以“转化”为例谈小学数学思想方法的全局把握

吴贤

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》颁布后，数学思想方法成为新的研究热点。但当下“散点渗透式”的教学方式，还难以达成“使学生获得数学基本思想”的目标。以“转化”这一数学思想为例，教师可以站在全局的视野，从内容梳理、方法建构、整体沟通三个维度，对数学思想方法如何在数学教学中有效落实作出有益的探索与实践。

【关键词】数学思想转化全局把握

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出通过数学课程，渗透数学思想，提高数学素养，这使得数学思想方法再次成为小学数学关注和研究的热点。以“转化”这一较常见的思想方法为切入点，笔者尝试突破数学思想方法“散点渗透式”的传统教学方式，着力以全局视野进行内容上的全息梳理和方法上的统筹考量，以构建出数学思想方法教学的整体脉络。

一、内容梳理：为转化思想画一幅全息地图

要使数学思想方法的学习不再是知识点中的零散渗透、教学中的即兴穿插，就必须形成一幅多维、立体、全视域的小学数学思想方法“全息地图”。

1.横向与纵向——“转化”的两种脉络。

从教材内容这一横向脉络，可以梳理出“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”及“综合与实践”四个部分中的转化思想。如小学一年级“数与代数”部分，就有“数的分与合”这样的“构造转化”、“凑十法”这样的“复杂—简单转化”以及把自然数序列转化为数轴图这样的“数形转化”等。而从知识发展这一纵向脉络观察，转化思想又呈现出在同一领域反复理解、螺旋上升的状态。以数的运算为例，从几加几到9加几，从乘法口诀到用口诀算整十、整百数乘法，从整数四则运算到小数四则运算，从同分母加减到异分母加减，从分数乘法到分数除法进而到百分数运算，能看出在整个小学阶段，转化思想在不同内容中的反复强化与凸显。

2.显性与隐性——“转化”的两种形态。

学生学习某一知识，如平行四边形的面积，无论是传统教法还是学生自主探究，都会出现把平行四边形转化成长方形进而推导公式的情况，这体现出转化思想的一种显性特质。而有时，转化又是隐性的，需要教师具有较强的数学素养，在研读教材的过程中加以发现。如四年级“三角形的内角和”中，教材通过把三个角“折并”成一个角得到内角和，就隐含着“等价转化”思想。

二、方法建构：给转化思想寻一条教学路径

通过多维度梳理，我们得到了一幅线索清晰的“转化思想内容图”，在实际教学中就可以进行全盘统筹的考量。

1.瞻前顾后：给转化思想一个系统的逻辑架构。

数学思想方法不仅要有一个准确的目标定位，还需要建立一个系统的逻辑框架，形成一条无形的线，在时间序列中不断盘桓、浸润。如教学“圆柱体积公式的推导”，如果仅仅将其孤立地看成圆柱向长方体的等体积转化，就很容易成为一种个例的学习，而如果放手让学生提前尝试思考：借助已有知识，你能想办法推导出圆柱的体积公式吗？则会因各个学生不同的知识构造，呈现出独具特色的个人倾向：有的把圆柱水平切成无数圆片，借助平移长方形得到长方体的感悟，以极限思想推导；有的联系圆面积推导过程，把圆柱底面均分成若干个等体积扇形，类比转化探索公式；还有的试图把圆柱切成许多个小长方体，虽然难以推导出公式，但尝试的过程未尝不闪烁着学生独立运用转化策略进行思考、分析的光芒。

因此，在教学中，如果教师能在不同内容的教学中，把握每一次机会让学生充分感受所用到的数学思想方法，当他们独立思考解决类似的问题时，就会充分展示出自己“潜藏”的、体悟过的数学思想方法，而后，教师进行分析和比较，就会让学生对这些数学思想方法的认识更清晰、应用更自觉，进而为数学思想方法的教学搭建起系统的逻辑框架。

2.螺旋发展：给转化思想一个递进的生长空间。

在教学中，我们还应为转化思想创造一个螺旋发展的生长空间，关注到数学思想方法的递进、延展。如学习“整十数乘一位数”时可以让学生说说：明明让算20×3，你怎么会算成2×3呢？学习“不进位的两位数乘一位数”时，让学生反思：算法虽然不同，但都要把14×2进行变化或分解，成为我们熟悉的计算就好办了。学习“48×2”时，让学生体会“拆开来”算的好处。只要有机会，都试着外化学生朴素的思考，将转化思想的价值用描述性的问题或简单的结语体现出来。单元复习时利用计算“48×9”，让学生思考：你能用哪些方法进行计算？无论是用竖式还是还原成加法，还是用8×9=72、40×9=360、72+360=432，甚至用48×10后再减48，都体现出了转化的思想。

