采用斜率公式求解，由于斜率与倾斜角关系不易掌握，还得分类讨论，易出错，而本题解法运用了两点位于直线l两侧或直线l过其中一端点，利用线性规划思想，很巧妙地列出不等式，易于理解和操作.

六、构造点到直线距离模型

例6设a,b∈R,且关于x的方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有实数根，求S=a2+b2的最小值.

分析本题条件与结论无明显联系，考虑到方程的次数高，迫使我们降次.故有

x4+ax3+bx2+ax+1=0

(x2+1x2)+a(x+1x)+b=0

(x+1x)2+a(x+1x)+b-2=0

令t=x+1x,则|t|≥2

∴t2+at+b-2=0在（-∞,-2］∪［2,+∞)上有解.

把tm+n+t2-2=0看作关于m,n的直线方程，且（a,b)是直线上一点，a2+b2=(a-0)2+(b-0)2看作是原点到直线上一点（a,b)的距离.

a2+b2≥t2-2t2+1a2+b2≥(t2+1-3)2t2+1=t2+1+9t2+1-6(t2≥4).设f(x)=x+9x-6,容易证明f(x)在［3,+∞)上递增.

∴f(t2+1)=t2+1+9t2+1-6≥45(t2=4时不等式取等号）.∴a2+b2≥45,即S的最小值为45.

七、构造圆锥曲线模型

例7已知在△ABC中，|AC|+|BC|=10，|AB|=8，试求tanA2·tanB2的值.

图1解析机敏的读者一下发现了一个熟悉的模型：椭圆.这样，思维纳入了解析几何的轨道：如图1.设椭圆的长轴为2a，焦距为2c.

则|BC|sinA=|AC|sinB=|AB|sin(A+B)

|BC|+|AC|sinA+sinB=|AB|sin(A+B)

2asinA+sinB=2csin(A+B)

sin(A+B)sinA+sinB=ca=45

2sinA+B2cosA+B22sinA+B2cosA-B2=45,

cosA2cosB2-sinA2sinB2cosA2cosB2+sinA2sinB2=45

∴tanA2tanB2=19.

八、构造复数模型

例8函数f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值是.

分析f(x)=（x2-2)2+(x-3)2-(x2-1)2+x2

联想到复数的模也有类似形式

令z1=(x2-2)+(x-3)i

|z1|=（x2-2)2+(x-3)2

z2=(x2-1)+xi

|z2|=(x2-1)2+x2

∴f(x)=|z1|-|z2|

≤|z1-z2|=|-1-3i|=10

∴f(x)的最大值为10.(收稿日期：2013-12-04)

例说数学模型的构造

四川师大附中(610066)姚友春

构造法是通过对问题的观察、分析和改造，恰当地构造新的数学模型，利用数学模型的相关知识解决数学问题的方法.本文通过数例介绍数学模型的构造，旨在抛砖引玉.

一、构造二次函数模型

例1设a、b、c为实数，4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则正确.

A.b2≤acB.b2>ac

C.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0

分析在解题时易受题设条件的干扰，企图从已知不等式出发，4b<4a+c①,2b<-(a+c)②,①×②不等式的方向无法确定，思维受阻.但观察到题目结论提供的选择支，不难想到二次方程的判别式，从而启发我们构造二次函数.

令f(x)=ax2+2bx+c,∴f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0.

若a≠0，Δ=4b2-4ac>0b2>ac

若a=0，则b≠0，∴b2>ac

综上所述，答案选B.

二、构造数列模型

例2若实数a,b,x,y满足方程组ax+by=3,ax2+by2=7,ax3+by3=16,ax4+by4=42,求ax5+by5.

分析且慢做题，本题字母多，字母的次数高，容易阻碍思维的进程.但观察到条件和结论提供的方程组结构，容易联想到数列的通项，故设Tn=axn+byn,(n∈N*).

∴Tn=axn-1(x+y)-yaxn-1+byn-1(x+y)-xbyn-1=(x+y)Tn-1-xyTn-2(n≥3)

又已知T1=3,T2=7,T3=16,T4=42.

∴T3=(x+y)T2-xyT1

T4=(x+y)T3-xyT2x+y=-14

xy=-38

∴T5=ax5+by5=-14×42+38×16=20

三、构造三角函数模型

例3实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2,则1Smax+1Smin的值为.

分析由条件S=x2+y2,构造x=Scosθ,y=ssinθ.由4x2-5xy+4y2=5.得4S-5Ssinθcosθ=5,S=54-5sinθcosθ

1S=4-5sinθcosθ5=8-5sin2θ10,

1Smax+1Smin=85.

