《常微分方程》教学中培养学生数学应用能力的研究*

汪 轶

(皖西学院金融与数学学院 安徽六安 237012)

《常微分方程》教学中培养学生数学应用能力的研究*

汪 轶

(皖西学院金融与数学学院 安徽六安 237012)

常微分方程是数学理论联系实际的重要渠道。但由于其理论的抽象性又给常微分的教学和学习带来了诸多困难，从而遏制了学生数学应用的能力.为解决这一问题，结合作者本身教学实践，本文讨论了在教学过程中实现教与学互动的对策和培养学生应用能力的几点思考.

常微分方程，教学互动，数学应用

众所周知，高度的抽象性，严密的逻辑性和广泛的应用性是数学的主要特点，常微分方程更是体现了数学的应用性这一特点.具有较强的抽象和应用能力是学好数学的重要因素之一，我系数学与应用数学专业开设的常微分课程主要介绍常微分的基本内容.通过该课程的学习，可以加深对数学分析和线性代数等课程的一些基本概念，理论和方法的理解.而常微分方程教材的内容大多是一些以理论分析和理论推导为主的纯数学知识.如果在教学中只讲基础知识和方程解法，而不注重培养学生解决实际问题的能力，就违背了数学发展的初衷.因此，在教学互动过程中要在不断深化学生原有知识的基础之上，帮助学生建立起新的知识体系，掌握把实际问题归结为适当的数学模型的途径和方法，提高数学应用的能力.

常微分方程理论的抽象性以及如何将实际问题抽象成数学问题给教和学带来了许多困难和不便，尤其对初学者来说，更易望而生畏.因此，在组织教学以及教学互动环节中，应考虑做到这样几个方面：①注重微分方程的实际背景，认识到抽象的合理性；②重视微分方程本身的基础理论，对比分析各学科定理之间的关联性；③注重对比分析，科学提炼课程教学内容，把握抽象问题之间的联系，提高学生的数学应用的能力.

1 注重微分方程的实际背景，认识到抽象的合理性

微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一.由于微分方程很多是由生产实际或由有关的学科推导得来，而不是主观臆造的，当以某种方法解决了问题以后，还需回到生产实践中去.因此，对于怎样建立方程、建立什么样的方程、如何求解、以及方程的解如何回过头来解释实际现象，在课堂教学中应该予以十分的重视.尤其对于较复杂的实际问题，要能建立起合适的微分方程是不容易的；必须对问题的本质有深刻了解，并且纯熟地掌握数学和物理学等相关学科的工具才能够办到，下面以教学中的实例说明.

例如：抛射体的运动问题.

在教学过程中对于这个问题的讨论，按照不同的背景，适当略去不重要的因素建立合适的数学模型：

(1)近地、低速、铅直方向运动情形

(2) 近地、高速、铅直方向运动情形

(3) 远地、低速、铅直方向运动情形

以及抛射角小于π/2，分别不考虑空气阻力和考虑空气阻力时的运动方程组情形，这里略去.

在教学中，通过本例进一步解释发射人造地球卫星的3个阶段：① 卫星百公里内的稠密大气层的加速段；②百公里外的惯性自由飞行段；③远地点火箭再次点火的进入预定轨道段.这样就可以使得学生初步理解建模的基本步骤并提高学习兴趣.

2 重视对比分析各学科定理之间的关联性

每个数学学科都由一系列的概念，定理构成.微分方程除了密切联系实际外，更有自己的基础理论.如皮卡存在唯一性定理、解析理论、定性理论和数值分析等.这些基础理论的建立，有赖于数学其他分支的帮助.注重对比分析，把握抽象问题之间的联系.通过对比，联想概念和定理条件，结论之间的异同和特点，挖掘出每个概念，定理的条件及结论的关键和本质，以培养学生抽象思维的深刻性和理解概念，分清定理的实质的能力.例如在教学中理清线性代数与一阶线性方程组之间的密切联系；常系数高次线性方程与代数方程的关系等.在本课程的教学过程中，使学生在掌握本课程知识的同时又可以看到微积分、线性代数和物理学中的相关知识是要经常用到的，同时学生通过学习可以感受到微分方程课程也是训练掌握微积分、线性代数和物理学的一个很好的场所.