在小学六年的教学中，如果能这样不断地凸显某一种数学思想方法，让学生充分体会其价值，学生就会对各种数学思想方法都有充分的积淀，这必将为其今后的学习提供一个更广阔的生长空间。

三、整体沟通：为数学思想方法织一张全局的网

张奠宙教授说：“只有把数学思想方法嵌入日常的教学之中，成为教师备课的有机组成部分，‘四基数学教学才能真正落到实处。”在教学中，教师应引导学生对思想方法本身、对其与实际生活、与人的学习进行更为全面的联系，这样，数学思想方法才能真正融入学生的行为、思考方式中，成为影响他们终身的素养。

1.横向沟通，让转化与其他思想建立广泛的联系。

新课标提出了三种数学基本思想，而基本思想又衍生、发展出数十种思想（如分类、集合等），在解题中，又会形成更为多样的思想方法，可见，数学基本思想之间、基本思想与衍生思想之间、数学思想与方法之间存在着紧密的联系。我们应重视这些联系，以总体的眼光看待小学阶段的数学思想方法，不仅心中有明晰的某一思想方法之线，脑中还要形成多种数学思想方法之谱。可以通过积极融汇学生所呈现的不同数学思想方法，丰富学生的认识和经验。如解决这样的问题：将长6厘米、宽4厘米的长方形的长和宽分别增加■，现在长方形的面积是原来的几分之几？任意找一个长方形，结论是否不变？对分数乘除印象深刻的学生会将此问题转化为两个简单问题的叠加，即长是原来长的■，面积就是原来面积的■，宽也是原来宽的■，面积就是原来面积的■；习惯进行归纳推理的学生，会由特殊到一般，通过多个数据的计算进行推论；函数思想发展较好的学生，会通过设长、宽分别为a、b，用字母式进行计算证明；“数形结合”思想运用得较好的学生，会用图进行解释。学生不同的思考路径显示出他们在数学思想方法运用中鲜明的个人倾向，进一步让学生讨论“你喜欢谁的方法？其他方法给了你怎样的启示？”又可以让学生在求同存异中明确不同思想方法在具体应用中的优点和问题，使学生解决实际问题更为灵活、更具适切性。

2.纵向沟通，让转化与一般学习建立丰富的关联。

学习内在的机理是相通的，数学学习中所获取的转化、分类讨论、模型等思想意识，完全可以在其他学科的学习中得到应用，同时也可以通过其他学科的学习得以巩固。在学校组织的一次数学与科学学科的联合教研中，能把数学中的转化思想应用到科学学习中的学生，就很好地设计出了检验“空气是不是有质量”的方案。如果能让数学学习与一般学习相互影响，那我们将能真正让数学思想方法在学生头脑中活起来，使其真正成为学生学习后可以“带得走的东西”。■

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文二等奖

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》颁布后，数学思想方法成为新的研究热点。但当下“散点渗透式”的教学方式，还难以达成“使学生获得数学基本思想”的目标。以“转化”这一数学思想为例，教师可以站在全局的视野，从内容梳理、方法建构、整体沟通三个维度，对数学思想方法如何在数学教学中有效落实作出有益的探索与实践。

【关键词】数学思想转化全局把握

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出通过数学课程，渗透数学思想，提高数学素养，这使得数学思想方法再次成为小学数学关注和研究的热点。以“转化”这一较常见的思想方法为切入点，笔者尝试突破数学思想方法“散点渗透式”的传统教学方式，着力以全局视野进行内容上的全息梳理和方法上的统筹考量，以构建出数学思想方法教学的整体脉络。

一、内容梳理：为转化思想画一幅全息地图

要使数学思想方法的学习不再是知识点中的零散渗透、教学中的即兴穿插，就必须形成一幅多维、立体、全视域的小学数学思想方法“全息地图”。

1.横向与纵向——“转化”的两种脉络。

从教材内容这一横向脉络，可以梳理出“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”及“综合与实践”四个部分中的转化思想。如小学一年级“数与代数”部分，就有“数的分与合”这样的“构造转化”、“凑十法”这样的“复杂—简单转化”以及把自然数序列转化为数轴图这样的“数形转化”等。而从知识发展这一纵向脉络观察，转化思想又呈现出在同一领域反复理解、螺旋上升的状态。以数的运算为例，从几加几到9加几，从乘法口诀到用口诀算整十、整百数乘法，从整数四则运算到小数四则运算，从同分母加减到异分母加减，从分数乘法到分数除法进而到百分数运算，能看出在整个小学阶段，转化思想在不同内容中的反复强化与凸显。