四、构造向量模型

例4设a,b,c,x,y,z∈R,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,求a+b+cx+y+z的值.

分析由a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36的结构联想到向量的模，由ax+by+cz=30的结构联想到向量的数量积，故设m=(a,b,c),n=(x,y,z),则|m|=5,|n|=6,且有m·n=ax+by+cz=30=|m|·|n|,∴m与n方向相同.令m=λn,其中λ>0，λ=|m||n|=56,∴ax=by=cz=56.

∴a+b+cx+y+z=56.

五、构造线性规划模型

例5若直线l:ax+y+2=0与线段AB有公共点，其中A（-2,3),B(3,2)，求a的取值范围.

解由ax+y+2=0y=-ax-2,∴直线l过点（0，-2）,作图分析可知A、B两点必位于直线l两侧或直线过其中一点，∴(-2a+3+2)(3a+2+2)≤0,∴a≤-43或a≥52.

点评此题若采用斜率公式求解，由于斜率与倾斜角关系不易掌握，还得分类讨论，易出错，而本题解法运用了两点位于直线l两侧或直线l过其中一端点，利用线性规划思想，很巧妙地列出不等式，易于理解和操作.

六、构造点到直线距离模型

例6设a,b∈R,且关于x的方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有实数根，求S=a2+b2的最小值.

分析本题条件与结论无明显联系，考虑到方程的次数高，迫使我们降次.故有

x4+ax3+bx2+ax+1=0

(x2+1x2)+a(x+1x)+b=0

(x+1x)2+a(x+1x)+b-2=0

令t=x+1x,则|t|≥2

∴t2+at+b-2=0在（-∞,-2］∪［2,+∞)上有解.

把tm+n+t2-2=0看作关于m,n的直线方程，且（a,b)是直线上一点，a2+b2=(a-0)2+(b-0)2看作是原点到直线上一点（a,b)的距离.

a2+b2≥t2-2t2+1a2+b2≥(t2+1-3)2t2+1=t2+1+9t2+1-6(t2≥4).设f(x)=x+9x-6,容易证明f(x)在［3,+∞)上递增.

∴f(t2+1)=t2+1+9t2+1-6≥45(t2=4时不等式取等号）.∴a2+b2≥45,即S的最小值为45.

七、构造圆锥曲线模型

例7已知在△ABC中，|AC|+|BC|=10，|AB|=8，试求tanA2·tanB2的值.

图1解析机敏的读者一下发现了一个熟悉的模型：椭圆.这样，思维纳入了解析几何的轨道：如图1.设椭圆的长轴为2a，焦距为2c.

则|BC|sinA=|AC|sinB=|AB|sin(A+B)

|BC|+|AC|sinA+sinB=|AB|sin(A+B)

2asinA+sinB=2csin(A+B)

sin(A+B)sinA+sinB=ca=45

2sinA+B2cosA+B22sinA+B2cosA-B2=45,

cosA2cosB2-sinA2sinB2cosA2cosB2+sinA2sinB2=45

∴tanA2tanB2=19.

八、构造复数模型

例8函数f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值是.

分析f(x)=（x2-2)2+(x-3)2-(x2-1)2+x2

联想到复数的模也有类似形式

令z1=(x2-2)+(x-3)i

|z1|=（x2-2)2+(x-3)2

z2=(x2-1)+xi

|z2|=(x2-1)2+x2

∴f(x)=|z1|-|z2|

≤|z1-z2|=|-1-3i|=10

∴f(x)的最大值为10.(收稿日期：2013-12-04)

例说数学模型的构造

四川师大附中(610066)姚友春

构造法是通过对问题的观察、分析和改造，恰当地构造新的数学模型，利用数学模型的相关知识解决数学问题的方法.本文通过数例介绍数学模型的构造，旨在抛砖引玉.

一、构造二次函数模型

例1设a、b、c为实数，4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则正确.

A.b2≤acB.b2>ac

C.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0

分析在解题时易受题设条件的干扰，企图从已知不等式出发，4b<4a+c①,2b<-(a+c)②,①×②不等式的方向无法确定，思维受阻.但观察到题目结论提供的选择支，不难想到二次方程的判别式，从而启发我们构造二次函数.

令f(x)=ax2+2bx+c,∴f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0.

若a≠0，Δ=4b2-4ac>0b2>ac

若a=0，则b≠0，∴b2>ac

综上所述，答案选B.

二、构造数列模型

例2若实数a,b,x,y满足方程组ax+by=3,ax2+by2=7,ax3+by3=16,ax4+by4=42,求ax5+by5.

