分离参数 事半功倍

聂文喜

利用导数解决含参数的函数问题（如零点、单调性、极值、不等式等）一般有两种思路：一是直接法，二是分离参数法，由于函数中含有参数，直接求解需分类讨论，分类讨论向来是学生的“软肋”，对于参数的讨论更是“软肋”中的“软肋”，为了摆脱分类讨论带来的烦恼，我们可以选择分离参数法.下面通过2013年高考题说明分离参数法在求参数范围中的应用．

一、判断函数零点个数

例1（2013年高考江苏卷理20（2））设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax，其中a为实数．若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

解由已知g′(x)=ex-a≥0，即a≤ex对x∈(-1,+∞)恒成立．

∵ex>e-1，∴a≤1e．

f(x)的零点个数等价于方程f(x)=lnx-ax=0在(0,+∞)上的根的个数，分离参数得a=lnxx，x>0，令h(x)=lnxx，则h′(x)=1-lnxx2，

令h′(x)>0，得0

令h′(x)<0，得x>e，h(x)在(e,+∞)单调递减，又limx→+∞h(x)=0,

图1limx→0h(x)=-∞，

在同一直角坐标系中做出

y=h(x)与y=a的图象，如图1，当a≤0或a=1e时，f(x)只有一个零点，当0

点评分离参数法将函数的零点问题转化为函数的值域问题．

二、判断方程根的个数

例2（2013年高考山东卷理21（2））设函数f(x)=xe2x+c(e=2.71828…是自然对数的底数，c∈R）．讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数．

解由|lnx|=f(x)=xe2x+c,分离参数得

c=lnx-xe2x,x≥1,

-lnx-xe2x,0

令g(x)=lnx-xe2x,x≥1,

-lnx-xe2x,0

则g′(x)=e-2x(e2xx+2x-1),x≥1.

e-2x(-e2xx+2x-1),0

当x≥1时，g′(x)>0，g(x)在［1,+∞)上单调递增．

当01>x>0，所以-e2xx<-1，又2x-1<1，所以-e2xx+2x-1<0，即g′(x)<0，g(x)在(0,1)上单调递减，

又g(1)=-e-2，limx→0g(x)=+∞，limx→+∞g(x)=+∞，

图2在同一坐标系中做出y=g(x)与y=c的图象，如图2，

当c<-e-2时，关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为0，

当c=-e-2时，关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为1，

当c>-e-2时，关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为2．

三、判断两曲线公共点个数

例3（2013年高考陕西卷理21（2））设x>0，讨论曲线y=ex与曲线y=mx2(m>0)公共点个数．

解当x>0时，曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等价于方程ex=mx2，即m=exx2在(0,+∞)上的根的个数．令f(x)=exx2，则f ′(x)=(x-2)exx3，∴f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，

图3在同一坐标系中做出y=f(x)与y=m的图象，如图3，当0e24时，曲线y=exx2与y=m有两个公共点．

综上，当00)无公共点；当m=e24时，曲线y=ex与y=mx2(m>0)有一个公共点；当m>e24时，曲线y=ex与y=mx2(m>0)有两个公共点．

四、求函数单调性问题中的参数范围

例4（2013年高考大纲版全国卷理9）若函数f(x)=x2+ax+1x在(12,+∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ）.

A．［-1,0］B．［-1,+∞）

C．［0,3］ D．［3,+∞）

解由已知f ′(x)=2x+a-1x2≥0对x>12恒成立，∴a≥1x2-2x对x>12恒成立，令g(x)=1x2-2x，则g(x)在(12,+∞）上是减函数，∴g(x)

五、求函数极值问题中的参数范围

例5（2013年高考湖北卷文（10））已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）．

A．(-∞,0)B．(0,12)

C．(0,1)D． (0,+∞)

解f ′(x)=lnx-ax+x(1x-a)=lnx-2ax+1，由已知f ′(x)=lnx-2ax+1=0在(0,+∞)上有两个不同的解，分离参数得a=1+lnx2x，x>0，令g(x)=1+lnx2x，则g′(x)=-lnx2x2，令g′(x)>0，得01，g(x)在(1,+∞)上单调递减，

limx→+∞g(x)=limx→+∞1+lnx2x=0，

limx→0g(x)=limx→01+lnx2x=-∞，

图4在同一直角坐标系中作出y=g(x)与y=a的图象，如图4，g(1)=12 ，当0

六、求不等式恒成立问题中的参数范围

例6（2013年高考新课标全国卷Ⅰ理（11））已知函数f(x)=-x2+2x,x≤0,

ln(x+1),x>0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是（ ）.