2.显性与隐性——“转化”的两种形态。

学生学习某一知识，如平行四边形的面积，无论是传统教法还是学生自主探究，都会出现把平行四边形转化成长方形进而推导公式的情况，这体现出转化思想的一种显性特质。而有时，转化又是隐性的，需要教师具有较强的数学素养，在研读教材的过程中加以发现。如四年级“三角形的内角和”中，教材通过把三个角“折并”成一个角得到内角和，就隐含着“等价转化”思想。

二、方法建构：给转化思想寻一条教学路径

通过多维度梳理，我们得到了一幅线索清晰的“转化思想内容图”，在实际教学中就可以进行全盘统筹的考量。

1.瞻前顾后：给转化思想一个系统的逻辑架构。

数学思想方法不仅要有一个准确的目标定位，还需要建立一个系统的逻辑框架，形成一条无形的线，在时间序列中不断盘桓、浸润。如教学“圆柱体积公式的推导”，如果仅仅将其孤立地看成圆柱向长方体的等体积转化，就很容易成为一种个例的学习，而如果放手让学生提前尝试思考：借助已有知识，你能想办法推导出圆柱的体积公式吗？则会因各个学生不同的知识构造，呈现出独具特色的个人倾向：有的把圆柱水平切成无数圆片，借助平移长方形得到长方体的感悟，以极限思想推导；有的联系圆面积推导过程，把圆柱底面均分成若干个等体积扇形，类比转化探索公式；还有的试图把圆柱切成许多个小长方体，虽然难以推导出公式，但尝试的过程未尝不闪烁着学生独立运用转化策略进行思考、分析的光芒。

因此，在教学中，如果教师能在不同内容的教学中，把握每一次机会让学生充分感受所用到的数学思想方法，当他们独立思考解决类似的问题时，就会充分展示出自己“潜藏”的、体悟过的数学思想方法，而后，教师进行分析和比较，就会让学生对这些数学思想方法的认识更清晰、应用更自觉，进而为数学思想方法的教学搭建起系统的逻辑框架。

2.螺旋发展：给转化思想一个递进的生长空间。

在教学中，我们还应为转化思想创造一个螺旋发展的生长空间，关注到数学思想方法的递进、延展。如学习“整十数乘一位数”时可以让学生说说：明明让算20×3，你怎么会算成2×3呢？学习“不进位的两位数乘一位数”时，让学生反思：算法虽然不同，但都要把14×2进行变化或分解，成为我们熟悉的计算就好办了。学习“48×2”时，让学生体会“拆开来”算的好处。只要有机会，都试着外化学生朴素的思考，将转化思想的价值用描述性的问题或简单的结语体现出来。单元复习时利用计算“48×9”，让学生思考：你能用哪些方法进行计算？无论是用竖式还是还原成加法，还是用8×9=72、40×9=360、72+360=432，甚至用48×10后再减48，都体现出了转化的思想。

在小学六年的教学中，如果能这样不断地凸显某一种数学思想方法，让学生充分体会其价值，学生就会对各种数学思想方法都有充分的积淀，这必将为其今后的学习提供一个更广阔的生长空间。

三、整体沟通：为数学思想方法织一张全局的网

张奠宙教授说：“只有把数学思想方法嵌入日常的教学之中，成为教师备课的有机组成部分，‘四基数学教学才能真正落到实处。”在教学中，教师应引导学生对思想方法本身、对其与实际生活、与人的学习进行更为全面的联系，这样，数学思想方法才能真正融入学生的行为、思考方式中，成为影响他们终身的素养。

