基于CHI-LMD方法的转子振动信号分析

邓林峰，赵荣珍

(1. 兰州理工大学 机电工程学院，兰州 730050；2. 兰州理工大学 数字制造技术与应用省部共建教育部重点实验室，兰州 730050)

由于机械设备的振动信号往往包含丰富的故障特征信息且易于工程采集，所以在旋转机械的状态监测与故障诊断研究及应用中，利用振动信号进行分析是目前最主要的一种故障诊断方法[1-2]。然而，当机械设备发生质量不平衡、动静碰摩等故障时，其转子-轴承系统(Rotor-Bearing System, RBS)的刚度、阻尼和弹性力等都发生变化，RBS实际上成为一个时变的非线性系统，从而使振动信号表现出明显的非平稳特性[1]。因此，如何从非平稳的振动信号当中提取故障特征，就成为机械故障诊断研究需要解决的关键问题[3]。

为了提取故障特征，国内外学者采用各种信号分析方法处理振动信号，使故障特征提取技术有了很大的进步[4-7]。由于非平稳信号具有时变特性，所以必须对其进行时频联合分析才可能获得准确全面的特征信息，进而发现信号的瞬时变化特征[8]。因此，针对非平稳过程的时频分析方法受到故障诊断研究特别多的关注[9]。其中，局部均值分解(Local Mean Decomposition, LMD)近年来格外引人瞩目，尤其是国内学者，已经开展了大量关于将LMD方法应用到机械故障诊断中的研究工作，并取得了一些创新性的研究成果[10-13]。LMD与经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)相比，二者十分相似，都是一种自适应的信号分解方法，可以将一个多成分的复杂信号分解为若干个单分量的具有物理意义的简单信号，再经过一系列的计算得到原始信号的时频分布。但是，LMD无过包络、欠包络和Hilbert变换的负频率等问题，端点效应也不如EMD明显，因此基于LMD方法的故障诊断迅速成为一个研究热点[14]。然而，LMD在计算局部均值函数和局部包络函数时，需要利用滑动平均算法对局部均值和局部幅值进行平滑。研究[15-17]发现，平滑步长对于平滑过程和平滑结果有较大影响，若选择不当，将形成比较明显的计算误差。

图1 LMD算法流程图

针对LMD方法在计算局部均值函数和局部包络函数时的缺陷，文献[15]提出了用三次样条插值方法替换滑动平均过程的LMD改进算法，使LMD的计算效率和精度有了明显提升，但与此同时，三次样条插值的过包络和欠包络问题也被随之引入，导致计算结果仍然存在一定的误差。为减小三次样条插值LMD算法的计算误差，本研究利用分段三次Hermite插值方法计算信号的上/下包络线，并将正交性准则作为乘积函数迭代运算过程是否结束的判断依据，以进一步提高LMD算法的计算效率，最后通过仿真信号和实验信号验证了改进算法的有效性。

1 基于样条插值的LMD方法

给定一个复杂信号x(t)，则LMD对其进行分解的整个过程可以通过图1所示的流程图进行表示。信号x(t)经过图1所示算法的处理，将得到一组PF分量PFk(t)及其瞬时频率fk(t)和瞬时幅值ak(t)，从而可构成x(t)的完整时频分布。而分解后的x(t)则可表示为：

(1)

从图1可见，LMD算法是一个具有三层循环结构的迭代过程。其中，最内层循环即为计算局部均值函数m(t)和局部包络函数a(t)的迭代过程，这个循环实际上是通过滑动平均过程对所有相邻极值点之间的局部均值和局部幅值进行反复平滑，而滑动平均算法对数据进行更新处理的计算公式为：

w(i+h)]

(2)

式中，w(i)为原数据，ws(i)为更新后的数据，2h+1表示滑动步长。现以五点法(2h+1=5)为例，则滑动平均算法的数据处理过程可描述如下：

(3)

式中:N为数据长度。按式(3)对数据列进行一次滑动平均之后，如果新的数据列{ws(i);i=1, 2,…,N}中还存在相邻点相等的状况，则将其作为原序列继续循环实施滑动平均过程，直到任何相邻的两个数据点都不再相等为止[17]。

步长是滑动平均算法的一个重要参数，它直接影响平滑计算的结果。通常情况下，以最长局部均值的三分之一长度作为滑动步长[18]，但由于非平稳信号的时变特性，分解结果并不理想。