例如，在教学中，对于高阶线性方程或一阶线性方程组解的结构问题，可以通过图示的方式列出相关知识的联系，以便于学生在大脑中形成知识网络与体系.

齐线性方程(组)的叠加原理→函数(向量)组的线性相关慨念→齐线性方程的通解并与齐次线性方程组解空间的结构相比较.

对于用逆算子求高阶常系数非齐次线性方程的特解时，可将非齐次项的三种类型归结为如下的基本类型：

基本类型：p(D)y=eλxφ(x)

其中φ(x)为任意充分可微函数，p(D)为微分多项式算子

则其特解为：

并在教学中与高等代数中线性变换的相关知识点进行比较，可以帮助学生把握各课程知识点之间的联系从而迅速掌握它们.

3 科学提炼教学内容，提高学生的数学应用的能力

不少国内外常微分方程教材片面的重视数学理论的系统性，有的虽然列举了较多的联系实际的例子，其目的主要也是作为验证理论之用.这样虽然讲了很多解题方法，但难免各不相干，虽然理论也不少，但事实证明学生学后易忘，可以尝试在教学过程中结合本校实际情况科学提炼教材内容，将教学内容分为3个模块：理论模块，本模块主要讲解一阶微分方程的存在唯一定理；线性方程(组)解的结构理论和解的稳定性理论。解方程模块，本模块是理论模块的落脚点之一，其内容分散在各章中，类型多，内容杂，要及时归类并加强训练。应用模块，除在每章或某一节的引入通过实际问题建立模型外还结合Matlab等数学软件来求解一些方程的解再返回到实际问题中去，来解释某些实际现象。在3个教学模块中均以工程、物理、力学等方面最常遇到的弹簧系统的振动、单摆摆动和前述的抛射体运动等三类问题作为自始至终贯穿教学过程的中心问题.方程由简单到复杂，由线性到非线性，或由单一的方程到方程组；在处理方法上则由求通解到只作定性或稳定性的讨论.这样，一方面可以把教材的大部分内容有机地联系在一起；另一方面也可以藉此显示数学理论联系实际由浅入深的具体过程，以加深理解.只有在掌握了系统的微分方程理论，同时又知道这种理论如何应用于实际问题时，学到的东西才比较巩固、踏实.

在教育过程中既要承认教师的主导地位，重视教师的主导作用，更要重视发挥学生的主动作用，体现学生的主体地位.因为在教学活动中，教师的主导作用是建立在学生的主体作用基础之上的.同时，学生学习积极性和主动性的发挥又会促使教师主导作用的更好发挥.教学过程是教与学的互动过程，因此在整个常微分方程课程教学过程中，有意识地引导学生主动学习，自主思考，从而自觉地提高自身的抽象思维能力和数学应用能力自然非常重要.以上是笔者在常微分方程课程这一教学互动过程中，对如何培养学生的数学应用能力的几点做法和思考.当然这些能力的培养和提高是一个复杂长期的过程，决不是通过几次简单的课堂教学就能完成的.但是，只要教师在教学过程中能够持之以恒地重视培养学生良好的学习习惯和思维方式，重视教学的互动并采取灵活多样的教学方式，不仅可以很好的完成常微分方程的教学过程，而且可以全面提高学生的能力，培养出真正的具有创新能力的人才.

(责任编辑李平)

On Training Students’ Ability of Mathematics Application in Teaching Ordinary Differential Equation

WANG Yi

(Department of Finances and Mathematics， West Anhui University， Liu’an，Anhui， 237012， China)

Ordinary differential equation was an important channel of mathematics theory with practice，but the abstraction of its theories caused much difficulties in teaching and studying ODE. Thus, it stmed the ability of the students’ mathematics application. To solve the problem, in this paper, according to the teaching practice of the author, some principles and thinkings about interaction of teaching and learning in the teaching process were discussed.

ordinary differential equation, interaction of teaching and learning, mathematics application

安徽省高校省级自然科学研究项目(编号KJ2013B333)成果之一。

2014-6-26

汪轶(1975-)，男，安徽六安人，讲师，硕士，研究方向为摄动分析。Email：ewang@wxc.edu.cn。

G 642

A

1674-9545(2014)03-0067-(03)