钢筋混凝土结构长期变形的Bayesian预测

(西华大学建筑与土木工程学院，四川 成都 610039)

收缩与徐变是混凝土最具随机性的材料特性，因而在混凝土结构长期行为研究中有采用随机分析方法的必要；但是，如果只根据已有收缩徐变试验数据全体样本的统计模型，采用概率分析方法预测结构的长期变形，将导致预测结果有较大的离散性。对于这类问题，可以在短期试验测量数据的基础上，采用Bayesian理论对长期变形进行预测，进而达到减小预测随机性的目的[1]。

在已有文献中，关于这一问题的研究并不多见。1984年，Bazant等将Bayesian理论首先应用于混凝土收缩徐变长期试验数据预测的研究，在他们的研究中，采用Hermite-Gaussian公式求解Bayesian积分，这一算法只有在涉及2～3个随机变量时才是可行的[2]。之后，Bazant等[3]将Bayesian预测技术应用于预应力混凝土箱梁桥长期变形预测工作。在他们的研究中，为了减少抽样计算次数，在Bayesian推断中引入了拉丁超立方抽样技术[3]。与Bazant等提出方法类似的，Yang也进行了混凝土结构时变效应的长期预测工作的研究[4]。

然而，关于混凝土结构收缩徐变效应的Bayesian预测仍存在一些技术性难题。正如Bazant等[3]所指出的，如果似然函数较先验分布概率函数更为趋于窄峰或者二者偏差过大时，使得抽样数据落入似然函数范围的可能性减小，会极大地增加抽样计算的次数，甚至可能导致计算失败。

本文就钢筋混凝土结构长期变形的Bayesian预测提出了一个新的计算框架。为了解决似然函数为窄峰分布时计算困难这一问题，采用了自适应重要抽样技术。同时，为了提高计算效率，在抽样计算时引入了响应面技术。数值计算表明，本文提出的计算框架可以有效地应用于对钢筋混凝土梁长期变形的预测。

1 混凝土收缩徐变模型的不确定性

根据美国著名学者Bazant[5]的建议，混凝土收缩徐变的概率发展方程可以表示为

(1)

其中：J(t,τ)为徐变度；εsh(t)为收缩应变。徐变度J(t,τ)定义为

(2)

式中：Ec(τ)与Ec分别代表τ时刻与28 d时混凝土的弹性模量；φ(t,τ)代表徐变系数。在式(1)中，θ1与θ2分别表示混凝土徐变和收缩模型的不确定性系数。已有研究表明，θ1和θ2近似服从均值为1.0的正态分布。对于在目前文献[6]所采用的MC90模型，随机变量θ1和θ2的变异系数分别可取0.35和0.46[5]。

2 基于响应面的Monte Carlo抽样

如果结构响应不能显式表示，采用Monte Carlo抽样计算时，所有样本都需要进行有限元计算分析，这样会导致计算开销量急剧增大。为改进随机分析的计算效率，本文采用了一种结合响应面的Monte Carlo方法[7-9]进行收缩徐变效应的随机分析。响应面法的基本思想是将隐式函数近似表达为更易数值计算处理的显式形式。抽样直接针对响应面进行，避开了每次抽样计算时都需运行有限元计算的难题。在本文中，响应面采用不包含交叉项的二次多项式形式

(3)

式中：g(θ)是所求的结构响应量；θi(i=1～K) 是第i个随机变量；K是随机变量的总数；a、bi和ci(i=1～K)是2K+1个待定系数。为了确定上述待定系数，本文采用饱和设计法进行响应面设计。响应面中心试验点取所有随机变量的均值。同时，对于每个随机变量θi别取±kσ的正负偏移量得到2K个偏移设计点。采用这2K+1组试验点进行有限元分析，即可建立2K+1阶线性方程组，进一步即可求得系数a、bi和ci。

3 Bayesian预测理论

Bayesian统计方法旨在利用的先验概率分布信息和实验观测结果来获得修正的后验概率预测，其基本数学原理[10]如下：

(4)

其中：p(θ)为先验概率密度函数；X为试验观测量；L(X|θ)为似然函数；f(θ)为后验概率密度函数；c为一积分常数；Θ代表了随机变量θ的取值定义域。

式(4)更一般的数学表达为

(5)