由于LMD中的滑动平均算法在分解非平稳信号时存在分解精度和效率偏低的缺陷，文献[15]将三次样条插值法引入到LMD中，即利用数值插值方法替换滑动平均算法来计算局部均值函数和局部包络函数，从而提高LMD算法的性能。通过这种替换，改进后的基于样条插值的LMD算法为：

(1) 搜索到信号x(t)的所有局部极值点后，用极大值进行三次样条插值，形成上包络函数Eu(t)；用极小值进行三次样条插值，形成下包络函数El(t)。

(2) 局部均值函数m(t)和局部包络函数a(t)则用如下两式分别进行计算：

(4)

(5)

(3) 接下来的步骤按照LMD算法的原过程步骤进行即可。

经过上述方式改进的LMD算法称之为基于三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)的LMD(CSI-LMD)方法。由于CSI-LMD算法比图1所示的LMD算法少了最内层的一个迭代过程，所以CSI-LMD的分解步骤变得相对简单。尽管CSI-LMD算法在分解精度与计算效率上相比LMD算法都有所提高，但是利用三次样条插值形成上/下包络线，就不可避免地存在过包络和欠包络的问题，这将使得由式(4)和式(5)计算的局部均值函数和局部包络函数也产生偏差而对最终分解结果的准确性造成影响。

由于三次样条插值要保持连续的二阶导数，插值函数的极值可能不出现在插值节点上，使得插值曲线的极值点偏移，反映到包络线上，就形成了过包络和欠包络现象。与三次样条插值相比，分段三次Hermite插值(Cubic Hermite Interpolation, CHI)也是采用三次多项式进行逼近，具有足够的光滑性，但是它不需要保证二阶连续导数，能够保证两个插值点间的拟合曲线是单调的，从而可以避免过包络和欠包络问题的产生。因此，本研究拟采用CHI对CSI-LMD算法进行二次改进以进一步提高其分解信号的性能。

2 分段Hermite插值方法

给定区间[a,b]上的一个划分Δ，

Δ∶a=x0

(6)

i=0,1,…,n

(7)

则称

H(x)=Hi(x),x∈[xi-1,xi]

i=1, 2,…,n

(8)

是关于划分Δ的分段三次Hermite插值函数，式(7)称为插值条件。而由Lagrange法构造的分段三次Hermite插值多项式函数可表示为：

x∈[xi-1,xi]

(9)

式中:αk(x)和βk(x)称为分段三次Hermite插值多项式的基函数，hi=xi-xi-1。

分段三次Hermite插值多项式具有公式简单、计算量小、稳定性好、一致收敛等优点，与三次样条插值方法一样，每一个子区间上的三次Hermite插值多项式是整个插值函数不可缺少的一部分；而这些分段多项式的几何表示是一些光滑的三次曲线，将它们拼接起来，便形成一条完整光滑的插值曲线。

3 CHI-LMD改进方法

三次样条插值使CSI-LMD方法存在过包络和欠包络的问题，最终将导致信号分解的结果产生偏差。而利用分段三次Hermite插值计算信号的局部均值函数和局部包络函数，能够尽量减弱包络线的过冲和欠冲现象，从而可以提高算法的分解精度。基于此，本研究提出一种分段三次Hermite插值的LMD(CHI-LMD)方法，其具体的算法步骤为：

(1) 找到任意信号x(t)的所有局部极值，用极大值进行分段三次Hermite插值，形成上包络线Eu(t)；用极小值进行分段三次Hermite插值，形成下包络线El(t)。

(2) 局部均值函数mi(t)和局部包络函数ai(t)可以通过式(4)和式(5)计算得到。

(3) 接下来的步骤按照LMD算法的原过程步骤进行即可。

与CSI-LMD方法相比，以上算法步骤只是采用不同的插值方法，虽然克服了过/欠包络问题，但是在实际的信号分解过程中，PF分量的迭代终止条件采用的仍然是局部包络函数的幅值要小于给定的阈值，而这种判别方式也会使得分解结果产生误差。由文献[19]可知，LMD方法中的PF分量之间满足正交性，即：

i=1,2,…,k

(10)

