以错误为垫脚石,提升数学学习能力

余灵楚

【摘要】错误的体验对于学生的数学学习是非常必要的。数学教学中应适时抓住错误，利用错误，辨析错误，改正错误是数学教学中培养学生批判性思维的重要途径。以错误为垫脚石，是培养并提升学生数学学习能力的一个重要台阶。

【关键词】错误垫脚石数学学习

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）04-0144-02

错误不受人喜欢，它似乎就是坏事。人们总是设法防止错误，回避错误，尽量减少错误的出现。但是，没有错误的数学学习是不可能的，错误之中隐含着正确。错误并非都是坏事，错误的体验对于学生的数学学习是非常必要的。数学教学中应适时抓住错误，利用错误（必要时甚至故意制造错误），努力将坏事变成好事。辨析错误，改正错误是数学教学中培养学生批判性思维的重要途径。以错误为垫脚石，是培养并提升学生数学学习能力的一个重要台阶。结合自己的教学，试谈几点做法。

１．正误并举，制造认知冲突

认知冲突是学生加深思考，建构新知的良机。有意识地制造认知冲突，是激发学生求知欲望的的重要手段。当错误比较隐蔽时，将错误与正确的认识相对并举常可以制造良好的认知冲突。用正误并举引起的认知冲突激发学生思考，通过认知冲突的消解来建立新知，这比起单纯的正面分析，常常能使学生对知识的理解更加深刻。

例如运用基本不等式求最值，需要“正、定、等”的条件，为使学生深刻理解“定”和“等”的要求，不妨直接给一题：

题1：已知x＞0，求函数y=x■+■的最小值。

初次运用不等式求最值，学生的做法正误皆有，选择典型的正误解法，呈于众前。

解法一：由于x＞0，y=x■+■≥2■=4■，当且仅当x■=■，即时x=2，等号成立，因此ymin=8。

解法二：由于x＞0，y=x■+■=x■+■+■≥3■=3■，因此ymin=3■。

解法三：由于x＞0，y=x■+■=x■■+■+■≥3■=6■，当且仅当x■=■，即x=■时，等号成立，因此ymin=6■。

正误并列，答案各异，孰对孰错，激起认知冲突。学生急欲知其底里，却苦于一时迷惑，求知之欲顿起。这时教师引导学生辨析正误，分析错因，错误便可成为正确认识的基石。此题分析解法二的错误并不难，解法一的错因更为隐蔽，简单的数值比较“6■＜8”，似乎也能让学生认识到错误。但利用图形（如图）可以帮助学生得到更直观而深刻的认识，让学生彻底，消解冲突，走出误区。用几何画板作函数①y=x■+■和函数②y=4■的图象，解法一的结果对应两曲线的切点B(2，8)的情况，而事实上函数①图象的最低点为A(■，6■）。

２．改造错题，培养批判精神

遇到错题，可谓倒霉。习题多多，弃之亦可；事先改正，当合情理，但有时错题也可以利用，不妨引导学生对错题进行改造。通过多方思考，一可培养学生的发散思维，二可培养学生的批判精神，倒霉事也能成为好事。

高一新生刚进校不久，首次遇到一道没有正确答案的选择题，全班大多数同学大惊小怪，事过一年多，那情景却记忆犹新。

题2：若■有意义，实数x的取值范围是（）。

A.x|-2＜x＜■ B.x|-2≤x≤■ C. x|-■＜x＜2 D.x|-■≤x≤2

就是这样一个寻常而低级的错题，那么多学生显得不知所措，实在引人思考。学生长期在封闭性的正确问题中走得太顺利了，一旦遇上结论不正确或条件多余甚至不可解的问题便没有主张。当时有学生要我先予以改正再让他们做，我因导之曰：“资料上出现错误是常有的事，教科书上都难免有错误。老师也不知道这道题是打印错误还是命题有误，改正错误可能不止一途，请大家讨论一下，可如何改正？”于是，错题变成了开放题。经过引导思考，学生给出四种改正方案：①将选择之B改为x|x≤-2，或x≥■；②将题干中的“有”改为“无”；③将题干中根式改为■；④将题干中根式改为■．后作评论，大家认为方案②改动最少。

