论高等数学极限思想中所蕴涵的哲学思想

张敏　张道振　陈宇剑

摘要：高等数学中重要的概念均建立在极限基础之上，而极限思想蕴涵着丰富的辩证法思想，深刻领悟这些哲学思想对掌握高等数学有着极其重要的意义。

关键词：高等数学；极限；哲学思想

高等数学属于自然科学，但其中蕴涵着丰富的哲学思想。在教学中，教师如果能充分挖掘高等数学中的哲学思想，用哲学的观点和思维方法来指导高等数学教学，不仅可以培养学生的辩证唯物主义思想，提高学生的哲学素养，还可以使学生从新的角度来认识数学、理解数学、感受数学。

极限是一种研究变量变化趋势的数学方法，体现了辩证法思想。理解极限概念和其思想中所蕴涵的哲学思想，对掌握高等数学有着极其重要的意义。

一、量变引起质变规律极限思想体现了量变引起质变的规律。量变引起质变规律揭示了事物发展变化形式上具有的特点，当量的变化达到一定程度会引起质的变化。质变不仅可以完成量变，而且为新的量变开辟道路。在高等数学极限概念的引入中，为求曲线y=f（x）在点P处的切线的斜率，首先在曲线上另取一点Q，并求割线PQ的斜率；然后让点Q沿曲线无限地趋近点P，割线的极限位置即是曲线在点P处的切线，而割线PQ斜率的极限就是切线的斜率。在点Q沿曲线无限趋近点P的动态过程中，割线PQ的斜率在不断地发生变化，越来越接近切线斜率，但这只是一个量变的过程，它表示的终究是割线的斜率，而不是切线的斜率。只有当点Q到达极限位置即点Q与点P重合时，割线PQ的斜率才发生质变，成为切线的斜率，体现了量变引起质变的规律。

二、对立统一规律极限是从有限到无限的工具和桥梁，无论是概念的引入还是概念本身，都体现了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确的对立统一。例如，对于数列an={1/n}，其极限为0。数列中的每一项an的值在不断变化，这个过程是动态的，项数也是有限的，但是，当项数n无限增大时，an无限趋近于一个确定的常数0，这个无限运动变化的结果是一个数值，因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，是对立统一的。再例如，刚才所说的割线斜率的极限是切线斜率，也体现了过程与结果、变与不变的对立统一。割线斜率在不断变化，且不断接近切线斜率，但不管多么接近于切线斜率，毕竟是近似值，而不是精确值，只有无限接近时，才转化为精确值，这个精确值是个不变量，充分体现了近似与精确、变与不变的对立统一。

三、否定之否定规律任何事物的内在矛盾都可以归结为肯定和否定两个方面，当由肯定达到对自身的否定，并再由否定达到新的肯定，则称之为否定之否定。高等数学的理论发展都符合否定之否定的规律。在理论形成之初，理论得到肯定，但随着研究的深入，理论就会不完善，从而被否定，进而被研究完善得到新的肯定。就极限概念而言，16世纪英国数学家瓦里斯最早引入变量极限的概念：“变量的极限是变量所能最大程度逼近的一个常数，使得它们的差能够小于任何给定的量。”这是极限概念的雏形。17世纪法国数学家柯西首次较完整地阐述了极限概念。他用描述性语言给出极限概念：当一个变量逐次所取得的值无限趋近一个定值，最终使变量的值和该定值之差要有多小就有多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值。特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减少，使之收敛到极限0，就说这个变量为无穷小。柯西的极限概念仍然是初步的和不清楚的，没有达到彻底严密化的程度。为了排除极限概念中的直观痕迹，18世纪维尔斯特拉斯提出了极限的精确定义，即ε-N定义，给微积分提供了严密的理论基础。极限概念不断发展完善的过程反映了哲学中否定之否定规律。否定之否定经过一个周期的运动回到了起点，又高于起点。

数学家波尔达斯指出：“没有哲学，难以得知数学的深度，当然也难以得知哲学的深度，两者相互依存。还应特别指出，如果既没有数学又无哲学，则不能认识任何事物。”数学与哲学关系紧密，因此在高等数学的教学中，不能忽视哲学思想的渗透，这样才能更好地发展数学，保持数学之树常青。当然，引导学生领悟数学思维中的哲学思想和在哲学思想的指导下进行数学思维培养，是提升学生数学素养和提高学生分析问题、解决问题能力的重要方法和手段，作为教育工作者应该重视在教学过程中渗透哲学思想。