式中，k为PF分量的个数。式(10)说明每个PF分量都与将其从原始信号x(t)中分离出来的剩余部分正交。

理论上，每个PF分量都应该满足式(10)，但实际应用中，由于LMD方法的分解过程存在一定误差，每个PF分量并不是严格的正交关系，所以，式(10)中的等号只能是在近似意义下成立；当然，等号左边的值越接近0，说明PF分量的正交性越好，LMD的分解结果就越准确。

基于PF分量的以上性质，将正交性准则(Orthogo-nality criterion, OC)引入到CHI-LMD方法中，以进一步提高该方法的性能，从而能够更准确有效地分析处理非平稳信号[19]。其中，正交性准则OC的定义如下：

(11)

式中，x(t)为原始信号，mij(t)为LMD在求解第i个PF分量时计算的第j次局部均值函数。

由于式(11)是基于式(10)而建立起来的，因此它能够很好地反映LMD分解过程的正交性。此外，由LMD的分解步骤可知，随着迭代次数j不断增加，mij(t)将趋向于0，从而式(11)中等号右边的分子和分母将同时趋向于0，并且二者的收敛速度一致，即分子和分母是等价无穷小，所以OC的值将趋向于1，这与LMD方法理论上的迭代终止条件也是相一致的。因此，利用OC作为迭代终止条件不仅可以保证分解的正交性，而且能够减少分解过程的迭代次数和时间，具有较快的收敛速度，从而提高了算法效率。但是，OC的值也只是趋近于1，而且，并不是随着迭代次数的增加呈单调递减的趋势，即OC的值在到达最小的某一个值后，当分解过程继续进行时，它反而开始增大或出现振荡变化的情形。因此，OC极小值所对应的分解次数即为PF分量迭代过程的最佳迭代次数。基于此，以前后两次相邻迭代过程中OC的差值是否小于零作为PF分量的迭代过程结束的判别条件。

对CSI-LMD方法进行以上两方面的改进后，就形成基于OC判据的CHI-LMD方法，该方法的算法流程图如图2所示。为便于描述，下文中均以CHI-LMD方法指代基于OC判据的CHI-LMD方法。

图2与图1相比，很明显，CHI-LMD方法是一个仅有两层循环结构的分解过程，而LMD方法则是一个具有三层循环结构的迭代过程，即CHI-LMD方法的算法结构相对简单，能够减少算法的运行时间，提高算法的运行效率。此外，CHI-LMD算法以OC差值判断法代替阈值判断法决定产生PF分量的循环迭代过程是否应该结束，从而使分解得到的PF分量之间保持较好的正交性，以提高CHI-LMD方法的分解精度，并最终形成一种性能提升的CHI-LMD方法。

图2 CHI-LMD算法流程图

4 仿真分析和实验验证

为验证本文方法的有效性，通过仿真信号和转子实验信号对CSI-LMD和CHI-LMD方法的性能进行了分析比较。

4.1 仿真分析

构造一个仿真信号x(t)：

x(t)=x1(t)+x2(t)+n(t)=

[1+0.4cos(10πt)]cos[160πt+2cos(16πt)]+

2sin(πt)sin(30πt)+n(t)

t∈[0,1]

(12)

式(12)是由两个不同的调频-调幅分量x1(t)、x2(t)以及一个均值为0、方差为0.1的高斯白噪声n(t)组成的非平稳信号，x(t)的时域波形如图3所示。

图3 仿真信号波形

分别采用CSI-LMD和CHI-LMD方法对x(t)进行处理，对于CSI-LMD方法，纯调频信号的迭代终止条件设定为，max[|1-ai(t)|]=0.01。x(t)经两种方法分解后的结果如图4所示。

图4 信号x(t)的分解结果

从图4可见，CSI-LMD和CHI-LMD方法都可以将x(t)分解为3个PF分量和1个剩余分量R。其中，PF1包含着主要的噪声成分；PF2、PF3则分别对应有效分量x1(t)、x2(t)。此外，两种方法的分解结果也存在明显的差别，由CSI-LMD方法分解得到的PF2、PF3都出现了较为明显的扭曲和失真，而由CHI-LMD方法分解出的PF2、PF3的误差则相对较小。由此可见，CHI-LMD方法的分解精度比CSI-LMD方法的分解精度要高。

为验证CHI-LMD方法采用OC判据的有效性，引入正交性指标(Index of orthogonality，IO)对分解结果的正交性进行评价，其定义如下[20]：

i≠j

(13)