改造此题，乃一桩小事。打破学生对资料和书本的迷信，培养学生的批判精神却是大事，自此之后，我要求学生刻意寻找资料上的错误，发现错误，予以表扬．有意识地培养学生逢错不惊，逢错自辨，逢错自改的良好品质，努力养成其“逢凶化吉”的能力。

３．正视错误，培养严密思维

在日常教学中发现学生往往对结论、公式的理解不够深刻,忽视其适用范围，在一知半解时就去做题，常导致解题过程出现不严密现象，甚至以偏概全，遗漏特殊情况，从而表现出思维的不严密性。

题3： 设等比数列a■的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。

学生错解：∵S3+S6=2S9，∴■+■=2·■

整理得q3（2q6-q3-1)=0

由q≠0得方程2q6-q3-1=0，∴（2q3+1)(q3-1)=0，∴q=-■或q=1。

在等比数列中，a1≠0是显然的，但公比q可能为1，因此，在等比数列求和时若公比未明，学生极易犯上例错误,此时教师可引导学生发现错误的本质原因是对等比数列求和公式的应用范围的忽视。故应先讨论公比q=1的情况，再在q≠1的情况下，对式子进行整理变形。

若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1但a1≠0，即得S3+S6≠2S9与题设矛盾，故q≠1。又S3+S6=2S9?圯■+■=2·■?圯q3（2q6-q3-1)=0，即（2q3+1)(q3-1)=0，因为q≠1，所以q3-1≠0，所以2q3+1=0解得q=-■。

４．反思错误，培养调节能力

思路错误是学生解题受阻的常见原因，而陷入错误思路不能自拔往往是由于学生盲目做题，不善反思，不善进行思维的自我反思的原因。

哪里跌到，就从哪里爬起，吃一堑，力求长一智，为让学生在错误的思路前能自觉地反思与调节，应教导他们在思路受阻时学会做波利亚式的自我提问：这个问题条件足够吗？（怀疑问题的可解性）我的障碍在哪里？我弄清题意了吗？我是否遗漏了已知条件？我是否盯住了目标？我的思路合理吗？我是否见过类似的情形？……正确的解法往往是在错误思路的反思与调节中得到，教学中应该展示这样的全过程。

题4： 已知a，b∈R+，a+b=1求证：a+■b+■≥■

思路一：左边＝ab+■+■+■≥2+2，受阻。

反思：有什么已知条件没考虑？“a+b=1”！原不等式何时取等号？根据对称性，应是a=b=■时，而必须ab=■=1，这不可能，所以不成功，应证ab+■≥■·■+■=■。

思路二：将“a+b=1”用起来。ab+■=ab+■=ab+■+■=ab+■■=ab+(■+■)+2≥ad+4，如有ad≥■便成，但ab≤（■）2=■，不等式异向，再次受阻。

反思：异向不等式无法传递，ab还应与其倒数结合考虑。对ab+■直接运用基本不等式不成功，是否可拆项或调整系数后再用？对照时a=b=■，应有ab=■。

思路三：ab+■=（ab+■）+■≥2■+■≥■+■=■。

引导学生在错误的反思中养成强大的自我调节能力，则错误也就成为好事．此题还有其它各种思路与反思，比如运用函数y=x+■在区间(0，1]上的单调性等，并可得出更多的证法，这里仅展示其一隅。

利用错误提升学生数学学习能力的做法还有许多,如让学生将自己的错解汇集成“错题集”以提高复习效率；设立“错在哪里”的班级专栏培养学生对错误的分析能力；让学生相互批改作业培养其对错误的评判力等等，在此限于篇幅不再一一展开。

参考文献：

[1]钱从新 《例说教学中的串点成线》 数学教学通讯

[2]郭思乐喻纬 《数学思维教育论》 上海教育出版社

[3]郑毓信 《数学方法论》 广西教育出版社