1.横向沟通，让转化与其他思想建立广泛的联系。

新课标提出了三种数学基本思想，而基本思想又衍生、发展出数十种思想（如分类、集合等），在解题中，又会形成更为多样的思想方法，可见，数学基本思想之间、基本思想与衍生思想之间、数学思想与方法之间存在着紧密的联系。我们应重视这些联系，以总体的眼光看待小学阶段的数学思想方法，不仅心中有明晰的某一思想方法之线，脑中还要形成多种数学思想方法之谱。可以通过积极融汇学生所呈现的不同数学思想方法，丰富学生的认识和经验。如解决这样的问题：将长6厘米、宽4厘米的长方形的长和宽分别增加■，现在长方形的面积是原来的几分之几？任意找一个长方形，结论是否不变？对分数乘除印象深刻的学生会将此问题转化为两个简单问题的叠加，即长是原来长的■，面积就是原来面积的■，宽也是原来宽的■，面积就是原来面积的■；习惯进行归纳推理的学生，会由特殊到一般，通过多个数据的计算进行推论；函数思想发展较好的学生，会通过设长、宽分别为a、b，用字母式进行计算证明；“数形结合”思想运用得较好的学生，会用图进行解释。学生不同的思考路径显示出他们在数学思想方法运用中鲜明的个人倾向，进一步让学生讨论“你喜欢谁的方法？其他方法给了你怎样的启示？”又可以让学生在求同存异中明确不同思想方法在具体应用中的优点和问题，使学生解决实际问题更为灵活、更具适切性。

2.纵向沟通，让转化与一般学习建立丰富的关联。

学习内在的机理是相通的，数学学习中所获取的转化、分类讨论、模型等思想意识，完全可以在其他学科的学习中得到应用，同时也可以通过其他学科的学习得以巩固。在学校组织的一次数学与科学学科的联合教研中，能把数学中的转化思想应用到科学学习中的学生，就很好地设计出了检验“空气是不是有质量”的方案。如果能让数学学习与一般学习相互影响，那我们将能真正让数学思想方法在学生头脑中活起来，使其真正成为学生学习后可以“带得走的东西”。■

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文二等奖

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》颁布后，数学思想方法成为新的研究热点。但当下“散点渗透式”的教学方式，还难以达成“使学生获得数学基本思想”的目标。以“转化”这一数学思想为例，教师可以站在全局的视野，从内容梳理、方法建构、整体沟通三个维度，对数学思想方法如何在数学教学中有效落实作出有益的探索与实践。

【关键词】数学思想转化全局把握

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出通过数学课程，渗透数学思想，提高数学素养，这使得数学思想方法再次成为小学数学关注和研究的热点。以“转化”这一较常见的思想方法为切入点，笔者尝试突破数学思想方法“散点渗透式”的传统教学方式，着力以全局视野进行内容上的全息梳理和方法上的统筹考量，以构建出数学思想方法教学的整体脉络。

一、内容梳理：为转化思想画一幅全息地图

要使数学思想方法的学习不再是知识点中的零散渗透、教学中的即兴穿插，就必须形成一幅多维、立体、全视域的小学数学思想方法“全息地图”。

1.横向与纵向——“转化”的两种脉络。

从教材内容这一横向脉络，可以梳理出“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”及“综合与实践”四个部分中的转化思想。如小学一年级“数与代数”部分，就有“数的分与合”这样的“构造转化”、“凑十法”这样的“复杂—简单转化”以及把自然数序列转化为数轴图这样的“数形转化”等。而从知识发展这一纵向脉络观察，转化思想又呈现出在同一领域反复理解、螺旋上升的状态。以数的运算为例，从几加几到9加几，从乘法口诀到用口诀算整十、整百数乘法，从整数四则运算到小数四则运算，从同分母加减到异分母加减，从分数乘法到分数除法进而到百分数运算，能看出在整个小学阶段，转化思想在不同内容中的反复强化与凸显。

2.显性与隐性——“转化”的两种形态。

学生学习某一知识，如平行四边形的面积，无论是传统教法还是学生自主探究，都会出现把平行四边形转化成长方形进而推导公式的情况，这体现出转化思想的一种显性特质。而有时，转化又是隐性的，需要教师具有较强的数学素养，在研读教材的过程中加以发现。如四年级“三角形的内角和”中，教材通过把三个角“折并”成一个角得到内角和，就隐含着“等价转化”思想。

二、方法建构：给转化思想寻一条教学路径

通过多维度梳理，我们得到了一幅线索清晰的“转化思想内容图”，在实际教学中就可以进行全盘统筹的考量。

1.瞻前顾后：给转化思想一个系统的逻辑架构。

数学思想方法不仅要有一个准确的目标定位，还需要建立一个系统的逻辑框架，形成一条无形的线，在时间序列中不断盘桓、浸润。如教学“圆柱体积公式的推导”，如果仅仅将其孤立地看成圆柱向长方体的等体积转化，就很容易成为一种个例的学习，而如果放手让学生提前尝试思考：借助已有知识，你能想办法推导出圆柱的体积公式吗？则会因各个学生不同的知识构造，呈现出独具特色的个人倾向：有的把圆柱水平切成无数圆片，借助平移长方形得到长方体的感悟，以极限思想推导；有的联系圆面积推导过程，把圆柱底面均分成若干个等体积扇形，类比转化探索公式；还有的试图把圆柱切成许多个小长方体，虽然难以推导出公式，但尝试的过程未尝不闪烁着学生独立运用转化策略进行思考、分析的光芒。

