基于改进HELS方法的局部近场声全息技术研究

王 冉，陈 进，董广明

(上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240)

20世纪80年代，Maynard等[1-2]提出的近场声全息(NAH)技术，为求解声辐射问题带来较大突破。传统基于快速傅里叶变换(FFT)的NAH具有理论成熟、计算快速、易于实现等优点，但其要求全息孔径须大于声源尺寸，因现场条件限制，尤其对大型声源该要求无法满足。为此局部近场声全息(PNAH)[3-5]技术应运而生，不仅突破传统NAH对全息孔径的限制，且在小全息孔径下仍具有较高计算精度，极大方便NAH技术的应用。

Helmholtz方程最小二乘法(HELS)[6-9]将声场近似展开为一系列正交基函数的线性组合，对测点及重建点位置无限制，所需测点数少、计算效率高、易于实现，且允许声场局部重建。但HELS方法对不规则形状声源重建精度较低。实际工程中较多声源形状复杂，常含多个组成部分，或声场由多个相干声源组成，整体声源形状不规则，难以用HELS方法获得理想重建结果。对多源相干声场研究结合波叠加法与统计最优NAH特点发展的声场分离技术[10]，可在单全息面测量条件下实现相干声源声场分离。但对声场局部重建仍需进一步研究。

针对HELS方法缺点，本文提出改进的HELS方法，并在其基础上进行数据外推，发展出新的PNAH技术。改进的HELS方法将复杂声源声场视为各组成部分产生的相干声场叠加，各部分单独产生的声场分别由一组独立、正交球面波的线性组合表示，利用测量声压求得线性组合系数，便可计算辐射声场；再利用改进HELS法的计算结果进行数据外推，通过迭代算法减小外推误差，等效扩大测量面；用外推数据进行声场重建，实现复杂声源或多源相干声场的局部重建，提高重建精度。声场重建为典型的反问题，因此在计算正交球面波的组合系数时，采用Tikhonov正则化方法[11]解决病态问题，正则化参数由广义交叉验证(GCV)法[12]确定。仿真分析及半消声室中双音箱声源的实验研究已验证该方法的正确性、有效性及可行性。

1 HELS方法声场重建原理

考虑均质、可压缩、无粘性流体中以角频率ω振动的任意辐射体，其声压满足简化波动方程，即Helmholtz方程。HELS方法的基本思想即结合边界条件求解Helmholtz方程，将任意场点x处的复声压p(x)表示为一组正交基函数的线性组合：

(1)

式中：ρ为介质密度；c为声速；Ψ为基函数；Cj为对应系数。坐标系不同基函数亦不同，球坐标系下基函数为球面波函数，由于球面波函数在MATLAB等软件的函数库中可直接获得，故通常采用球坐标系，Ψ可表示为

(2)

假设测点数为M(M≥J)，据HELS方法，测量声压向量可表示为矩阵形式：

Pn=ρcΨHC

(3)

式中：

(4)

采用最小二乘法消除一阶误差，得基函数系数向量为

(5)

式中：上标“*”代表矩阵共轭转置。

2 基于改进HELS法的PNAH基本原理

2.1 改进的HELS方法

常规HELS方法用球面波函数作基函数时，较适用于外形尺寸长宽高比接近1:1:1的球形或近似球形声源。用于其它形状声源时，通常将声源包含在虚拟球面内作为球形声源处理。一方面测量需在含声源的最小球面外进行，损失了倏逝波成分，另一方面球面波函数在声源形状高度不规则时无法精确描述声场，导致声场重建精度较低。工程实际中声源形状较复杂，常含多个组成部分，或存在多个声源，此时整体声源形状不规则，尤其当各组成部分或声源声场相干时，用常规的HELS方法难以获得理想的重建结果。对此本文提出改进的HELS方法。设复杂声源含K个组成部分，若各部分为相干声源，据相干声场的可叠加性，实际声场可视为各部分声场的叠加，则式(1)可改写为

(6)

式(6)用矩阵形式表示为

Pn=ρcΨACA

(7)

CA=(ρc)-1[ΨA]-1PH

(8)

2.2 数据外推

为提高声场重建精度，提出基于改进HELS法的PNAH，其核心为数据外推。声源、重建面、全息面及扩展面间位置关系见图1。数据外推目的即由全息面H1上N1个测点的声压PH1(xh1)获得更大扩展面H2上N2个点声压PH2(xh2)，据可用外推声压进行声场重建，从而以数值计算方式等效扩大全息孔径，增加算法输入的声场数据，减小有限孔径对重建结果影响，提高重建精度及效率。

图1 数据外推基本布局

若已知全息面H1上测量声压PH1，利用改进的HELS方法由式(8)可得系数向量：

{CA}(1)=(ρc)-1[ΨA]-1PH1

(9)

计算得扩展面H2上声压为

{PH2}(1)=ρcΨB{CA}(1)=ΨB[ΨA]-1PH1

(10)

由于扩展面H2含测量面H1，将{PH2}(1)中位于H1内的部分用实测声压PH1代替。再将{PH2}(1)作为式(8)的输入，得系数向量{CA}(2)，进而计算{PH2}(2)，将与H1重合部分用实测声压替代后进入下次迭代。迭代过程可表示为

(11)

(12)

式中：i为迭代次数；UB为ΨB进行SVD后所得矩阵；

(13)