A．(-∞,0］B．(-∞,1］

C．［-2,1］ D． ［-2,0］

解①当x>0时，由|f(x)|≥ax得a≤f(x)x=ln(x+1)x，令g(x)=ln(x+1)x，则g′(x)=xx+1-ln(x+1)x2，令φ(x)=xx+1-ln(1+x)，则φ′(x)=1(x+1)2-11+x=-x(1+x)2<0，

∴φ(x)在(0,+∞)上是减函数，∴φ(x)<φ(0)=0，从而g′(x)<0，

∴g(x)在(0,+∞)上是减函数，又limx→+∞ln(x+1)x=0，故a≤0．

②当x=0时，|f(x)|≥ax显然成立

③当x<0时，由|f(x)|≥ax，得a≥|f(x)|x=|-x2+2x|x=x2-2xx=x-2，

∵x-2<-2，∴a≥-2，

综上知-2≤a≤0，故选D．

例7（2013年高考新课标卷Ⅰ理（21））已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)均过点P(0,2)，且在

点P处有相同切线y=4x+2．（1）求a,b,c,d；

（2）若x≥-2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

解(1)a=4,b=2,c=2,d=2;(2)由（1）知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)，

∴2k(x+1)ex≥x2+4x+2．

①若x>-1，则k≥x2+4x+22(x+1)ex，令h(x)=x2+4x+22(x+1)ex，则h′(x)=-x(x+2)22(x+1)2ex,

令h′(x)>0，得-1

令h′(x)<0，得x>0，h(x)在(0,+∞)上单调递减，

∴h(x)max=h(0)=1，故k≥1．

②若-2

令h′(x)>0，得-2

∴h(x)min=h(-2)=e2，故k≤e2．

③若x=-1，f(x)≤kg(x)成立．

综上，k的取值范围为［1,e2］．

例8（2013年高考大纲版全国卷文21（2））已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1，若x∈［2,+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．

解当x∈［2,+∞)时，f(x)=x3+3ax2+3x+1≥0等价于a≥-x3-1x-13x2对x≥2恒成立，令g(x)=-x3-1x-13x2，则g′(x)=-13+1x2+23x3 ≤-13+14+224=0,

∴g(x)在［2,+∞)上单调递减，

∴g(x)max=-54，故a≥-54．

(收稿日期：2013-12-04)

利用导数解决含参数的函数问题（如零点、单调性、极值、不等式等）一般有两种思路：一是直接法，二是分离参数法，由于函数中含有参数，直接求解需分类讨论，分类讨论向来是学生的“软肋”，对于参数的讨论更是“软肋”中的“软肋”，为了摆脱分类讨论带来的烦恼，我们可以选择分离参数法.下面通过2013年高考题说明分离参数法在求参数范围中的应用．

一、判断函数零点个数

例1（2013年高考江苏卷理20（2））设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax，其中a为实数．若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

解由已知g′(x)=ex-a≥0，即a≤ex对x∈(-1,+∞)恒成立．

∵ex>e-1，∴a≤1e．

f(x)的零点个数等价于方程f(x)=lnx-ax=0在(0,+∞)上的根的个数，分离参数得a=lnxx，x>0，令h(x)=lnxx，则h′(x)=1-lnxx2，

令h′(x)>0，得0

令h′(x)<0，得x>e，h(x)在(e,+∞)单调递减，又limx→+∞h(x)=0,

图1limx→0h(x)=-∞，

在同一直角坐标系中做出

y=h(x)与y=a的图象，如图1，当a≤0或a=1e时，f(x)只有一个零点，当0

点评分离参数法将函数的零点问题转化为函数的值域问题．

二、判断方程根的个数

例2（2013年高考山东卷理21（2））设函数f(x)=xe2x+c(e=2.71828…是自然对数的底数，c∈R）．讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数．