分析且慢做题，本题字母多，字母的次数高，容易阻碍思维的进程.但观察到条件和结论提供的方程组结构，容易联想到数列的通项，故设Tn=axn+byn,(n∈N*).

∴Tn=axn-1(x+y)-yaxn-1+byn-1(x+y)-xbyn-1=(x+y)Tn-1-xyTn-2(n≥3)

又已知T1=3,T2=7,T3=16,T4=42.

∴T3=(x+y)T2-xyT1

T4=(x+y)T3-xyT2x+y=-14

xy=-38

∴T5=ax5+by5=-14×42+38×16=20

三、构造三角函数模型

例3实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2,则1Smax+1Smin的值为.

分析由条件S=x2+y2,构造x=Scosθ,y=ssinθ.由4x2-5xy+4y2=5.得4S-5Ssinθcosθ=5,S=54-5sinθcosθ

1S=4-5sinθcosθ5=8-5sin2θ10,

1Smax+1Smin=85.

四、构造向量模型

例4设a,b,c,x,y,z∈R,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,求a+b+cx+y+z的值.

分析由a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36的结构联想到向量的模，由ax+by+cz=30的结构联想到向量的数量积，故设m=(a,b,c),n=(x,y,z),则|m|=5,|n|=6,且有m·n=ax+by+cz=30=|m|·|n|,∴m与n方向相同.令m=λn,其中λ>0，λ=|m||n|=56,∴ax=by=cz=56.

∴a+b+cx+y+z=56.

五、构造线性规划模型

例5若直线l:ax+y+2=0与线段AB有公共点，其中A（-2,3),B(3,2)，求a的取值范围.

解由ax+y+2=0y=-ax-2,∴直线l过点（0，-2）,作图分析可知A、B两点必位于直线l两侧或直线过其中一点，∴(-2a+3+2)(3a+2+2)≤0,∴a≤-43或a≥52.

点评此题若采用斜率公式求解，由于斜率与倾斜角关系不易掌握，还得分类讨论，易出错，而本题解法运用了两点位于直线l两侧或直线l过其中一端点，利用线性规划思想，很巧妙地列出不等式，易于理解和操作.

六、构造点到直线距离模型

例6设a,b∈R,且关于x的方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有实数根，求S=a2+b2的最小值.

分析本题条件与结论无明显联系，考虑到方程的次数高，迫使我们降次.故有

x4+ax3+bx2+ax+1=0

(x2+1x2)+a(x+1x)+b=0

(x+1x)2+a(x+1x)+b-2=0

令t=x+1x,则|t|≥2

∴t2+at+b-2=0在（-∞,-2］∪［2,+∞)上有解.

把tm+n+t2-2=0看作关于m,n的直线方程，且（a,b)是直线上一点，a2+b2=(a-0)2+(b-0)2看作是原点到直线上一点（a,b)的距离.

a2+b2≥t2-2t2+1a2+b2≥(t2+1-3)2t2+1=t2+1+9t2+1-6(t2≥4).设f(x)=x+9x-6,容易证明f(x)在［3,+∞)上递增.

∴f(t2+1)=t2+1+9t2+1-6≥45(t2=4时不等式取等号）.∴a2+b2≥45,即S的最小值为45.

七、构造圆锥曲线模型

例7已知在△ABC中，|AC|+|BC|=10，|AB|=8，试求tanA2·tanB2的值.

图1解析机敏的读者一下发现了一个熟悉的模型：椭圆.这样，思维纳入了解析几何的轨道：如图1.设椭圆的长轴为2a，焦距为2c.

则|BC|sinA=|AC|sinB=|AB|sin(A+B)

|BC|+|AC|sinA+sinB=|AB|sin(A+B)

2asinA+sinB=2csin(A+B)

sin(A+B)sinA+sinB=ca=45

2sinA+B2cosA+B22sinA+B2cosA-B2=45,

cosA2cosB2-sinA2sinB2cosA2cosB2+sinA2sinB2=45

∴tanA2tanB2=19.

八、构造复数模型

例8函数f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值是.

分析f(x)=（x2-2)2+(x-3)2-(x2-1)2+x2

联想到复数的模也有类似形式

令z1=(x2-2)+(x-3)i

|z1|=（x2-2)2+(x-3)2

z2=(x2-1)+xi

|z2|=(x2-1)2+x2

∴f(x)=|z1|-|z2|

≤|z1-z2|=|-1-3i|=10

∴f(x)的最大值为10.(收稿日期：2013-12-04)