式中：eps为阈值取10-5。该迭代终止条件及阈值选取见文献[13]。

实际上，经大量仿真、实验结果验证，外推结果经一定次数迭代后趋于稳定，因此可在应用迭代终止条件前进行试探性迭代，对此Jia等[14]已证明此结论的正确性与合理性。而有关迭代收敛性理论推导证明仍需进一步研究。用外推数据作为改进HELS法的输入进行全息重建，得重建面声压：

PR=ΨR[ΨB]-1PH2

(14)

式中：ΨB为重建面R上所有重建点基函数矩阵。

3 数值仿真

为验证基于改进HELS法PNAH的有效性，对多声源仿真分析。两个脉动球源，半径均0.1 m，中心分别位于(-0.4,0,0) m、(0,0,0) m处，表面法向振速2.5×10-3m/s，相干声场频率1 000 Hz。全息面H1位置zH=0.15 m，尺寸0.4 m×0.4 m，含5×5个测点，扩展面H2含13×13个测点。重建面R位置zR=0.11 m，尺寸与H2相同，所有网格间距均为0.1 m。测量数据PH1中加入信噪比30 dB的随机噪声。定义声场重建的平均相对误差为

(15)

重建面理论声压分布见图2。用常规HELS方法进行声场重建，所得声压分布见图3。与图2理论声压分布相比，常规HELS方法重建的声场完全失真，无法准确识别出声源位置。声场重建相对误差最大为552.5%，平均误差为55.88%。

图2 重建面理论声压等高线图

用改进的HELS方法进行声场重建，分别以两个球源中心为球面波基函数原点，利用两组独立的球面波函数组合表示两球源各自声场，测量声压为两球源各自辐射声压之和。将测点声压中沿两条轴线方向9个测点声压用于计算展开项系数，其余测点声压用于计算展开项数，用迭代法获得最优展开项数J=3，获得对应的展开项系数进行声场重建，重建结果见图4。由图4看出，重建结果得到较大改善，重建声压与理论值较接近，最大相对误差约14%。

为进一步提高重建精度，采用基于改进HELS法的PANH技术，即利用25个测点声压进行数据外推获得全息外144个新增点声压，再用外推声压进行声场重建。利用迭代20次的外推数据重建结果见图5。可见，重建精度获得大幅提高，最大相对误差降至4.05%，整体平均误差仅0.87%。

图5 数据外推20次迭代后重建误差

为说明数据外推过程的收敛性，声场整体重建误差随数据外推迭代次数的变化见图6。由图6看出，随迭代次数的增加，重建误差逐渐降低；迭代次数增加到50次后，误差减小速度变慢，最终趋于稳定值。在多次仿真分析中，迭代200次以内大多可实现收敛，与基于FFT的PNAH[3]或基于边界元算法的PNAH[4]相比，该方法收敛速度较快。

以上仿真结果说明，基于改进HELS法的PNAH不仅适用于复杂声源或多源相干声场的重建，且可提高重建精度、稳定性良好。

4 实验研究

为验证基于改进HELS法的PNAH技术在实际应用中的正确性、可行性，在半消声室中对双音箱声源进行实验研究。实验设置见图7，消声室本底噪声15.6 dB(A)，室内支架上放置两音箱作为声源，音箱纸盆中心分别位于(-0.4,0,0) m、(0,0,0) m，全息面上均匀布置间距0.1 m的5×5个传声器，测量距离zH为0.15 m。数据外推时，扩展面大小为1.2 m×1.2 m，网格间距及位置均与全息面相同。重建面位置zR=0.1 m，尺寸与扩展面相同。音箱产生的相干声场频率为1 000 Hz。

图7 双音箱实验布置

常规HELS方法的重建结果见图8。由图8看出，声源位置与实际音箱位置完全不符。取重建面与全息面对应位置的局部声场重建结果与测量结果比较，计算得声场重建相对误差，最大误差为193.9%，平均误差为40.38%。

图8 常规HELS法重建声压

采用本文改进的HELS方法，声场重建结果见图9。由图9看出，尽管左边声源不够明显，但声源位置与音箱实际摆放位置基本一致。与常规的HELS方法相比，改进的HELS方法更适用于复杂声源或多源相干声场的重建。

为说明数据外推对声场重建精度影响，取全息面位置局部声场重建结果与测量声压比较，以便计算声场重建相对误差。直接采用改进的HELS方法进行重建，相对误差见图10，最大误差30%，平均误差7.94%。采用数据外推数据进行重建，误差见图11，最大误差3.63%，平均误差5.67%。因此，数据外推过程可进一步减小声场重建误差、提高重建精度。该实验验证了基于改进HELS法的PNAH技术的有效性及可行性。

4 结 论

(1) 本文提出基于改进HELS法的PNAH技术。针对常规HELS方法对复杂声源或多源相干声场重建精度低的问题，提出的改进HELS方法，对声场假设更合理，能成功重建复杂声源或多源相干声场。

(2) 利用改进HELS方法计算结果进行数据外推，再用外推结果进行声场重建。通过计算方式等效增大全息面尺寸，提高声场重建精度。通过仿真分析及实验验证，表明该技术不仅继承了常规HELS方法优点，可实现复杂声源或多源相干声场的局部重建，且重建精度较高；针对声源类型接近工程实际，便于应用。

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