式中，T为信号长度，k+1为PF分量的个数，第k+1个PF分量指剩余分量R。由式(13)可知，PF分量之间的正交性越好，则IO指标越接近于0。经计算，图4所示两个分解结果的IO指标分别为IOa=0.1329、IOb=0.031 0，由此可见，CHI-LMD方法的正交性更好。同时，计算了x(t)中有效分量x1(t)、x2(t)以及用两种LMD方法分解得到的PF2、PF3的能量，结果如表1所示。从表1中的数据可见，由两种方法分解出的有效分量PF2、PF3的能量都与原始信号的有效分量x1(t)、x2(t)的能量之间存在一定误差，但是，利用CHI-LMD方法分解得到的PF分量的能量误差较小，更接近实际信号的能量值，这些结果也说明CHI-LMD方法具有更高的分解精度。

表1 有效分量的能量对比

4.2 转子碰摩故障振动分析

从图5所示设置有轻微碰摩故障的转子实验台上采集振动位移信号，采样频率为5 000 Hz，采样点数为3 000。图6是转子转速为3 000 r/min时，原始振动信号经过文献[21]中的消噪方法处理后的时域波形。

图5 转子实验台照片

分别采用CSI-LMD和CHI-LMD方法对图6所示的振动信号进行分解，两种方法都得到了4个PF分量和1个余量R，分解结果如图7所示。从图中可见，两种分解方法产生的PF分量存在一些差别，这是因为它们采用不同的方式计算局部均值函数和包络估计函数，并使用不同的循环迭代条件。而在分解过程中，两种方法产生每个PF分量所需要的迭代次数，以及整个分解过程所消耗的时间，如表2所示。

图6 3 000 r/min时的碰摩振动信号

表2 分解过程的迭代次数和耗时

图7 3 000 r/min碰摩振动信号的分解结果

表2中的数据显示，CSI-LMD方法产生每个PF分量所需要的迭代次数都不少于CHI-LMD方法所对应的迭代次数，尤其对于分量PF1而言，前者是后者的4.5倍；而两种分解过程所消耗的时间也存在明显差距，接近于10 s。由此可见，CHI-LMD方法的效率更高。

尽管图7中的PF分量表征了从高频到低频的几个自然振动模式，但是无法给出明显的故障特征，因此对其进行频谱分析，结果如图8、图9所示。

从频谱图可见，由两种LMD方法得到的4个PF分量都包含了频率由高到低的主要振动成分。但是，两种LMD方法分解出的PF分量的频谱分布图也存在一些明显的差别。相比之下，由CHI-LMD方法分解得到的PF分量的频谱分布图，更准确地提取出了碰摩故障所引起的1/2、1及2倍频等几种特征成分[14]。

图8 CSI-LMD的4个PF分量的频谱

图9 CHI-LMD的4个PF分量的频谱

与仿真信号一样，计算了两种LMD方法的正交性指标IOa=0.076 5、IOb=0.036 7，而各PF分量的能量及能量和见表3。IO值的不同、表3中PF分量的能量和与原始信号能量之间的误差大小则表明，CHI-LMD方法能够更加准确地分解故障振动信号。

表3 信号分解后的能量对比

从以上结果可见，无论是分解过程的迭代次数与时间消耗，还是PF分量之间的正交性、PF分量的能量和与原始信号能量之间的误差大小，以及提取故障转子的特征振动成分等性能指标，CHI-LMD方法都具有一定的优势，即CHI-LMD方法在计算效率和分解精度两方面都优于CSI-LMD方法。

5 结 论

LMD是一种自适应的信号分解方法，特别适合于非平稳信号的时频分析。本研究经过对CSI-LMD方法的插值方式和迭代判别条件进行改进，得到了一种基于OC判据的CHI-LMD方法，通过仿真信号和实验信号的验证，得出以下主要结论：

(1) 相对于CSI-LMD方法，CHI-LMD方法在处理非平稳信号时，分解过程的迭代次数和时间消耗都较少，而且最终分解结果的误差也较小。

(2) CSI-LMD与CHI-LMD方法相比，由后者分解得到的PF分量之间的正交性更好。

(3) CHI-LMD比CSI-LMD方法能够更加准确地从故障信号当中分离出代表故障特征的振动成分。

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