解由|lnx|=f(x)=xe2x+c,分离参数得

c=lnx-xe2x,x≥1,

-lnx-xe2x,0

令g(x)=lnx-xe2x,x≥1,

-lnx-xe2x,0

则g′(x)=e-2x(e2xx+2x-1),x≥1.

e-2x(-e2xx+2x-1),0

当x≥1时，g′(x)>0，g(x)在［1,+∞)上单调递增．

当01>x>0，所以-e2xx<-1，又2x-1<1，所以-e2xx+2x-1<0，即g′(x)<0，g(x)在(0,1)上单调递减，

又g(1)=-e-2，limx→0g(x)=+∞，limx→+∞g(x)=+∞，

图2在同一坐标系中做出y=g(x)与y=c的图象，如图2，

当c<-e-2时，关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为0，

当c=-e-2时，关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为1，

当c>-e-2时，关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为2．

三、判断两曲线公共点个数

例3（2013年高考陕西卷理21（2））设x>0，讨论曲线y=ex与曲线y=mx2(m>0)公共点个数．

解当x>0时，曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等价于方程ex=mx2，即m=exx2在(0,+∞)上的根的个数．令f(x)=exx2，则f ′(x)=(x-2)exx3，∴f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，

图3在同一坐标系中做出y=f(x)与y=m的图象，如图3，当0e24时，曲线y=exx2与y=m有两个公共点．

综上，当00)无公共点；当m=e24时，曲线y=ex与y=mx2(m>0)有一个公共点；当m>e24时，曲线y=ex与y=mx2(m>0)有两个公共点．

四、求函数单调性问题中的参数范围

例4（2013年高考大纲版全国卷理9）若函数f(x)=x2+ax+1x在(12,+∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ）.

A．［-1,0］B．［-1,+∞）

C．［0,3］ D．［3,+∞）

解由已知f ′(x)=2x+a-1x2≥0对x>12恒成立，∴a≥1x2-2x对x>12恒成立，令g(x)=1x2-2x，则g(x)在(12,+∞）上是减函数，∴g(x)

五、求函数极值问题中的参数范围

例5（2013年高考湖北卷文（10））已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）．

A．(-∞,0)B．(0,12)

C．(0,1)D． (0,+∞)

解f ′(x)=lnx-ax+x(1x-a)=lnx-2ax+1，由已知f ′(x)=lnx-2ax+1=0在(0,+∞)上有两个不同的解，分离参数得a=1+lnx2x，x>0，令g(x)=1+lnx2x，则g′(x)=-lnx2x2，令g′(x)>0，得01，g(x)在(1,+∞)上单调递减，

limx→+∞g(x)=limx→+∞1+lnx2x=0，

limx→0g(x)=limx→01+lnx2x=-∞，

图4在同一直角坐标系中作出y=g(x)与y=a的图象，如图4，g(1)=12 ，当0

六、求不等式恒成立问题中的参数范围

例6（2013年高考新课标全国卷Ⅰ理（11））已知函数f(x)=-x2+2x,x≤0,

ln(x+1),x>0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是（ ）.

A．(-∞,0］B．(-∞,1］

C．［-2,1］ D． ［-2,0］

解①当x>0时，由|f(x)|≥ax得a≤f(x)x=ln(x+1)x，令g(x)=ln(x+1)x，则g′(x)=xx+1-ln(x+1)x2，令φ(x)=xx+1-ln(1+x)，则φ′(x)=1(x+1)2-11+x=-x(1+x)2<0，

∴φ(x)在(0,+∞)上是减函数，∴φ(x)<φ(0)=0，从而g′(x)<0，

∴g(x)在(0,+∞)上是减函数，又limx→+∞ln(x+1)x=0，故a≤0．

②当x=0时，|f(x)|≥ax显然成立

③当x<0时，由|f(x)|≥ax，得a≥|f(x)|x=|-x2+2x|x=x2-2xx=x-2，

∵x-2<-2，∴a≥-2，

综上知-2≤a≤0，故选D．

例7（2013年高考新课标卷Ⅰ理（21））已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)均过点P(0,2)，且在