其中，ϖ(θ)为需要进行Bayesian推断的物理量。比如，当ϖ(θ)=1时，I(ϖ(θ))为积分常数c；当ϖ(θ)=θi/c时，I(ϖ(θ))为变量θi均值的Bayesian推断结果；当ϖ(θ)=g(θ)/c时，I(ϖ(θ))为结构响应的均值预测结果；当ϖ(θ)=[g(θ)-E[g]]2/c，则得到结构响应的方差预测结果。

对于工程应用而言，似然函数L(X|θ)一般可假设为正态分布[2-3]。若观测数据X由一系列相互独立的观测值xi(i=1～n)组成，则似然函数可以表达为

(6)

从上述理论分析看出，Bayesian推断在数学上的关键是求解如式(5)所示的积分。由于L(X|θ)相比先验概率密度函数p(θ)是个窄峰分布，采用常规抽样数值积分方法往往导致抽样点很难落到观测数据范围内，进而导致式(5)中的积分运算难以完成[3]。

在本文研究中，将采用重点抽样算法来克服这一困难。重点抽样技术是一种方差缩减抽样技术，可以用较少的抽样次数获得积分解。

(7)

则式(7)的无偏估计量为

(8)

(9)

则采用自适应重点抽样算法求解积分式(5)的过程归纳如下：

4)根据式(8)则可得到变量θi的均值和均方差的估计值μθi和σθi：

(10)

(11)

7)根据式(8)，结构响应量g(θ)的均值与方差的Bayesian预测值为：

(12)

(13)

4 数值算例

本文选取Bakoss等人完成的一根钢筋混凝土简支梁长期变形试验[12]作为数值分析算例。试验梁的几何尺寸如图1所示，浇筑混凝土时采用了A型波特兰水泥，并对试验梁进行14 d的潮湿养护。混凝土28 d平均抗压强度fcm=39 MPa，混凝土抗拉强度ft=2.77 MPa，弹性模量Ec=30.4 GPa。试验期间的平均环境湿度为50%。混凝土材龄达到28 d时，开始加载如图1所示的集中力和342.51 N/m的均布自重。

本文采用了作者开发的通用混凝土结构有限元分析程序CSBNLA(concrete structures bi-NonLinear analysis)[13]进行试验梁的长期变形分析。确定性分析结果如图2所示。可以看出，由于混凝土收缩徐变效应的显著随机性，确定性计算结果与试验结果表现出明显的差异。

图 1 钢筋混凝土简支梁长期变形试验(尺寸：mm)

图 2 跨中长期变形确定性分析结果

采用作者提出的基于响应面技术的Monte Carlo抽样，对该梁进行长期变形的随机分析，分析结果如图3所示。在图3中，实线代表了长期变形的均值，上方虚线代表了长期变形的均值加上2倍变形均方差值结果，而下方点划线代表了长期变形的均值减去2倍变形均方差值结果。

从图3可以看出，虽然试验结果介于上下2条曲线之间，即处于区间[μ-2σ,μ+2σ](μ和σ分别代表长期变形预测值得均值与均方差)；但是，这种预测是基于既有知识的全体样本进行的，因而，可以看出其预测的结果表现出很大的不确定性。

图 3 时变变形的随机分析结果

本文采用Bayesian理论对该试验梁的长期变形进行了预测。共考虑了2种工况，其中，工况A：用28、35、47、70和100 d的变形观测结果预测250、350、和 544 d的变形值；工况B：用28、35、47、70、100和250 d的变形观测结果预测350 d和 544 d的变形值。计算结果如图4和5所示。在图4和5中：实线、虚线以及点划线所代表的物理意义同图3。实心原点代表试验观测结果，空心原点代表预测值。

从图4和5可以明显看出，由于在预测中充分利用了已知试验信息，随机预测结果的离散性明显降低。同时，还可以发现，对于工况B，由于利用的已知信息较多，其预测结果优于工况A。

图 4 工况A长期变形Bayesian预测结果

图 5 工况B长期变形Bayesian预测结果

5 结论

本文在响应面技术的基础上，将重点抽样技术引入Bayesian预测。在提高计算效率的同时，有效地克服了当似然函数为窄峰分布是数值计算的困难。通过一个对已有简支梁长期变形试验的预测，验证了本文方法的有效性。

本文只对一个简支梁的长期变形进行了预测，在今后的进一步工作中，还可应用本方法，对大型混凝土桥梁结构如预应力混凝土连续梁桥等的长期变形进行预测。

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