因此，在教学中，如果教师能在不同内容的教学中，把握每一次机会让学生充分感受所用到的数学思想方法，当他们独立思考解决类似的问题时，就会充分展示出自己“潜藏”的、体悟过的数学思想方法，而后，教师进行分析和比较，就会让学生对这些数学思想方法的认识更清晰、应用更自觉，进而为数学思想方法的教学搭建起系统的逻辑框架。

2.螺旋发展：给转化思想一个递进的生长空间。

在教学中，我们还应为转化思想创造一个螺旋发展的生长空间，关注到数学思想方法的递进、延展。如学习“整十数乘一位数”时可以让学生说说：明明让算20×3，你怎么会算成2×3呢？学习“不进位的两位数乘一位数”时，让学生反思：算法虽然不同，但都要把14×2进行变化或分解，成为我们熟悉的计算就好办了。学习“48×2”时，让学生体会“拆开来”算的好处。只要有机会，都试着外化学生朴素的思考，将转化思想的价值用描述性的问题或简单的结语体现出来。单元复习时利用计算“48×9”，让学生思考：你能用哪些方法进行计算？无论是用竖式还是还原成加法，还是用8×9=72、40×9=360、72+360=432，甚至用48×10后再减48，都体现出了转化的思想。

在小学六年的教学中，如果能这样不断地凸显某一种数学思想方法，让学生充分体会其价值，学生就会对各种数学思想方法都有充分的积淀，这必将为其今后的学习提供一个更广阔的生长空间。

三、整体沟通：为数学思想方法织一张全局的网

张奠宙教授说：“只有把数学思想方法嵌入日常的教学之中，成为教师备课的有机组成部分，‘四基数学教学才能真正落到实处。”在教学中，教师应引导学生对思想方法本身、对其与实际生活、与人的学习进行更为全面的联系，这样，数学思想方法才能真正融入学生的行为、思考方式中，成为影响他们终身的素养。

1.横向沟通，让转化与其他思想建立广泛的联系。

新课标提出了三种数学基本思想，而基本思想又衍生、发展出数十种思想（如分类、集合等），在解题中，又会形成更为多样的思想方法，可见，数学基本思想之间、基本思想与衍生思想之间、数学思想与方法之间存在着紧密的联系。我们应重视这些联系，以总体的眼光看待小学阶段的数学思想方法，不仅心中有明晰的某一思想方法之线，脑中还要形成多种数学思想方法之谱。可以通过积极融汇学生所呈现的不同数学思想方法，丰富学生的认识和经验。如解决这样的问题：将长6厘米、宽4厘米的长方形的长和宽分别增加■，现在长方形的面积是原来的几分之几？任意找一个长方形，结论是否不变？对分数乘除印象深刻的学生会将此问题转化为两个简单问题的叠加，即长是原来长的■，面积就是原来面积的■，宽也是原来宽的■，面积就是原来面积的■；习惯进行归纳推理的学生，会由特殊到一般，通过多个数据的计算进行推论；函数思想发展较好的学生，会通过设长、宽分别为a、b，用字母式进行计算证明；“数形结合”思想运用得较好的学生，会用图进行解释。学生不同的思考路径显示出他们在数学思想方法运用中鲜明的个人倾向，进一步让学生讨论“你喜欢谁的方法？其他方法给了你怎样的启示？”又可以让学生在求同存异中明确不同思想方法在具体应用中的优点和问题，使学生解决实际问题更为灵活、更具适切性。

2.纵向沟通，让转化与一般学习建立丰富的关联。

学习内在的机理是相通的，数学学习中所获取的转化、分类讨论、模型等思想意识，完全可以在其他学科的学习中得到应用，同时也可以通过其他学科的学习得以巩固。在学校组织的一次数学与科学学科的联合教研中，能把数学中的转化思想应用到科学学习中的学生，就很好地设计出了检验“空气是不是有质量”的方案。如果能让数学学习与一般学习相互影响，那我们将能真正让数学思想方法在学生头脑中活起来，使其真正成为学生学习后可以“带得走的东西”。■

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文二等奖