点P处有相同切线y=4x+2．（1）求a,b,c,d；

（2）若x≥-2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

解(1)a=4,b=2,c=2,d=2;(2)由（1）知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)，

∴2k(x+1)ex≥x2+4x+2．

①若x>-1，则k≥x2+4x+22(x+1)ex，令h(x)=x2+4x+22(x+1)ex，则h′(x)=-x(x+2)22(x+1)2ex,

令h′(x)>0，得-1

令h′(x)<0，得x>0，h(x)在(0,+∞)上单调递减，

∴h(x)max=h(0)=1，故k≥1．

②若-2

令h′(x)>0，得-2

∴h(x)min=h(-2)=e2，故k≤e2．

③若x=-1，f(x)≤kg(x)成立．

综上，k的取值范围为［1,e2］．

例8（2013年高考大纲版全国卷文21（2））已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1，若x∈［2,+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．

解当x∈［2,+∞)时，f(x)=x3+3ax2+3x+1≥0等价于a≥-x3-1x-13x2对x≥2恒成立，令g(x)=-x3-1x-13x2，则g′(x)=-13+1x2+23x3 ≤-13+14+224=0,

∴g(x)在［2,+∞)上单调递减，

∴g(x)max=-54，故a≥-54．

(收稿日期：2013-12-04)

利用导数解决含参数的函数问题（如零点、单调性、极值、不等式等）一般有两种思路：一是直接法，二是分离参数法，由于函数中含有参数，直接求解需分类讨论，分类讨论向来是学生的“软肋”，对于参数的讨论更是“软肋”中的“软肋”，为了摆脱分类讨论带来的烦恼，我们可以选择分离参数法.下面通过2013年高考题说明分离参数法在求参数范围中的应用．

一、判断函数零点个数

例1（2013年高考江苏卷理20（2））设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax，其中a为实数．若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

解由已知g′(x)=ex-a≥0，即a≤ex对x∈(-1,+∞)恒成立．

∵ex>e-1，∴a≤1e．

f(x)的零点个数等价于方程f(x)=lnx-ax=0在(0,+∞)上的根的个数，分离参数得a=lnxx，x>0，令h(x)=lnxx，则h′(x)=1-lnxx2，

令h′(x)>0，得0

令h′(x)<0，得x>e，h(x)在(e,+∞)单调递减，又limx→+∞h(x)=0,

图1limx→0h(x)=-∞，

在同一直角坐标系中做出

y=h(x)与y=a的图象，如图1，当a≤0或a=1e时，f(x)只有一个零点，当0

点评分离参数法将函数的零点问题转化为函数的值域问题．

二、判断方程根的个数

例2（2013年高考山东卷理21（2））设函数f(x)=xe2x+c(e=2.71828…是自然对数的底数，c∈R）．讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数．

解由|lnx|=f(x)=xe2x+c,分离参数得

c=lnx-xe2x,x≥1,

-lnx-xe2x,0

令g(x)=lnx-xe2x,x≥1,

-lnx-xe2x,0

则g′(x)=e-2x(e2xx+2x-1),x≥1.

e-2x(-e2xx+2x-1),0

当x≥1时，g′(x)>0，g(x)在［1,+∞)上单调递增．

当01>x>0，所以-e2xx<-1，又2x-1<1，所以-e2xx+2x-1<0，即g′(x)<0，g(x)在(0,1)上单调递减，

又g(1)=-e-2，limx→0g(x)=+∞，limx→+∞g(x)=+∞，

图2在同一坐标系中做出y=g(x)与y=c的图象，如图2，

当c<-e-2时，关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为0，

当c=-e-2时，关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为1，

当c>-e-2时，关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为2．

三、判断两曲线公共点个数

例3（2013年高考陕西卷理21（2））设x>0，讨论曲线y=ex与曲线y=mx2(m>0)公共点个数．

解当x>0时，曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等价于方程ex=mx2，即m=exx2在(0,+∞)上的根的个数．令f(x)=exx2，则f ′(x)=(x-2)exx3，∴f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，

图3在同一坐标系中做出y=f(x)与y=m的图象，如图3，当0e24时，曲线y=exx2与y=m有两个公共点．

综上，当00)无公共点；当m=e24时，曲线y=ex与y=mx2(m>0)有一个公共点；当m>e24时，曲线y=ex与y=mx2(m>0)有两个公共点．

四、求函数单调性问题中的参数范围

例4（2013年高考大纲版全国卷理9）若函数f(x)=x2+ax+1x在(12,+∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ）.

A．［-1,0］B．［-1,+∞）

C．［0,3］ D．［3,+∞）

解由已知f ′(x)=2x+a-1x2≥0对x>12恒成立，∴a≥1x2-2x对x>12恒成立，令g(x)=1x2-2x，则g(x)在(12,+∞）上是减函数，∴g(x)

五、求函数极值问题中的参数范围

例5（2013年高考湖北卷文（10））已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）．

A．(-∞,0)B．(0,12)

C．(0,1)D． (0,+∞)

解f ′(x)=lnx-ax+x(1x-a)=lnx-2ax+1，由已知f ′(x)=lnx-2ax+1=0在(0,+∞)上有两个不同的解，分离参数得a=1+lnx2x，x>0，令g(x)=1+lnx2x，则g′(x)=-lnx2x2，令g′(x)>0，得01，g(x)在(1,+∞)上单调递减，

limx→+∞g(x)=limx→+∞1+lnx2x=0，

limx→0g(x)=limx→01+lnx2x=-∞，

图4在同一直角坐标系中作出y=g(x)与y=a的图象，如图4，g(1)=12 ，当0

六、求不等式恒成立问题中的参数范围

例6（2013年高考新课标全国卷Ⅰ理（11））已知函数f(x)=-x2+2x,x≤0,

ln(x+1),x>0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是（ ）.

A．(-∞,0］B．(-∞,1］

C．［-2,1］ D． ［-2,0］

解①当x>0时，由|f(x)|≥ax得a≤f(x)x=ln(x+1)x，令g(x)=ln(x+1)x，则g′(x)=xx+1-ln(x+1)x2，令φ(x)=xx+1-ln(1+x)，则φ′(x)=1(x+1)2-11+x=-x(1+x)2<0，

∴φ(x)在(0,+∞)上是减函数，∴φ(x)<φ(0)=0，从而g′(x)<0，

∴g(x)在(0,+∞)上是减函数，又limx→+∞ln(x+1)x=0，故a≤0．

②当x=0时，|f(x)|≥ax显然成立

③当x<0时，由|f(x)|≥ax，得a≥|f(x)|x=|-x2+2x|x=x2-2xx=x-2，

∵x-2<-2，∴a≥-2，

综上知-2≤a≤0，故选D．

例7（2013年高考新课标卷Ⅰ理（21））已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)均过点P(0,2)，且在

点P处有相同切线y=4x+2．（1）求a,b,c,d；

（2）若x≥-2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

解(1)a=4,b=2,c=2,d=2;(2)由（1）知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)，

∴2k(x+1)ex≥x2+4x+2．

①若x>-1，则k≥x2+4x+22(x+1)ex，令h(x)=x2+4x+22(x+1)ex，则h′(x)=-x(x+2)22(x+1)2ex,

令h′(x)>0，得-1

令h′(x)<0，得x>0，h(x)在(0,+∞)上单调递减，

∴h(x)max=h(0)=1，故k≥1．

②若-2

令h′(x)>0，得-2

∴h(x)min=h(-2)=e2，故k≤e2．

③若x=-1，f(x)≤kg(x)成立．

综上，k的取值范围为［1,e2］．

例8（2013年高考大纲版全国卷文21（2））已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1，若x∈［2,+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．

解当x∈［2,+∞)时，f(x)=x3+3ax2+3x+1≥0等价于a≥-x3-1x-13x2对x≥2恒成立，令g(x)=-x3-1x-13x2，则g′(x)=-13+1x2+23x3 ≤-13+14+224=0,

∴g(x)在［2,+∞)上单调递减，

∴g(x)max=-54，故a≥-54．

(收稿日期：2013-12-04)